Электрические силы
Все положительное оттолкнется со страшной силой и разлетится в разные стороны. Все отрицательное — тоже. Но совсем другое произойдет, если… Такая сила существует: это электрическая сила. И все вещество является смесью… Раз такие огромные силы в этих тонких смесях столь совершенно сбалансированы, то нетрудно понять, что вещество,…
Электрические и магнитные поля
Фиг. 1.1. Векторное поле, представленное множеством стрелок, длина и направление которых отмечают величину…
Характеристики векторных полей
Законы электромагнетизма
Что это такое — «поля»?
Лучше всего пользоваться абстрактным представлением о поле. Жаль, конечно, что оно абстрактно, но ничего не поделаешь. Попытки представить… А что касается магнитных полей, то можно высказать следующее замечание.… Мы бы еще хотели подчеркнуть, что явление магнетизма — это на самом деле чисто релятивистский эффект. В только что…
Электромагнетизм в науке и технике
И по мере того как развивалось понимание предмета электромагнетизма, появлялись такие технические возможности, о которых древние не могли даже… Сегодня мы используем и еще более тонкие эффекты. Гигантские электрические… В истории человечества (если посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX…
Понимание физики
во-вторых (насколько нам известно), точны. Если вы их выучили, вы всегда можете к ним вернуться. В них нет ничего, что следовало бы потом забыть.
… Чтобы начать понимать, что должно произойти в тех или иных условиях, вам… Дирак объяснил, что значит действительно понять уравнение — понять, не ограничиваясь его строгим математическим…
Скалярные и векторные поля — Т и h
Ниже перечислены некоторые сведения из алгебры векторов. Считается, что вы с ними уже знакомы
Производные полей — градиент
Осмысленные физические законы не зависят от ориентации системы координат. Поэтому их нужно писать так, чтобы по обе стороны знака равенства стояли… Может быть, эти три производные и представляют собой компоненты вектора:
Выбрав удобную систему координат, мы можем написать
где Dx:, Dy, Dz — компоненты вектора DR (фиг. 2.5). Вспомнив (2.7), напишем
Дифференциальное уравнение потока тепла
Если площадь этой плиты DА, то поток тепла за единицу времени равен
(2.42)
Коэффициент пропорциональности c (каппа) называется теплопроводностью.
Вторые производные векторных полей
(2.45)
Вы можете убедиться, что никаких иных комбинаций быть не может.
Криволинейный интеграл от Ñψ
Мы уже говорили о смысле операции градиента (Ñ на скаляр). Обратимся теперь к смыслу операций вычисления дивергенции (расходимости) и… раз в начале нашего курса многие простые задачи будут решаться именно этими…
Поток векторного поля
Обозначим через da площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху, то
… da = dxdy.
Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого…
Поток из куба; теорема Гаусса
Поток наружу сквозь нее равен x-компоненте С с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен
Теплопроводность; уравнение диффузии
(3.19)
Циркуляция векторного поля
Пусть Г — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7. Криволинейный интеграл от…
(3.30)
Циркуляция по квадрату; теорема Стокса
Поля без роторов и поля без дивергенций
Отсюда следует, что любое векторное поле, у которого ротор равен нулю, может быть представлено в виде градиента некоторой скалярной функции, т. е.… Теперь докажем еще одну формулу. Пусть у нас есть произвольное скалярное поле…
Статика
Явления, описываемые этими уравнениями, могут быть очень сложными. Но прежде…
Магнитостатика
Обратите внимание на интересное свойство этой системы четырех уравнений. Она распалась на две части. Электрическое…
Закон Кулона
(4.9)
Электрический потенциал
Фиг. 4.2. Работа переноса заряда от а к b равна минус интегралу от F•ds no выбранному пути.
Электростатический потенциал
(4.22)
Часто очень удобно брать отправную точку на бесконечности. Тогда потенциал…
Поток поля Е
Но здесь ведь нет ничего похожего на «ту же причину». Ведь никто не может сказать, что электрическое поле есть мера чего-то такого, что похоже на… Предположим, что мы на мгновение представили себе электрическое поле в виде…
Закон Гаусса; дивергенция поля Е
Поле заряженного шара
Зададим вопрос: каково электрическое поле Е в точке Р где-то снаружи сферы, наполненной однородно распределенным зарядом? Так как здесь нет…
Линии поля; эквипотенциальные поверхности
Первый пример: возьмем поле точечного заряда. Проведем линии в направлении поля, которые повсюду касательны к векторам поля (фиг. 4.12). Их…
Электростатика—это есть закон Гаусса плюс...
