В основе расчетов электрических цепей при периодических несинусоидальных или непериодических воздействиях лежат спектральные представления токов и напряжений. Спектр является важнейшей и единственной формой аналитического описания сигналов в рамках линейной теории. Основная идея использования такого метода исследований заключается в том, что воздействие представляется в виде суммы простых функций, например, гармонических. Тогда, используя линейность оператора электрической цепи, можно свести задачу преобразования цепью этого воздействия к задаче преобразования элементарных функций, что, безусловно, проще.
Для представления периодических негармонических сигналов, т.е. сигналов, отличающихся от гармонических колебаний, для которых справедливо соотношение: , где , T-период сигнала, широко используется ряд Фурье. Причем s(t) обозначает либо напряжение, либо ток, т.е.
В этом случае ряд Фурье имеет следующий вид:
, (1.1)
где – основная частота, частота первой гармоники,
Коэффициенты ряда Фурье определяются как:
- постоянная составляющая, (1.2)
; (1.3)
Таким образом, периодический сигнал в форме ряда Фурье представляет собой сумму постоянной составляющей С(0) и гармоник с частотами кратными частоте w1.
Выражения (1.2) и (1.3) являются формулами разложения, а выражение (1.1) –формула обращения. Такое название объясняется тем, что совокупность коэффициентов С(k) является спектром сигнала
Используя формулу Эйлера
(1.4)
можно записать ряд Фурье в комплексной форме:
(1.5)
. (1.6)
Причем из сравнения с формулой (15.1) следует
;
В комплексной форме ряда Фурье присутствуют положительные и отрицательные частоты. Однако реально существуют лишь положительные частоты, а отрицательные это математическая абстракция – следствие использования комплексных экспоненциальных функций для спектрального представления сигнала.. Составляющие и имеют одинаковые модули, а их фазы противоположны по знаку:
(15.7)
Отсюда находим:
Тогда можно из формулы (1.5) получить:
, (1.8)
где - амплитуда гармоники;
- фаза гармоники.
Это третья форма ряда Фурье в виде суммы реальных гармоник.
Таким образом, любая спектральная составляющая характеризуется амплитудой и фазой. Спектром амплитуд (амплитудным спектром) называется зависимость амплитуд гармоник от частоты. Зависимость начальных фаз гармоник от частоты называется спектром фаз (фазовым спектром). Спектр амплитуд и спектр фаз, представленные в графическом виде, называются спектральными диаграммами.
Активная мощность периодического негармонического сигнала равна сумме мощностей всех составляющих его обобщенного спектра:
, (1.9)
где мощность элементарных функций по которым определен спектр сигнала. Мощность гармонических функций равна ½.
Формула (1.9) носит название равенства Парсеваля.
Для ряда Фурье в комплексной форме, получим равенство Парсеваля в следующем виде:
. (1.10)
При ограничении спектра по частоте мощность сигнала уменьшается, т.е. равенство Парсеваля позволяет судить о потерях мощности при той или иной фильтрации сигнала.
Рассмотрим пример расчета амплитудного спектра периодического сигнала
Рис. 1.1
Определим спектр такого сигнала из формулы (16). Используя формулу Эйлера (1.4), далее находим: и амплитуды гармоник, частоты которых равны и т.д., будут равны нулю. Полученная формула позволяет вычислить амплитудный спектр комплексного ряда Фурье, т.е. включает гармоники с положительными и отрицательными частотами. Чтобы вычислить амплитудный спектр одностороннего ряда Фурье (включает реальные гармоники с положительными частотами), амплитуды гармонических составляющих необходимо умножить на 2. Тогда получим: U0 =U(0)=U/3,
и т.д.
Амплитудный спектр заданного периодического сигнала приведен на рис. 1.2.
Рис. 1.2