Шпаргалки по популяционным процессам (популяционной экологии)

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ПОПУЛЯЦИОННЫМ ПРОЦЕССАМ 1. Модели популяционного взрыва. 2. Динамика народонаселения в Сургуте, России, Китае. 3. Модель Ферхюльста-Пирла. 4. Распространение инфекционных заболеваний в популяциях. Примеры программ на ЭВМ. 5. Распространение неинфекционных заболеваний в популяциях.

Примеры программ на ЭВМ. 6. Компартментные и иерархические модели. 7. Трехкомпартментная модель эпидемии. 8. Кластерные модели и их идентификация. 9. Прямое и не прямое управление в популяциях. 10. Модель оптимального сбора урожая. 11. Модели подавления. 12. Модели демографического прогнозирования. Экстраполяционные модели.

13. Аналитический подход в моделировании демографических процессов. 14. Метод компонент, или метод передвижки возрастов. 15. Методы синергетики и теории хаоса в оценке аттракторов. 16. Соотношение между стохастикой и хаотической динамикой. 17. Синергетический подход в оценке и прогнозах эпизоотий и глобальных катастроф.

18. Модели эпизоотий на базе уравнения диффузии. 19. Модель Лотка-Вальтерра в условиях эпизоотий. 20. Модель Ферхюльста-Пирла в условиях эпизоотий. 4. Распространение инфекционных заболеваний в популяциях. Примеры программ. Болезни в популяциях играют роль мощного лимитирования, которые могут резко ограничить чис¬ленность вида X в моделях. Действительно, известно, что эпидемия чумы в 15-м веке в

Европе, например, унесла 25% жизней всего населения Европы (т.е. умерло около 25 млн. человек, больше, чем в 1-й мировой войне). Это при¬мер распространения инфекционных заболеваний, динамику кото¬рых в простейшем виде можно представить так: DX/DT=A*X-B*X*Y DY/DT=B*X*Y (1) Здесь производится учет появления численности заболевших ("за¬разных") особей, которые путем контакта со здоровыми особями (сла¬гаемое -

BXY) заражают последних, уменьшая их численность. Ско¬рость процесса заражения DY/DT и соответственно прироста числен¬ности заболевших Y пропорциональна числу контактов X и Y. Причем, коэффициент В- учитывает интенсивность контактов между здоровы¬ми особями X и больными особями Y, т.е. со скоростью BXY здоровые

X переходят в класс больных Y (скорость прироста последних растет пропорционально контактам X и Y). В реальной ситуации заболевание распространяется быстро и слагаемым АХ пренебрегаем, т. е. имеем следующее рекуррентное соотношение, которое используется в ком¬пьютерном моделировании динамики распространения заболеваний: XN = XS-B*XS*YS*DT YN = YS+B*XS*YS*DT (2) В действительности интерес представляет не динамика изменения

X и Y, а динамика DY/DT= B*XN*YN. Такая зависимость графически представляется эпидемической кривой- колоколообразной линией с максимумом. Именно эпидемическая кривая несет максимум прогноза для органов здравоохранения и ветнадзора, т.к. возможности борьбы с заболеванием ограничены. Рис.4. Эпидемическая кривая Следует отметить, что в реальной ситуации заболевших изоли¬руют или они приобретают после болезни иммунитет и исключаются из процесса контакта с

Y. В этом случае появляется численность изо¬лированных Z, которые могут вымирать со скоростью GZ. Тогда об¬щая модель примет вид: DX/DT=A*X-B*X*Y DY/DT=B*X*Y-C*Y (3) DZ/DT=C*Y-G*Z и она наиболее полно представляет динамику развития инфекционного процесса в популяции. При проведении противоэпидемических мероприятий можно им¬мунизировать восприимчивых X со скоростью V и в правой части пер¬вого уравнения из (3) появится слагаемое "-

V". В этой связи возникают задачи оптимального проведения противоэпидемических мероприятий с минимумом экономических потерь для общества. Один из самых страшных и прогнозируемых сегодня эффектов - преодоление целым рядом патогенных микроорганизмов межвидового барьера. Свидетельство тому вирус - СПИДа (болезнь обезьян), коровье бешенство (болезнь БКЯ), гонконгский куриный грипп и т.д. Опасность здесь заключается в быстроте развития инфекции и практически

полном отсутствии противоэпидемических мероприятий (кроме снижения коэффициента В в (1)- изоляции здоровых от больных).Такое развитие процесса можно рассматривать как обычную от¬рицательную связь (лимитирующий фактор). Однако это лавинообраз¬ный процесс и останутся в живых только те особи, которые имеют ма¬лую восприимчивость или легко (с низким летальным исходом) пере¬носят заболевания. В целом, такой процесс можно рассматривать как некоторую генетическую чистку популяции человека или

животных. Простейшая модель распространения инфек¬ционных заболеваний в растущей популяции имеет вид (1), которая при очень малых А и с учетом разностных определений DX и DY при¬нимает вид (2) (см. выше). Поскольку, как указывалось выше, DY =YN -YS = В* XS*YS * DT, то мы будем считать сначала XN и YN, а затем DY, но в модернизиро¬ванном виде, т.е.

