Рассмотрим систему стабилизации частоты вращения вала двигателя с центробежным регулятором прямого действия, имеющую следующее математическое описание:
(Tp + 1)y = kxx - kzz
(T22p2 + T1p + 1)x = -kpy. (3.100)
Исключив из этой системы уравнений х, получим ДУ САР:
[(Tp+1)(T22p2+T1p+1)+kxkp]y = -kz(T22p2+T1p+1)z,
или, после преобразований,
[TT22p3+(TT1+T22)p2+(T+T1)p+(1+kxkp)]y = -kz(T22p2+T1p+1)z. (3.101)
Условие установившегося режима при возмущении z=z0 получим, потребовав, чтобы р =0:
(1+kxkp) = -kzz0,
откуда
. (3.102)
Очевидно, что для уменьшения статической ошибки по модулю следует увеличивать коэффициент усиления регулятора kp.
Рассмотрим характеристическое уравнение САР
TT22p3+(TT1+T22)p2+(T+T1)p+(1+kxkp)=0.
Условие устойчивости имеет вид
(TT1+T22)(T+T1) > TT22 (1+kxkp),
откуда
kp < . (3.103)
Оказывается, что, с одной стороны, согласно (3.102) коэффициент усиления регулятора нужно увеличивать, а с другой стороны, по условиям устойчивости (3.103) он ограничен сверху. Очевидно, что условие устойчивости накладывает ограничение снизу на величину статической ошибки.
Покажем, что описанное ограничение распространяется на системы любого порядка. Пусть собственный оператор САР имеет вид
D(p) = anpn + an-1pn-1 +…+ a1p + a0.
Как следует из предыдущих рассуждений, коэффициент a0 = 1+kxkp. Применив критерий Михайлова, получим выражения для компонент вектора кривой Михайлова:
U = a0 – a2w2 + a4w4 – a6w6 +…
V = a1w - a2w3 + a5w5 –a7w7 +…
Предположим, что система при некотором значении а0 была устойчивой (рис.3.34,кривая а). Очевидно, что при увеличении kp увеличивается а0, и кривая Михайлова смещается вправо, так что при некотором достаточно большом а0 она не пройдёт через вторую либо третью четверти (рис.3.34,кривая б), а это означает потерю устойчивости системой.
а
б
iV
U
а0=17
а0=10
Рис.3.34. Потеря устойчивости при слишком больших
коэффициентах усиления регулятора.