Основное уравнение динамики вращающегося тела

Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Оz с угловой скоростью ω (рис. 17.3).

Рассматривая твердое тело как механическую систему, разо­бьем ее на множество материальных точек с массами Δmk. Каждая точка движется по окружности радиуса rk
с касательным ускорени­ем
и нормальным ускорением , где ε — угловое ускорение.
Используем для каждой точки принцип Даламбера и приложим силы инерции:
— касательную
— нормальную
Система сил, действующих на точку, по принципу Даламбера, находится в равновесии.
Поэтому алгебраическая сумма моментов относительно оси вращения должна быть равна нулю: Мz - момент внешних сил.
Моменты нормальных сил инерции равны нулю, т. к. силы пересекают ось Z . Силы, направленные по касательной к окружно­сти, равны


где ε — общая величина, угловое ускорение тела.
Подставив значение силы в формулу для определения моментов, получим

Величинаназывается моментом инерции тела от­носительно оси вращения и обо­значается Jz.
В результате получим выра­жение основного уравнения дина­мики вращающего тела:

Рис. 17.3
где Мz — сумма моментов внеш­них сил относительно оси; ε — угловое ускорение тела.
Момент инерции тела в этом выражении определяет меру инертности тела при вращении.
По выражению для момента инерции можно определить, что
единица измерения этой величины в системе СИ [ Jz ] = [mr2] = кг м2.
Видно, что значение момента инерции зависит от распределения массы относительно оси вращения: при одинаковой массе момент инерции больше, если основная часть массы расположена дальше от Оси вращения. Для увеличения момента инерции используют колеса Со спицами и отверстиями.

Моменты инерции некоторых тел
Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 17.4) .

Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (рис. 17.5)
Момент инерции прямого тонкого стержня любого поперечного сечения (относительно zz, рис. 17.6а); (относительно z1 z1 , рис. 17.6б).

Момент инерции шара (рис. 17.7)


ЛЕКЦИЯ 19
Тема 2.1. Основные положения.
Нагрузки внешние и внутренние,
метод сечений

Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений.
Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях.

Элементы конструкции при работе испытывают внешнее воздействие, которое оценивается величиной внешней силы. К внешним силам относят активные силы и реакции опор.
Под действием внешних сил в детали возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму и размеры.
Внешние силы должны быть определены методами теоретической механики, а внутренние определяются основным методом сопротивления материалов — методом сечений.
В сопротивлении материалов тела рассматриваются в равновесии. Для решения задач используют уравнения равновесия, полученные в теоретической механике для тела в пространстве.
Используется система координат, связанная с телом. Чаще продольную ось детали обозначают z, начало координат совмещают с левым краем и размещают в центре тяжести сечения.
Метод сечений
Метод сечений заключается в мысленном рассечении тела плоскостью и рассмотрении равновесия любой из отсеченных частей.
Если все тело находится в равновесии, то и каждая его часть находится в равновесии под действием внешних и внутренних сил. Внутренние силы определяются из уравнений равновесия, составленных для рассматриваемой части тела. |
Рассекаем тело поперек плоскостью (рис. 19.1). Рассматриваем правую часть. На нее действуют внешние силы F4 ; F5;F6 и внутренние силы упругости qk, распределенные по сечению. Систему распределенных сил можно заменить главным вектором R o поме­шенным в центр тяжести сечения, и суммарным моментом сил Mq:




Разложив главный вектор R0 по осям получим три составляющие

где Nz — продольная сила;
Qx — поперечная сила по оси х
Qy — поперечная сила по оси у.
Главный момент тоже принято представлять в виде моментов пар сил в трех плоскостях проекции:

. Мх — момент сил относительно Ох;
Му — момент сил относитель­но Оу
Mz — момент сил относительно Oz.
Полученные составляющие сил упругости носят название вну­тренних силовых факторов. Каждый из внутренних силовых фак­торов вызывает определенную деформацию детали. Внутренние си­ловые факторы уравновешивают приложенные к этому элементу де­тали внешние силы. Используя шесть уравнений равновесия, можно
получить величину внутренних силовых факторов:

Из приведенных уравнений следует, что:
Nz — продольная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Oz внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса; вызывает растяжение или сжатие;
Qx — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Ох внешних сил, действующих на отсеченную часть;
Qy — поперечная сила, равная алгебраической сумме проекций на ось Оу внешних сил, действующих на отсеченную часть;
силы Qx и Qy вызывают сдвиг сечения;
Mz — крутящийся момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно продольной оси Oz; вызывает скручивание бруса;
Мх — изгибающий момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно оси Ох;
Му — изгибающий момент, равный алгебраической сумме мо­ментов внешних сил относительно оси Оу;
моменты Мх и Му вызывают изгиб бруса в соответствующей плоскости.