Казахская головная архитектурно-строительная академия
Активный раздаточный материал.
Математика: I ФОЕНП
Кредит 3 1-й семестр
Лекция №1. Матрицы, основные понятия. Определители квадратных матриц 2012-13 уч.год.
Краткое содержание лекции.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например A, B, C, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: , где i-номер строки, j-номер столбца.
Например, матрица
или матрица A=(, i=1 ,2, 3, …m, j=1, 2 ,3,…n.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей строкой, а из одного столбца – матрицей столбцом: A=(… ) – матрица-строка. Матрица называется квадратной n-го порядка, если m=n.
Элементы матрицы у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, остальные нули, то матрица называется единичной и обозначается Е.
Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой , для , .
Суммой двух матриц А и В одинакового размера mxn называется С=А+В, элементы которой для , (т.е. матрицы складываются поэлементно).
Разность двух матриц определяется: А – В = А + (-1)·В.
Умножение матрицы А на матрицу В определяется по формуле: , , .
Матрица , называется транспонированной относительно матрице А в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.
Определитель матрицы А обозначается или ∆.
Определителем матрицы второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле .
Аналогично, вводится определитель третьего порядка. Определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле
∆==
Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком , т.е.
Задание на СРС
1. Свойства определителей. Вычисление определителей 4-го и высших порядков [1,3,4];
Форма отчета: конспект; срок предоставления-2 неделя.
2. ИДЗ -1.1.- 1.2, решение задач по варианту из [ 2 – стр.33 ], срок предоставления-2- неделя.
Задание на СРСП
1. Разложение определителя n-го порядка по элементам какой-либо строки или столбца определителя. Теорема Лапласа [1- стр.58; ,3- с.164; 4 – с.63].
Контрольные вопросы.
1. Как определяется матрица и ее разность? Как обозначается матрица?
2. Какие матрицы называются диагональными, матрицами-строками, матрицами-столбцами и единичными?
3. Как определяется сумма, разность и произведение двух матриц?
4. Какая матрица называется транспонированной?
5. Определение определителя 2-го и 3-го порядков.
6. Что такое минор элемента матрицы n-го порядка?
7. Что такое алгебраическое дополнение элемента матрицы n-го порядка?
Тесты.
1. Вычислите определитель (по Саррюсу): А) -4; B) -2; C) -8; D) -12.
2. Решить уравнение: А) 12; B) -4; C) -10; D) -2.
3. Найти алгебраическое дополнение элемента матрицы А = . А) 0; B) -1; C) 1; D) 2.
4. Решить уравнение А) 0; 2. B) 0; - 1. C) 2; 3. D) -2; 2.
5. Найти минор элемента матрицы А= А) 5; B) -5; C) 7; D) -7.
6. Вычислите определитель, разложив по строке или по столбцу: А) 0; B) 57; C) -32; D) 47.
Глоссарий
Список литературы
Основная:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука 2001;
2. А.Т.Рябушко. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. 1 часть. – Минск: Высшая школа, 2003.
3. К. Кабдыкаир. Курс математики. Алматы, 2005.
Дополнительная:
4. Кудрявцев Л., Демидович Б.П., Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 2000.
5. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 2002.