ТЕМА «ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»
ЛЕКЦИЯ № 10
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)
ПЛАН
1. Определение функции нескольких переменных (ФНП).
2. Способы задания функции двух переменных.
3. Предел и непрерывность ФНП.
4. Частные и полное приращения функции двух переменных.
5.Частные производные первого порядка функции двух
переменных и их геометрическая интерпретация
Определение ФНП.
Пример 1. Площадь Sпрямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у вычисляется по формуле: S = х · у, где S– является функцией двух…
Пример 2. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, z определяется по формуле V = x…
Способы задания функции двух переменных
Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами.
1) Аналитический способ состоит в том, что функция z представлена с помощью формулы. Если при этом область определения D(z) не указана, то под ней понимают множество таких пар значений (х, у), при которых заданная формула имеет смысл. Областью определения может быть вся плоскость или её часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие
на границе, называются внутренними. Об-
ласть, состоящая только из внутренних точек,
называется открытой, область с присоеди-
ненной к ней границей называется замкнутой
областью. Например, функция
z = ln(4 – х2 – у2) имеет областью определе-
Рис. 1 ния внутреннюю часть круга х2 + у2 < 4
(открытая область, рис. 1).
2) Табличный способ. В первой строке таблицы выписываются возможные значения переменной х: х1, х2, …, хn, в первом столбце – значения переменной у: у1, у2, …, уn, на пересечении строки и столбца указывается соответствующее значение функции, например:
z11 = z(x1, y1), zij = z(xi, yj) (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n).
у / х
х1
х2
×××
xi
×××
xn
y1
z11
z21
×××
zm1
×××
zn1
y2
z12
z22
×××
zm2
×××
zn2
…
…
…
×××
…
×××
×××
уi
z1j
z2j
×××
zij
×××
znj
×××
×××
×××
×××
×××
×××
×××
yn
z1n
z2n
×××
zin
×××
znn
3) Графический способ. Примем z за аппликату некоторой точки
P(х, у, z) в пространстве. Всей области D(z) соответствует множество точек Р, образующее в пространстве некоторую поверхность. Графиком функции z = f(х, у) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является поверхность, каждая точка которой - Р(х, у, f(х, у)).
Если поверхность является графиком функции двух переменных, то уравнение, определяющее эту функцию, является уравнением поверхности.
Например, функция имеет областью определения круг х2 + у2 £ 9 (рис.2) и изображается верхней полусферой с центром в точке О(0, 0, 0) и радиусом R = 3 (рис. 3).
Рис. 2 Рис. 3
Предел функции
Понятия предела функции двух (и более) переменных и непрерывности вводится аналогично понятию предела и непрерывности функции одной переменной.
Определение. Расстоянием от точки М1(х1, у1) до точки М2(х2, у2) назо-
вем число: .
Непрерывность функции двух переменных
Определение. Функция z = f(х, у) называется непрерывной в точке
М0(х0, у0)ÎD(z), если её предел в этой точке совпадает со зна-
чением функции в данной точке, т.е..
Частные и полное приращения функции двух переменных
Пусть задана функция z = f(х, у). Так как х и у – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять постоянное значение.…
∆х z: ∆х z = f(x + ∆x, y) – f(х, у).
Частные производные первого порядка функции двух
Переменных и их геометрическая интерпретация
z = f(х, у) называется предел отношения частного прира-
щения функции ∆х z по переменной х к приращению ∆х
при стремлении ∆х к нулю (если этот предел существует).