DY = М * В * XN * YN * DT. Здесь М- некоторый масштабный множитель, который Вам придется подбирать экспериментально, т.е. изменения DY весьма малы в срав¬нение с X и Y. С учетом сказанных замечаний программа, реализую¬щая систему (2), примет следующий вид: CLS: SCREEN 9,1,0: IINPUT "Х0=", ХINPUT "

Y0=",Y0:IINPUT "M=", M XS=X0 - В * X0 * Y0 * DT: YS=Y0 +B* X0 * Y0 *DT FOR 1=2 TO К XN= XS- В * XS * YS* DT:YN=YS+ B* XS* YS* DT DY= M* B* XN* YN*DT: T= I* DT+50 DYN=200- DY: PSET (T, DYN), 14:

XS= XN : YS=YN: NEXT I LINE (50,200) - (50,20), 12 : LINE (50,200) –(600,200), 12 LOCATE 3,4 : PRINT "Эпидемическая кривая DY=DY(T)": LOCATE 23,50: PRINT "реальное время Т" 5. Распространение неинфекционных заболеваний в популяциях. Примеры программ на ЭВМ Наряду с инфекционными заболеваниями в природе существует большой класс неинфекционных

заболеваний (под действием радионуклидов, химических токсинов и т.д.). Поскольку выделить решающий фактор для этих заболеваний затруднительно, то будем считать, что при неинфекционных заболеваниях со скоростью ВХ здоровые экземпляры переходят из класса х в класс у. Тогда про¬стейшая модель распространения заболеваний (неинфекционных) в популяции с учетом миграции здоровых и заболевших (m1 и m2) инди¬видуумов примет вид: dx/dt = – bx + g1y + m1 dy/dt = bx – gy +

m2 Где b – скорость перехода здоровых особей в больные g – это коэффициент выздоравливающих m1 – миграция здоровых m2 – миграция заболевших Переход к разностным уравнениям (метод Эйлера): XN = XS + (-b*XS+g1*YS+m1)*DT YN = YS+(b*XS-g*YS+m2)*DT По смертности от неинфекционных заболеваний человечество страдает очень сильно (от болезней ССС и рака умирает около половины всех больных в мире, а это именно неинфекционные заболевания и часто

экологической при¬роды). 6. Компартментные и иерархические модели. Постулаты ККП: 1. Клетка – простейший компартмент (Мозг – кластер, нейрон – компартмент) 2. Между компартментами существует связь 3. Существуют отдельные отрицательно – обратные связи 4. В природе существует диссипация (разрушение) dx/dt = A(x)-bx+ud 5. Всегда во всех БС есть внешние управляющие драйвы (+ud) 6.

Подобные системы в рамках теории описываются уравнениями 7. Существует возможность управления (прямое и не прямое) x = AP(y)x – bx + ud y = CTx = C1x1 + C2x2 + … +Cnxn где x – вектор состояния P(y) – внутренний регулятор отношений - bx – внутренние факторы ud – внешнее воздействие y – интегральная совокупная численность C – матрица вкладов компонент всего вектора x в функцию выхода (продуктивности)

Матрица А определяет наличие «+» и «–» связей. Ее коэффициент показывает как влияет каждый компонент на другие или систему в целом. 3-x компартментная система трофических связей: x1 = a11x1-b1x1+ud1 x2 = a22x2+a21x1-b2x2+ud2 x3 = a33x3+a31x1+a32x2-b3x3+ud3 y = C1x1+C2x2+C3x3 a11 – компартмент продуцентов a22 – компартмент консументов a33 – компартмент редуцентов 8. Кластерные модели и их идентификация. Постулаты ККП:

1. Клетка – простейший компартмент (Мозг – кластер, нейрон – компартмент) 2. Между компартментами существует связь 3. Существуют отдельные отрицательно – обратные связи 4. В природе существует диссипация (разрушение) dx/dt = A(x)-bx+ud 5. Всегда во всех БС есть внешние управляющие драйвы (+ud) 6. Подобные системы в рамках теории описываются уравнениями 7.

