Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Задача 42. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.
Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.
Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:
.
Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получим искомую вероятность:
Задача 43.В 1-ой урне 6 белых и 4 черных шара. Во 2-ой - 3 белых и 7 черных. Из 1-ой во вторую переложили 1 шар и после этого из второй извлекают 1 шар. Какова вероятность того, что он белый?
Решение.Пусть событие А – «извлекли белый шар». Гипотезы приходится выдвигать из-за того, что неизвестен цвет переложенного шара. Поэтому:
Н1: переложили белый шар;
Н2: переложили черный шар.
P(H1) = 0,6, P(H2) = 0,4,
P(A|H1) = 4/11, P(A|H2) = 3/11.
P(A) = 6/10·4/11+4/10·3/11 = 18/55.
Задача 44.Из полного набора костей домино достают 2 кости. С какой вероятностью их можно приставить друг к другу?
Решение.Пусть событие А – «вторую кость можно приставить к первой». Гипотезы приходится выдвигать из-за того, что неизвестно, разные или одинаковые цифры на первой кости. Поэтому:
Н1: первая кость – дубль ;
Н2: первая кость – не дубль.
2.2.11. Формула Байеса
Рассмотрим полную группу несовместных событий , вероятности появления которых . Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий , которые будем называть гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности
.
Если событие А произошло, то это может изменить вероятности гипотез . По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Аналогично, для остальных гипотез
Полученная формула называется формулой Байеса (формулой Бейеса). Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как - априорными вероятностями.
Задача 45.В 1-ой урне 6 белых и 4 черных шара. Во 2-ой - 3 белых и 7 черных. Из 1-ой во вторую переложили случайно выбранный шар. После этого из второй извлекли 1 шар. Он оказался белым. Какова вероятность того, что переложен был тоже белый шар?
Решение.Похоже наформулу полной вероятности…Пусть событие А – «извлекли белый шар». Однако здесь не формула полной вероятности, так как результат эксперимента известен! Требуется же определить вероятность гипотез.
Н1: переложили белый шар;
Н2: переложили черный шар.
Это – задача на формулу Байеса. Требуется найти .
= 2/3.
Задача 46. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3; для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.
Решение. Возможны три гипотезы:
– на линию огня вызван первый стрелок,
– на линию огня вызван второй стрелок,
– на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В – после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны:
По формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта:
Задача 47. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. а). Каков процент брака на конвейере? б). Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере?
Решение. Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь:
– взятая наудачу деталь обработана на -ом станке, .
Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов):
Зависимости между производительностями станков означают следующее:
.
А так как гипотезы образуют полную группу, то
.
Решив полученную систему уравнений, найдем:
.
а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная:
.
Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%.
б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез:
,
,
.
Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%.