В условиях, когда экономические агенты руководствуются только частными интересами, общественные блага недопроизводятся, и общие ресурсы используются на уровне интенсивности выше оптимального.
Пусть n агентов-фермеров обладают общей землей. Все они выпасают на этой земле свои стада. Обозначим gi размер поголовья, выпасаемого i-ым фермером. Общее число выпасаемых животных составляет, таким образом, G = g1 + g2 + …+ gn. Издержки по покупке и уходу за одним животным составляют C и не зависят от размера стада фермера. Доход фермера от выпаса одного животного на общей земле при общем числе выпасаемых животных, равном G, составляет v(G).
$ Gmax: v(G) > 0, при G < Gmax
v(G) = 0, при G ³ Gmax (1)
Для всех G < Gmax, v’(G) < 0, v’’(G) < 0 (2)
Перед началом сезона выпасов фермеры одновременно принимают решения о количестве приобретаемых животных. Предположим, что количество животных может принимать любые действительные значения.
Таким образом, стратегия i-ого фермера состоит в выборе gi.
Пространство стратегий есть [0; ¥ ), giÎ [0; ¥ )
Выигрыш i-ого фермера от выпаса gi животных в случае, когда другими фермерами выпасается (g1, …, gi-1, gi+1, …, gn), равен
giv(g1 + … + gn) – cgi (3)
Чтобы набор стратегий (g1*, g2*, … , gn*) составлял равновесие по Нэшу, необходимо, чтобы значение gi*, " i доставляло максимум выражению (3) при условии, что стратегии других фермеров: (g1*, …, gi-1*, gi+1*, …, gn*).
Условия первого порядка дают:
v(gi + g-i*) + giv'(gi + g-i) – c = 0, (4)
где g-i* = g1* + …+ gi-1* + gi+1* + …+ gn*.
Подставляя gi* в условие (4) и суммируя условия первого порядка для всех n фермеров, получаем:
v(G*) + G* v’(G*) – c = 0 (5)
где G* = g1* + g2* + … + gn*
Напротив, социальный оптимум G** - общий объем поголовья, максимизирующий общий доход хозяйства, удовлетворяет условию
(Gv’(G) – Gc), (6)
условие первого порядка для которого имеет вид:
v(G**) + G**v'(G**) – c = 0. (7)
Сравнивая (5) и (7), заключаем, что G* > G**.
Таким образом, использование общего ресурса происходит в объеме, превосходящем оптимальный, с точки зрения общества, уровень.