Рассмотрим поведение частицы в потенциальном ящике конечной глубины. Потенциальная энергия частицы в ящике при , вне ящика () (рис.5.6).
Примером такой ситуации является движение коллективизированных электронов внутри металла (согласно классической электронной теории вне металла потенциальная энергия электрона равна нулю, а внутри металла она отрицательна и равна ).
Применим к частице в таком потенциальном ящике уравнение Шредингера (будем считать, что задача одномерная, тогда ) .
В области I .
В области II ,
или
при
при
(Е<0, т.к. потенциальная энергия отрицательна и превышает кинетическую, в противном случае частица выйдет из ящика). Нам нужно найти волновые функции и энергии , которые бы удовлетворяли граничному условию такому, что при .
Из классической теории следует, что должна обращаться в ноль при т.к. в этой области отрицательна, что соответствует отрицательным значениям кинетической энергии, запрещенным в классической физике, однако в этой области (I) уравнение Шредингера имеет решение:
где , или .
В области II (при ) решение уравнения Шредингера дает: , где , k имеет смысл волнового числа волны де Бройля. При или .
Поведение - функции при п=1 показано на рисунке 5.7. - функция не падает скачком до нуля при как это было в случае ящика с бесконечно высокими стенками.
Это означает, что существует вероятность для частицы выйти из ямы, когда ее энергия Е меньше глубины ямы . На рис.5.8 сплошными линиями изображены стоячие волны низшего порядка, соответствующие энергиям . Штриховые линии - соответствующие волновые функции в потенциальной яме той же ширины, но с бесконечно высокими стенками.
Решение задачи о частице в потенциальной яме имеет практические значения. Короткодействующие ядерные силы, действующие между электроном и протоном, можно представить в виде прямоугольной потенциальной ямы и найти энергию связи.