Физически реализуемые алгоритмы дискретной фильтрации для формирования выходного дискретного сигнала могут использовать лишь предыдущие входные и выходные отсчеты.
Если для формирования выходного сигнала используются лишь отсчеты входного сигнала, такой алгоритм называется нерекурсивным. Если для формирования выходного сигнала используются отсчеты и выходного сигнала, то такой алгоритм называется рекурсивный. «Рекурсия» (лат. recursus – возврат, обратный путь) – циклическое обращение к данным (к сигналу) полученным на предшествующих этапах фильтрации. Иногда вместо слов «рекурсивный – нерекурсивный» используют равнозначные им термины «рекурентный – нерекурентный».
Вид алгоритма фильтрации приводит к определенным свойствам импульсной характеристики ЦФ. Нерекурсивность алгоритма приводит к тому, что ЦФ имеет конечную импульсную характеристику. Поэтому очень часто нерекурсивные фильтры называются «КИХ – фильтрами». Рекурсивные алгоритмы приводят к бесконечным импульсным характеристикам фильтра. Поэтому рекурсивные фильтры часто называют «БИХ – фильтрами»
Сигнал на выходе КИХ-фильтра во временной области определяется формулой дискретной свертки (формула (40.1)). Для определения структуры фильтра воспользуемся Z – преобразованием. Определим передаточную функцию КИХ- фильтра, как Z – преобразование импульсной характеристики (формула (40.6)).
Полученную передаточную функцию КИХ-фильтра можно представить в виде дробно-рациональной функции следующим образом
.
Число (N-1) определяет порядок КИХ-фильтра. Таким образом, системная функция КИХ-фильтра порядка (N-1) имеет в точке Z=0 (N-1)-кратный полюс и (N-k+1) нулей, расположенных в пределах единичного круга. Поскольку других полюсов нет, КИХ-фильтр структурно устойчив (при любых параметрах, его полюсы всегда лежат в пределах единичного круга, т.е. ).
Алгоритм функционирования КИХ-фильтра можно представить в виде структурной схемы, соответствующей рассмотренной передаточной функции и представленной на рис. 6.5.
Рис. 6.5
Из формулы взвешенного суммирования следует, что в линейных ЦФ над сигналом осуществляется три основных операции: сложение, умножение и сдвиг во времени на целое число интервалов дискредитации TД. Все эти операции представлены в структурной схеме соответствующими элементами. Представленная структура своей конфигурацией объясняет, почему КИХ-фильтры иногда называют трансверсальными, т.е. поперечными. Действительно, входной сигнал распространяется по цифровой линии задержки, а выходной сигнал формируется из поперечных отводов.
Определим частотные характеристики КИХ-фильтров. Поскольку АЧХ и ФЧХ – это модуль и аргумент комплексной передаточной функции, то для их определения необходимо сначала найти ее.
Поскольку комплексная передаточная функция определяется как преобразование Фурье от импульсной характеристики, то ее можно также определить из передаточной функции, путем замены переменной . Находим
.
Если использовать ДПФ, тогда получим
.
Таким образом, при заданном интервале дискретизации из этих формул можно получить достаточно разнообразные выражения для комплексной передаточной функции в зависимости от вида импульсной характеристики ЦФ. Соответствующие АЧХ и ФЧХ описываются следующими выражениями:
;
.
Из этих формул следует, что АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра являются периодическими функциями. Период равен величине , т.е. он определяется интервалом дискретизации ТД.
Рассмотрим методику решения тестовых заданий на следующем примере.
Передаточная функция дискретной цепи равна … , если ее структурная схема задана на рис. 6.6
Рис. 6.6
Решение основано на знании определения и основных свойств передаточной функции дискретной цепи. Если на входе действует S1(z), то на выходе будет S2(z)=H(z)S1(z). Используя структурную схему цепи можно найти S2(z)=2∙ S1(z)+ z-1∙S1(z)= S1(z)∙(2+z-1). Из сравнения с предыдущей формулой находим H(z)= 2+z-1. Конечно, имея определенный опыт в чтении структурных схем, можно непосредственно по схеме найти этот ответ.