Примером дискретных случайных величин – количество зерен определенного минерала при изучении шлифов под микроскопом; количество скважин, количество отобранных проб и т.д.
Примером непрерывной случайной величины - содержание Pb в рудах полиметаллических месторождений, или любого другого металла в руде.
Число появлений события в серии испытаний называется его частотой, а отношение числа появлений события к общему числу опытов в серии – его частностью.
Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называются законом или функцией.
Функция распределения представляет собой наиболее полную характеристику случайной величины, т.к. устанавливает связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Интегральная функция распределения F(х) выражает вероятность того, что выборочное значение случайных величин меньше некоторого предела, ограниченного x, где x – заданная переменная, т.е. вероятность события - x.
Дифференциальна функция распределения (функция плотности распределения) f (х) характеризует вероятность попадания выборочного значения случайной величины в заданный интервал от x до x + x
Интегральная и дифференциальная функции распределения связаны отношением:
F(х) = , причем = 1
Функции F(х) и f(х) можно изобразить графически.
F(х)
x
Интегральная кривая – кривая накопления.
f(х)
x
Дифференциальная кривая – кривая плотности вероятности.
Наиболее существенные особенности распределения могут быть выражены с помощью числовых характеристик положения и рассеивания.
К важнейшим характеристикам положения относятся:
математическое ожидание (среднее значение ), мода и медиана.
1. Математическое ожидание (Мх) - среднее значение случайной величины.
МХ() = Рi xi , если Х() дискретна
МХ() =хf(х) dх, если Х() = непрерывна
=
2. Мода (Мo) – наиболее часто встечаемое содержание в пробах исследуемой выборки.
3. Медиана (Ме) – средняя точка распределения, т.е. такое значение, для которого вероятности (Р) встречи больших и меньших значений в выборе равны
Р (Ме) = P (> Ме).
f(х)
Мо, Ме, Мх Lод норм. распред.
x
Мо Мx Ме
Главной характеристиой рассеяния случайных величин служит центральный момент второго порядка – т. е. дисперсия.
Дисперсия - мера рассеяния или отклонения значений случайной величины от ее среднего.
1) для дискретных случ. величин
2) для непрерывных случ. величин
Производными характеристиками от дисперсии является стандарт (среднее квадратичное отклонение) и коэффициент вариации:
Стандартслучайной величины – корень квадратный из дисперсии.
Коэффициент вариации - стандартное отклонение выраженное в единицах среднего.
Для характеристики степени асссиметрии распределения случайной величины относительно ее математического ожидания используется центральный момент третьего порядка:
, для дискретных случ. величин
; для непрерывных случ. величин
;
Для симметричного распределения значение третьего центрального момента = 0.
Если распределение ассиметрично, то его значение отличается от нуля в положительную сторону или отрицательную сторону тем сильнее, чем больше выражена асимметрия.
Коэффициентом асимметрии называют безразмерную величину:
;
Если А > 0 - положительная асммметрия
Если А < 0 отрицательная асимметрия
f(х)
- +
x
Для кривой нормального распределения А = 0 т.к.
Для характеристики большего или меньшего подъема или понижения графика кривой распределения, по сравнению с нормальной кривой, используется показатель - эксцесса (Е).
Для определения Е используется центральный момент четвертого порядка :
;
Для нормального распределения величины
Эксцесса (Е) вычисляется по формуле:
f(х) +
-
x
Кривые, более островершин, по сравнению с нормальными имеют положение (+), а более пологие – отрицательные (-) Е.