Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а=x0<x1<x2<…<xn=b.
Обозначим это разбиение через t, а точки x0, x1, x2, …, xn, будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [хi-1, хi] выберем произвольную точку xi(хi-1£xi£хi). Через Dхi - обозначим разность хi-хi-1 которую будем называть длиной частичного отрезка [хi-1, хi]. Составим сумму: , которую назовём интегральной суммой для функции f(x) на [a; b], соответствующей данному разбиению [a; b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек xi.
Геометрический смысл суммы s: сумма площадей прямоугольников с основаниями Dx1, Dx2, …, Dxn и высотами f(x1), f(x2),…, f(xn), если f(x)³0.
Определение 1:Если существует конечный предел I интегральной суммы при (l®0 – наибольшая из длин всех частичных промежутков) Dхi®0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [а, b].
В этом случае f(x) – называется интегрируемой на [а, b]. Числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – называется подынтегральной функцией, х – переменная интегрирования.