В классической механике состояние частицы задают координатами, импульсом, энергией и т.п. Это динамические переменные. Микрочастицу описывать такими динамическими переменными нельзя. Особенность микрочастиц состоит в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Например, частица не может иметь одновременно точных значений координаты х и компоненты импульса рх. Неопределенность значений х и рх удовлетворяет соотношению:
(3.1)
– чем меньше неопределенность координаты Δх, тем больше неопределенность импульса Δрх, и наоборот.
Соотношение (3.1) называется соотношением неопределенности Гейзенберга и было получено в 1927 г.
Величины Δх и Δрх называются канонически сопряженными. Такими же канонически сопряженными являются Δу и Δру, и т.п.
Принцип неопределенности Гейзенберга гласит: произведение неопределенностей значений двух сопряженных переменных не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка ħ.
Энергия и время тоже являются канонически сопряженными, поэтому . Это означает, что определение энергии с точностью ΔЕ должно занять интервал времени:
Δt ~ ħ/ΔЕ.
Определим значение координаты х свободно летящей микрочастицы, поставив на ее пути щель шириной Δх, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы. До прохождения частицы через щель ее составляющая импульса рх имеет точное значение, рх = 0 (щель перпендикулярна к вектору импульса), поэтому неопределенность импульса равна нулю, Δрх = 0, зато координата х частицы является совершенно неопределенной (рис.3.1).
В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность Δх, и появляется неопределенность импульса Δрх.
Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2φ, где φ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков пренебрегаем, т.к. их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума).
Таким образом, появляется неопределенность:
Δрх =рsinφ,
но sinφ = λ/Δх – это условие первого минимума. Тогда
Δрх ~ рλ/Δх,
и
ΔхΔрх ~ рλ = 2πħ ≥ ħ/2.
Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траектории микрочастиц.
Движение по траектории характеризуется определенными значениями скорости частицы и ее координат в каждый момент времени. Подставив в соотношение неопределенностей вместо рх выражение для импульса , имеем:
–
чем больше масса частицы, тем меньше неопределенности ее координаты и скорости, тем с большей точностью применимы к ней понятия траектории.
Например, для микрочастицы размером 1·10-6м неопределенности Δх и Δвыходят за пределы точности измерения этих величин, и движение частицы неотделимо от движения по траектории.
Соотношение неопределенностей является фундаментальным положением квантовой механики. Оно, например, позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома. Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Δr и неопределенность импульса Δр удовлетворяли соотношению
ΔrΔp ≥ ħ/2,
и значение r=0 невозможно.
Энергия электрона в атоме будет минимальна при r = 0 и р = 0, поэтому для оценки наименьшей возможной энергии положим Δr ≈ r, Δp ≈ p. Тогда ΔrΔp ≥ ħ/2, и для наименьшего значения неопределенности имеем:
нас интересует только порядок величин, входящих в это соотношение, поэтому множитель можно отбросить. В этом случае имеем , отсюда р = ħ/r. Энергия электрона в атоме водорода
(3.2)
Найдем r, при котором энергия Е минимальна. Продифференцируем (3.2) и приравняем производную к нулю:
,
численные множители в этом выражении мы отбросили. Отсюда - радиус атома (радиус первой боровской орбиты ). Для энергии имеем
.
Можно подумать, что с помощью микроскопа удастся определить положение частицы и тем самым ниспровергнуть принцип неопределенности. Однако микроскоп позволит определить положение частицы в лучшем случае с точностью до длины волны используемого света, т.е. Δх ≈ λ, но т.к. Δр = 0, то ΔрΔх = 0 и принцип неопределенности не выполняется ?! Так ли это?
Мы пользуемся светом, а свет, согласно квантовой теории, состоит из фотонов с импульсом р = k/λ. Чтобы обнаружить частицу, на ней должен рассеяться или поглотиться хотя бы один из фотонов пучка света. Следовательно, частице будет передан импульс, по крайней мере достигающей h/λ. Таким образом, в момент наблюдения частицы с неопределенностью координаты Δх ≈ λ неопределенность импульса должна быть Δр ≥ h/λ.
Перемножая эти неопределенности, получаем:
–
принцип неопределенности выполняется.
Процесс взаимодействия прибора с изучаемым объектом называется измерением. Этот процесс протекает в пространстве и во времени. Существует важное различие между взаимодействием прибора с макро- и микрообъектами. Взаимодействие прибора с макрообъектом есть взаимодействие двух макрообъектов, которое достаточно точно описывается законами классической физики. При этом можно считать, что прибор не оказывает на измеряемый объект влияния, либо это влияние мало. При взаимодействии прибора с микрообъектами возникает иная ситуация. Процесс фиксации определенного положения микрочастицы вносит в ее импульс изменение, которое нельзя сделать равным нулю:
Δрх ≥ ħ/Δх.
Поэтому воздействие прибора на микрочастицу нельзя считать малым и несущественным, прибор изменяет состояние микрообъекта – в результате измерения определенные классические характеристики частицы (импульс и др.) оказываются заданными лишь в рамках, ограниченных соотношением неопределенностей.