Рассмотрим установившееся течение жидкости, находящейся под воздействием только одной массовой силы - веса жидкости.
Рис. 3.1
Выделим в потоке струйку, такую малую, что изменением параметров в ее поперечном сечении можно пренебречь и считать их постоянными.
За бесконечно малый промежуток времени Dt участок струйки 1- 2 переместится в положение 1?- 2?.
Применим к этой струйке уравнение энергии, заключающееся в том, что работа сил по перемещению струйки равна приросту кинетической энергии этой струйки.
Известно, что элементарная работа силы определяется выражением
Работа поверхностных сил давления тогда составит
Т. к. в первом сечении направление сил давления совпадает с направлением вектора скорости, а во втором сечении оно противоположно, то
Заметим, что работа сил давления, действующих по боковым поверхностям струйки равна 0, вследствие ортогональности векторов давления и скорости.
Суммарная работа поверхностных сил определится выражением
Элементарная работа массовых сил (сил веса) определяется изменением потенциальной энергии выделенного элемента массы
Потенциальная энергия массы, заключенной в объеме W определяется выражением
Учитывая, что для несжимаемой жидкости r= const, получим
Объем, занимаемый струйкой в начальном и конечном положениях можно представить в виде двух составляющих, рис. 3.1.
Масса жидкости, заключенная в объемах W1 и W2 определится как
Т. к. приток массы в рассматриваемой струйке отсутствует, то
M1 = M2
следовательно
W1 = W2
Нетрудно заметить, что объем 1?-2 для рассматриваемых положений является общим, тогда
или
Это выражение определяет закон сохранения массы для струйки несжимаемой жидкости.
С учетом отмеченного
где dG = rgdW - элементарный вес жидкости, заключенный в объеме dW.
Т. е.
Применяя такой же прием, получим выражение для прироста кинетической энергии струйки
Запишем уравнение баланса энергии
Подставляя имеющиеся выражения в данную формулу, получим
после преобразований, с учетом того, что dW1 = dW2 =dW =dG/g, получаем
или, после перегруппирования членов
Это выражение и представляет собой уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости.
Величина называется скоростным напором, определена ранее как гидростатический напор, а величина получила название полный напор.
Рис. 3.2
Таким образом, согласно уравнению Бернулли, полный напор представляет собой сумму гидростатического и скоростного напора и для выделенной струйки жидкости это величина постоянная. Проиллюстрируем это положение графиком, см. рис. 3.2.