Равновесие в электростатическом поле
Фиг. 5.1. Если бы точка Р0 отмечала положение устойчивого равновесия…
Равновесие с проводниками
Во-первых, мы замечаем, что когда заряды перераспределяются по проводникам, то это возможно только тогда, когда от их движения их суммарная… Наши слова не означают, что заряд невозможно уравновесить электрическими…
Устойчивость атомов
Поле заряженной прямой линии
В качестве первого примера рассмотрим систему с цилиндрической симметрией. Пусть у нас имеется длинная-длинная равномерно заряженная спица. Под…
Заряженная плоскость; пара плоскостей
откуда
Однородно заряженный шар; заряженная сфера
Пусть у нас имеется сфера радиуса R, однородно наполненная зарядами. Пусть заряд в единице объема равен р. Снова, используя соображения симметрии,…
Фиг. 5.8. Закон Гаусса можно применить для определения поля внутри однородно заряженного шара.
Точен ли закон Кулона?
Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сферической оболочки поле равно…
Поля проводника
Теперь рассмотрим внутренность заряженного проводящего тела. (Мы имеем в виду внутреннюю часть самого металла.) Так как металл — проводник, то… Но если внутри проводника не может быть зарядов, как же он вообще может быть… Мы замечаем также, что электрическое поле возле самой поверхности проводника должно быть нормально к поверхности.…
Поле внутри полости проводника
Фиг. 5.12. Чему равно поле в пустой полости проводника произвольной формы?
Уравнения электростатического потенциала
Отметим для начала, что математически вся задача состоит в решении двух уравнений — максвелловских уравнений электростатики:
Электрический диполь
Мы не собираемся выписывать формулу для электрического поля, но всегда при… Существует важный частный случай этой задачи, когда заряды расположены близко друг к другу, иными словами, когда нас…
Замечания о векторных уравнениях
Это намного облегчило нашу задачу. Потом уже уравнения были переписаны в векторной форме и сразу перестали зависеть от выбора системы координат.… С другой стороны, если вы хотите подсчитать дивергенцию какого-то вектора, то…
Диполъный потенциал как градиент
(6.16)
Дипольное приближение для произвольного распределения
Мы можем смотреть на это тело, как на скопление точечных зарядов qi в некоторой ограниченной области (фиг. 6.7). (Позже, если понадобится, мы qi…
Поля заряженных проводников
к совершенно новому типу задач — определению полей вблизи заряженных проводников.
Представим себе, что какие-то заряды, произвольные по величине Q, помещены на… Вопрос о том, как догадываться о распределениях, математически труден. Конечно, у природы есть время решать его;…
Метод изображений
Точечный заряд у проводящей плоскости
Так мы узнали суммарное поле, но что можно сказать о том, каковы те реальные заряды, которые создали его? Кроме нашего положительного точечного…
Точечный заряд у проводящей сферы
Фиг. 6.11. Точечный заряд q наводит на заземленной проводящей сфере заряды, которые создают поле, такое же, как у…
Конденсаторы; параллельные пластины
Фиг. 6.12. Плоский конденсатор.
Пробой при высоком напряжении
Фиг. 6.14. Электрическое поле у острого края проводника очень велико.