Существует возможность управления (прямое и не прямое) x = AP(y)x – bx + ud y = CTx = C1x1 + C2x2 + … +Cnxn где x – вектор состояния P(y) – внутренний регулятор отношений - bx – внутренние факторы ud – внешнее воздействие y – интегральная совокупная численность C – матрица вкладов компонент всего вектора x в функцию выхода (продуктивности) Матрица А определяет наличие «+» и «–» связей. Ее коэффициент показывает как влияет каждый компонент

на другие или систему в целом. 3-x кластерная система трофических связей: x1 = A11x1-b1x1+ud1 x2 = A22x2+A21x1-b2x2+ud2 x3 = A33x3+A31x1+A32x2-b3x3+ud3 y = C1x1+C2x2+C3x3 A11 – кластер продуцентов A22 – кластер консументов A33 – кластер редуцентов КЛАСТЕР Компартмент Компартмент Пиронов корень – наибольшее и «+» собственное значение матрицы.

Если система матрицы приводится к окончательному неотрицательному виду, то такая БС является полностью синергической. Связи между компартментами и кластерами не имеют негативного характера (симбиоз, нейтролизм). 9. Прямое и не прямое управление в популяциях. Модель популяции: dx/dt = A(x)-bx+ud Существует возможность управления. Прямое – введение новых условий для работы системы, а непрямое – введение нового коэффициента (какого

либо воздействующего фактора). Прямое управление – осуществляется в модели, если действуют факторы непосредственно влияющие на параметры модели (b, u) b = b0 + b1x1 +b2x2 … u = b0 + u1x1 +… в этом случае параметры b и u становятся параметрами бифуркации, т.е. приводят к резкому изменению динамики системы; бифуркация – порождает раздвоение режимов работы системы. 12. Модели демографического прогнозирования. Экстраполяционные модели

Демографический прогноз - это научно обоснованное предвидение основных параметров движения населения и будущей демографической ситуации: численности, возрастно-половой и семейной структур населения, рождаемости, смертности, миграции, качественных характеристик населения. Выступает обычно в форме перспективного исчисления населения - расчета численности и возрастно-половой структуры населения, построенного на некоторых гипотезах относительно будущей динамки тех или иных характеристик

рождаемости и смертности. Такие расчеты делаются как правило в нескольких вариантах. Наиболее вероятный, претендующий на точное предвидение будущего хода воспроизводства населения, вариант перспективных исчислений обычно и считается демографическим прогнозом. Одним из основных методов, используемых прогнозировании, является экстраполяция временных рядов - статистических данных об интересующем нас объекте. Экстраполяционные методы основаны на предположении о том, что закон

роста, имевший место в прошлом, сохранится и в будущем, с учетом поправок из-за возможного эффекта насыщения и стадий жизненного цикла объекта. экстраполяция. Используется для прогнозирования сичленности населения небольших территорий. Основан на данных о среднегодовых абсолютных изменениях численности за период. К числу кривых, достаточно точно отражающих изменение прогнозируемых параметров в ряде распространенных ситуаций, является экспонента, то есть функция вида:

Pt = P0 + ∆t – лин ф-я Pt = P0*ert – экспонец ф-я К числу наиболее известных экспоненциальных кривых, используемых при прогнозировании можно отнести кривую Перла, выведенную на основании обширных исследований в области роста организмов и популяций, и имеющую вид: Y = L/(1+a•e-bt), где L —верхний предел переменной Y. Не менее распространена кривая Гомперца, выведенная на основании результатов исследований в области

распределения дохода и уровня смертности (для страховых компаний), имеющая вид: где k—также параметр экспоненты. Кривые Перла и Гомперца использовались при прогнозе таких параметров, как возрастание коэффициента полезного действия паровых двигателей, рост эффективности радиостанций, рост тоннажа судов торгового флота и т.д. Как кривая Перла, так и кривая Гомперца могут быть отнесены к классу так называемых S-образных кривых. Для таких кривых характерен экспоненциальный или близкий к экспоненциальному рост

на начальной стадии, а затем при приближении к точке насыщения они принимают более пологий вид. Многие из упомянутых процессов могут быть описаны с помощью соответствующих дифференциальных уравнений, решением которых и являются кривые Перла и Гомперца. 13. Аналитический подход в моделировании демографических процессов. Наиболее фундаментальными работами в области глобальной демографии, описывающими демографические процессы

и дающими ответы на оба поставленных вопроса, по праву считаются работы С.П. Капицы. В отличие от демографических моделей, строящихся на биологических предположениях типа, что рост населения пропорционален самому населению, то есть, по сути, в предположении, что рождаемость и смертность мало меняются со временем: , (6) где a – константа, Капица предлагает использовать квадратичную зависимость для скорости роста: , (7) где

