--PAGE_BREAK--2.2. МЕТОД ХОРД
Метод хорд является одним из распространенных методов решения алгебраических и трансцендентных уравнений. В литературе он также встречается под названиями «метода ложного положения» (regulafalsi), «метода линейного интерполирования» и «метода пропорциональных частей».
Пусть дано уравнение f(х) = 0, где f(х) – непрерывная функция, имеющая в интервале [а, b] производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке [а, b], т.е. f(a)-f (b)
Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке [а, b] дуга кривой у = f (x) заменяется стягивающей ее хордой. В качестве приближенного значения корня принимается точка пересечения хорды с осью Ох.
Ранее мы рассмотрели четыре случая расположения дуги кривой, учитывая значения первой и второй производных.
Рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т. е, f'(х) ∙ f'' (х) > 0.
Пусть, например, f(a) 0, f'(х) > 0, f''(х) > 0 (рис. 3.18, а). График функции проходит через точки А0(a; f(a)), В(b; f(b))- Искомый корень уравнения f(х) = 0 есть абсцисса точки пересечения графика функции у = f(х) с осью Ох. Эта точка нам неизвестна, но вместо нее мы возьмем точку x1 пересечения хорды А и В с осью Ох. Это и будет приближенное значение корня.
Уравнение хорды, проходящей через точки А0и В, имеет вид
Найдем значение х = х1, для которого у = 0:
Эта формула носит название формулы метода хорд. Теперь корень ξ находится внутри отрезка [x1, b]. Если значение корня х1 нас не устраивает, то его можно уточнить, применяя метод хорд к отрезку [х1, b].
Рис
Соединим точку А1 (x1; f(x1) с точкой В (b; f (b)) и найдем х2 – точку пересечения хорды А1В с осью Ох:
Продолжая этот процесс, находим
и вообще
Процесс продолжается до тех пор, пока мы не получим приближенный корень с заданной степенью точности.
По приведенным выше формулам вычисляются корни и для случая, когда f(а) > 0, f(b)
Теперь рассмотрим случаи, когда первая и вторая производные имею разные знаки, т.е. f'(x) ∙ f'(x)
Пусть, например, f(a) > 0, f(b) 0 (рис. 3.19, а). Соединим точки A (a; f (а)) и В0(b; f(b)) и запишем уравнение хорды, проходящей через А и B:
Найдем х1, как точку пересечения хорды с осью Ох, полагая у = 0:
Корень ξ теперь заключен внутри отрезка [a, x1]. Применяя меч од хорд к отрезку [а, x1], получим
и вообще
По этим же формулам находится приближенное значение корня и для случая, когда f(а) 0, f'(х) > 0, f''(х)
Итак, если f'(х) ∙ f"(х) > 0, то приближенный корень вычисляется по формулам (1) и (2); если же f(х) ∙ f"(x)
Однако выбор тех или иных формул можно осуществить, пользуясь простым правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.
Если f(b) ∙ f'' (х) > 0, то неподвижен конец b, а все приближения к корню ξ лежат со стороны конца а [формулы (1) и (2)]. Если f(а)×f''(x) > 0. то неподвижен конец а, а все приближения к корню ξ лежат со стороны конца b[формулы (3) и (4).
продолжение
--PAGE_BREAK--2.3. МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ)
Пусть корень уравнения f(х) = 0 отделен на отрезке [а, b], причем f'(х) и f"(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем отрезке [а, b].
Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой у = f(х) заменяется касательной к этой кривой (отсюда и второе название: метод касательных).
Первый случай. Пусть f(a) f(b) > 0, f’(х) > 0, f
”(х) > 0 (рис. 1, а) или f(а) > 0, f(b) f’(х) f
''(х) б). Проведем касательную к кривой у = f(x) в точке B0(b; f(b)) и найдем абсциссу точки пересечения касательной с осью O
х. Известно, что уравнение касательной в точке В0(b; f(b)) имеет вид
Полагая у = 0, х = х1, получим
(1)
Теперь корень уравнения находится на отрезке [а, х1]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную к кривой в точке B1(x1; f(x1)) и полечим
и вообще
(2)
Получаем последовательность приближенных значений x1, х2, …, xn, …, каждый последующий член которой ближе к корню ξ, чем предыдущий. Однако все хn, остаются больше истинного корня ξ, т.е. хn– приближенное значение корня ξ с избытком.
Второй случай. Пусть f(а) f(b) > 0, f
'(х) > 0, f''(х) f(а)> 0, f(b) f '(х) f ''(x) > 0 (рис. 2, б). Если снова провести касательную к кривой у= f (x) в точке В, то она пересечет ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку [a, b]. Поэтому проведем касательную в точке A(a; f(а)) и запишем ее уравнение для данного случая:
Полагая у = 0, x = x1 находим
(3)
Корень ξ находится теперь на отрезке [х1, b]. Применяя снова метод Ньютона, проведем касательную в точке A1 (x1; f(x1)) и получим
и вообще
(4)
Получаем последовательность приближенных значений х1, х2, … ,хn,…, каждый последующий член которой ближе к истинному корню ξ, чем предыдущий, т.е. хn– приближенное значение корня ξ с недостатком.
Сравнивая эти формулы с ранее выведенными, замечаем, что они отличаются друг от друга только выбором начального приближения: в первом случае за х0принимался конец bотрезка, во втором – конец а.
При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться следующим правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец отрезка [а, b], в котором знак функции совпадает со знаком второй производной. В первом случае f(b) ∙ f ''(х) > 0 и начальная точка b = x, во втором f(a) ∙ f "(x) > 0 и в качестве начального приближения берем а = х0.
продолжение
--PAGE_BREAK--