Ионный микроскоп
Посмотрим сперва, что будет, если игла по отношению к флуоресцирующему экрану заряжена отрицательно. Линии поля у кончика иглы сконцентрированы…
Методы определения электростатического поля
Как мы выяснили в гл. 6, задача об электростатическом поле решается очень просто, когда распределение зарядов оговорено заранее; остается только… Мы рассмотрели обходный путь решения таких задач, при котором сначала… Если наша задача не относится к тем, для которых годен обходный путь, приходится решать ее в лоб. Математической…
Двумерные поля; функции комплексного переменного
Колебания плазмы
Сперва мы разберем один динамический пример. В нем движение зарядов контролируется законами Ньютона. Простой пример такого положения вещей… Пусть n0 будет плотностью электронов в невозмущенном равновесном состоянии.… Чтобы упростить рассуждения, мы будем заниматься только одномерным движением электронов — скажем, в направлении x;.…
Коллоидные частицы в электролите
Чтобы мысль была яснее, рассмотрим только одномерный случай. Представим себе коллоидную частицу в виде очень большого (по сравнению с атомом!)… Предположим, что распределение ионов создает плотность зарядов р(х) и…
Электростатическое поле сетки
Если мы посмотрим на поле где-то высоко над плоскостью проволочек, перед нами предстанет однородное электрическое поле, такое, словно заряд…
Электростатическая энергия зарядов. Однородный шар
Закон, по которому меняется энергия при электростатическом взаимодействии, очень прост; на самом деле мы его уже обсуждали. Пусть имеются заряды q1…
(8.1)
Энергия конденсатора. Силы, действующие на заряженные проводники
(8.8)
Электростатическая энергия ионного кристалла
Рассмотрим, например, электростатическую энергию ионной решетки. Ионный кристалл, такой, как NaCl, состоит из положительных и отрицательных ионов,… Для первоначального приближения вообразим себе совокупность жестких сфер,… Если наше представление о системе правильно, мы должны уметь проверить его, задав следующий вопрос: сколько…
Электростатическая энергия ядра
Под словами «сложны настолько, насколько возможно» мы понимаем, что силы зависят от всех величин, от каких они могли бы зависеть.
Во-первых, сила не простая функция расстояния между протонами. На больших…
Энергия в электростатическом поле
Энергия точечного заряда
так что плотность энергии на расстоянии r от заряда равна
Градиент электрического потенциала в атмосфере
Сперва ответим на второй вопрос. Ваше тело — довольно хороший проводник. Когда вы стоите на земле, вы вместе с нею образуете эквипотенциальную… Как же измерить такое поле, раз оно искажается от всего, что в него попадает?…
Электрические токи в атмосфере
Почему атмосфера имеет проводимость? Потому что в ней среди молекул воздуха попадаются ионы, например, молекулы кислорода, порой снабженные лишним… Откуда же берутся ионы! Сперва думали, что ионы создает радиоактивность Земли.…
Происхождение токов в атмосфере
На Земле каждые сутки гремит около 300 гроз. Их-то и можно считать теми батареями, которые накачивают электричество в верхние слои атмосферы и… Чтобы понять, как работают эти батареи, попробуем разобраться в грозе…
Механизм распределения зарядов
Заряда нижней части тучи хватает на то, чтобы создать между ней и землей разность потенциалов в 20, 30 и даже 100 млн. в — несравненно больше, чем…
Диэлектрическая проницаемость
Наша задача теперь состоит в том, чтобы объяснить, почему вообще возникает электрический эффект, раз изоляторы фактически являются изоляторами и…
Фиг. 10.1. Плоский конденсатор с диэлектриком. Показаны линии паяя E.
Вектор поляризации Р
Почему поле должно индуцировать дипольный момент у атома, хотя атом не является проводящим шариком? Мы обсудим этот вопрос гораздо подробнее в… Если поле не чересчур велико, естественно считать величину индуцированного…
Поляризационные заряды
Если положительные и отрицательные заряды, смещенные относительно друг друга, имеют одну и ту же среднюю плотность, то сам факт их смещения не… Этот заряд можно подсчитать следующим образом. Если площадь пластинки равна…
Уравнения электростатики для диэлектриков
(10.17)
где r — плотность всех электрических зарядов. Поскольку уследить за поляризационными зарядами непросто, удобно разбить…
Поля и силы в присутствии диэлектриков
Когда имеется диэлектрик, первое из этих уравнений изменяется, и мы получаем
(10.26)
Молекулярные диполи
(11.1)
О применениях этого выражения мы уже говорили; сейчас же нам нужно обсудить механизм возникновения поляризации внутри…
Электронная поляризация
Мы уже обсуждали воздействие электрического поля на атом в гл. 31 (вып. 3), когда занимались теорией показателя преломления. Подумав немного, вы… В гл. 31 (вып. 3) мы предполагали, что центр электронного заряда атома,…
Полярные молекулы; ориентационная поляризация
Фиг. 11.2. В газе полярных молекул отдельные моменты ориентированы случайным…
Электрические поля в пустотах диэлектрика
Следовательно, если поле внутри однородного диэлектрика мы назовем Е, то можно записать
(11.23)
где Eдырка — поле в дырке, а Eшарик — поле в однородно поляризованном шарике…
Диэлектрическая проницаемость жидкостей; формула Клаузиуса — Моссотти
Твердые диэлектрики
На поверхности электрета расположены постоянные поляризационные заряды. Электрет представляет собой электрический аналог магнита, однако пользы от… Постоянная внутренняя поляризация Р встречается и у некоторых кристаллических… Если, однако, внутренние диполъные моменты кристалла меняются, то внешнее поле становится заметным, потому что…
Сегиетоэлектричество; титанат бария
При вычислении поляризации твердых тел мы должны сначала найти локальные поля в каждой элементарной ячейке. Причем для этого нужно ввести поля… Далее, когда мы писали уравнение (11.28), вам, наверное, было интересно знать,…
Одинаковые уравнения — одинаковые решения
Мы закончили электростатику и скоро перейдем к изучению магнетизма и электродинамики. Но прежде хотелось бы показать, что, изучив электростатику,…
Поток тепла; точечный источник вблизи бесконечной плоской границы
Ñ•h = Скорость ухода тепла на единицу объема.