C – константа. Уравнения вида (7) хорошо изучены [10] и их решения известны как режимы с обострением. Характерная черта таких уравнений состоит в том, что в некоторый конечный момент времени t0 решение уходит в бесконечность. Что же касается самого уравнения (7), то его решением как раз и будет полученная эмпирически формула (5), где t0 зависит от начальных условий. Таким образом, уравнение (7) удовлетворительно описывает эмпирическую зависимость (5) и может выступать

в роли модели демографического процесса. Однако если трактовка линейного уравнения (6) достаточно прозрачна и вытекает из усреднения биологических процессов, то квадратичный рост (7) требует своего объяснения и обоснования. С.П. Капица видит причину квадратичной зависимости в том, что человечество представляло собой единую систему, внутри которой происходят парные взаимодействия по обмену информацией и скорость роста отдельных частей существенно зависит от общего размера всей системы.

Именно информационные взаимодействия, по мнению С.П. Капицы, являются основным механизмом, отличающим человека от остальных животных, для которых характерен линейный закон (6). Таким образом, С.П. Капица дает объяснение квадратичному росту населения Земли. Что касается второй загадки – демографического перехода, то для описания этого явления С.П. Капица модифицирует модель следующим образом.

Поскольку рост человечества, согласно уравнению (7), зависит исключительно от размера популяции и не зависит ни от каких внешних условий и ресурсных ограничений, то логика диктует искать причину демографического перехода также внутри человека, поскольку никакие ресурсные ограничения не могли на протяжении тысячелетий остановить процесс роста, да и в нынешнее время переход происходит не из-за ресурсного кризиса, так как подушевой доход постоянно растет. Для Капицы особо важным параметром видится характерное время жизни

человека τ = 42 года, определяемое «внутренней предельной способностью системы человечества и человека к развитию». Этот параметр появляется в различных статистических оценках, в частности, Капица отмечает, что демографический переход происходит за характерное время, равное удвоенному τ. Если подставить в квадратичное уравнение роста (7) решение (5), то его можно записать в виде . (8) В свою очередь, для того чтобы описать демографический переход,

Капица вводит в это уравнение параметр τ: . (9) Полученное уравнение уже не дает обострения – ухода решения в бесконечность. Напротив, при такой модификации численность населения стабилизируется на уровне 10 12 миллиардов человек, что согласуется с прогнозами демографов. Более того, уравнение (9) позволяет получить аналитическую формулу для численности населения: , (10) где t1 – параметр, равный 2000 году нашей эры – середине демографического

перехода. Работы Капицы убедительно показали, что рост населения Земли можно описать математически, фактически не вводя никаких дополнительных переменных, то есть, по сути, не привлекая никаких дополнительных факторов. Этот эффект дает основания для провозглашения «демографического императива» – признания первостепенной и самодостаточной роли демографии в истории развития человеческого общества.

Тем не менее ни основное уравнение (7), ни его модификация (9), описывающая эффект демографического перехода, не раскрывают сути действующих законов, оставаясь на феноменологическом уровне констатацией обнаруженной эмпирической закономерности. Изящность демографического императива делает привлекательным подобный подход, но она же и невольно мистифицирует полученные результаты. С математической точки зрения имеющиеся демографические данные – это реализация некоторого процесса,

интегральная кривая, а уравнения (7) и (5) эквивалентны, поскольку одно является дифференциальной формой записи другого. 16. Соотношение между стохастикой и хаотической динамикой. Синергетика – это теория самоорганизации в системах различной природы. Она имеет дело с явлениями и процессами, в результате которых у системы – у целого – могут появиться свойства, которыми не обладает ни одна из частей. Синергетика не выступает здесь мировоззренческой панацеей,

но она дает возможность качественно нового постижения мира. Синергетические представления постепенно вышли из рамок естествознания в другие области науки, такие как обществоведение, медицина, материаловедение и другие. В настоящее время уже очевидно, что ведущей проблемой синергетики последних лет является проблема хаоса. За несколько тысячелетий понятие “хаос” выросло от некоторого смутного, интуитивного представления

до общенаучной категории, а затем и до новой парадигмы современной науки. В науке до недавнего времени под хаосом понимали состояние системы, характеризующееся полным отсутствием порядка, как пространственного, так и временного, причем понятие порядка было аксиоматическим, т.е. не определялось. В физике хаос стал динамическим понятием, трансформировавшись от хаоса конфигураций до хаоса движений. Это означает, что те или иные величины хаотически меняются во времени.