(Мы могли, конечно, записать уравнение в интегральном виде, как мы поступали в… Скорость, с которой тепло поглощается или рождается в разных местах, конечно, зависит от условий задачи.…
Натянутая мембрана
В пленке действуют силы, потому что она натянута. Если сделать в каком-нибудь месте пленки небольшой разрез, то два края разреза разойдутся (фиг.… Предположим теперь, что мы смотрим на вертикальное поперечное сечение…
Диффузия нейтронов; сферически-симметричный источник в однородной среде
Безвихревое течение жидкости; обтекание шара
Ñ•v=0.
Чудесно! Снова получилась электростатика (без зарядов); уравнение совсем… Ñ•v=0 (12.28)
Освещение; равномерное освещение плоскости
Фундаментальное единство» природы
Но в конце, естественно, напрашивается вопрос: почему уравнения для разных явлений столь похожи? Мы могли бы сказать: «В этом проявляется… Более пристальный взгляд на физику разных вопросов показывает, что уравнения… Может быть, в этом и состоит разгадка? Может быть, общее всем явлениям есть пространство, те рамки, в которые вложена…
Магнитное поле
F=q(E+vXB), (13.1)
Она называется силой Лоренца.
Электрический ток; сохранение заряда
j•nDa, (13.2)
где n — единичный вектор нормали к Dа.
Плотность тока связана со средней скоростью течения зарядов. Предположим, что имеется распределение зарядов, в среднем…
Магнитная сила, действующая на ток
Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера
Магнитное поле прямого провода и соленоида; атомные токи
Полный ток через петлю есть просто ток I в проводе, поэтому
Относительность магнитныхи электрических полей
Оказывается, что годится любая инерциальная система. Мы увидим также, что магнетизм и электричество — не независимые вещи, они всегда должны быть… Давайте подумаем, что произойдет с отрицательным зарядом, движущимся со…
Преобразование токов и зарядов
Мы видели уже, что если r0 есть плотность зарядов в их системе покоя, то в системе, где они имеют скорость v, плотность равна
В этой системе их плотность тока есть
Суперпозиция; правило правой руки
линейны до В и j. Это означает, что принцип суперпозиции (наложения) приложим… Физически наблюдаемые величины в электромагнетизме, однако, не связаны с правой или левой рукой. Из гл. 52 (вып. 4) мы…
Векторный потенциал
Векторный потенциал заданных токов
откуда, конечно, следует
Это векторное уравнение, конечно, распадается на три уравнения
и каждое из этих уравнений математически идентично уравнению
Прямой провод
(14.20)
Длинный соленоид
Точно так же, как мы выводили «поверхностную плотность заряда» а, определим здесь «поверхностную плотность тока» J, равную току на единице длины по…
Мы должны теперь найти А для такого распределения токов. Прежде всего найдем Ах в точках вне соленоида. Результат…
Поле маленькой петли; магнитный диполь
Возьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси координат, как показано на фиг. 14.6. Токов в направлении z нет, поэтому Az равно нулю. Есть токи…
(14.28)
Векторный потенциал цепи
Для тонкого провода элемент объема можно записать в виде
dV = Sds,
где S — площадь поперечного сечения провода, a ds — элемент расстояния вдоль проволоки. В самом деле, поскольку…
Закон Био— Савара
Как мы видели, вычислить этот интеграл (а их на самом деле три, по одному на… Подобный интеграл связывает и магнитное поле с токами. Мы уже имеем интеграл для А [уравнение (14.19)]; мы можем…