Научная литература выделяет три вида поведения систем. Прогноз первого вида поведения может быть дан на любое желаемое время. Начальные отклонения с течением времени нарастают, малые причины приводят к большим следствиям. Такой процесс является детерминированным. Второй вид - стохастический. В теории вероятностей итог стохастического процесса не может быть определен по изначальному состоянию

системы. И третий вид систем, которые ведут себя хаотически. Формально они являются детерминированными, точно зная их текущее состояние, можно установить, что произойдет с системой в сколь угодно далеком будущем. И вместе с тем предсказывать ее поведение можно лишь в течение ограниченного времени. Необходимо отметить, что в разработке общих подходов в оценке динамики исследуемых процессов рассматривается общая схема развития теоретической динамики, которая из детерминистской теоретической

биологии (ДТБ) перешла в стохастическую теоретическую биологию (СТБ), в рамках которой всегда существует дисперсия D (D ≠0). В конце 20-го века стала развиваться теории хаоса и возникает хаотическая теоретическая биология (ХТБ), которая характеризуется полным отсутствием дисперсии (D → ∞) и непредсказуемостью траектории развития вектора состояния x системы. Основой четвертого подхода является сочетание стохастического и хаотического подходов (СХТБ), когда

БДС управляется регуляторными системами (стохастика) и действуют динамические хаотические процессы. Общая схема соотношений этих четырех подходов (ДТБ, СТБ, ХТБ, СХТБ) представлена на рис. 1. Рис. 1. Схема состояний между основными подходами в построении 4-х позиций теоретической биологии (ТБ). Здесь ДТБ – детерминистская теоретическая биология; СТБ – стохастическая теоретическая биология; ХТБ – хаотическая теоретическая биология;

СХТБ – стохастико-хаотическая теоретическая биология. 18. Модели эпизоотий на базе уравнения диффузии В природе существует множество процессов, интенсивность протекания которых определяется их собственным состоянием в данный момент времени. • Если интенсивность падает с ростом количественных показателей процесса, то течение такого процесса довольно тривиально - он просто затухет с течением времени. •

В противном случае процесс является самоподдерживающимся и он может довольно сложным образом развиваться во времени. К процессам второго типа относятся процессы распространения эпидемий (чем больше больных, тем больше число заражаемых ими). Подобный характер имеют также процессы горения и взрыва, при которых рост температуры среды приводит к росту интенсивности горения. Получить уравнение подобного процесса можно на основании известного уравнения теплопроводности:

Tt = kTxx ( 1 ), где o T(x,t) - температура в точке х в момент времени t; o k - коэффициент теплопроводности, который обычно считается постоянным (параметр уравнения); Теперь учтем влияние среды, в которой происходит процесс горения. Будем считать, что интенсивность горения прямо пропорциональна температуре, тогда уравнение (1) можно переписать в виде Tt = kTxx + qT ( 2 ), o где q - параметр функции источника.

Эти уравнения описывают линейную модель процесса горения в некоторой среде с линейным источником энергии. Однако, процессы с линейным источником также могут дать сравнительно небольшое разнообразие видов решений уравнения модели. Более приближенной к реальным процессам является модель с нелинейным источником, например, с кубической зависимостью qT –aT3 . Тогда уравнение модели будет иметь вид: Tt = kTxx + qT –αT3 ( 3 ), где q и α-параметры функции источника.

Но и модель с нелинейным источником можно улучшить. Модель должна учитывать, что при больших температурах в рельных системах горение прекращается. Это может быть связано с выгоранием топлива или с тем, что с ростом T большую роль начинают играть эндотермические реакции (идущие с поглощением тепла). Требуемые свойства источника можно учесть введением уравнения для источника вида

Q(T) = q0Tβ. Для учета свойств модели при сравнительно низких температурах желательно сохранить линейную часть уравнения источника. В результате получаем усовершенствованную модель вида : Tt = (k(T)Tx)x + Q(T), k(T) = k0Tσ, β > σ + 1, k0, q0 > 0 ( 4 ) Подобные уравнения рассматривалось в большом количестве научных работ. Оказалось, что уравнение (4) применимо не только в теории горения.

С его помощью можно также моделировать распространение эпидемии, прохождение импульса по нервному волокну и некоторые другие явления. В работе А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова (1937 г.) такие уравнения рассматривались как модель распространения гена. Математические модели распределенных экосистем позволяют исследовать влияние пространственной неоднородности среды на динамику компонент. Эти модели дают также возможность описать и объяснить неоднородные

распределения в однородной окружающей среде.