Вступ
Страхування якекономічне явище існує впродовж декількох тисячоліть. Спочатку головною формоюстрахування була страхова взаємодопомога. Вона носила характер одноразових угодпро взаємодопомогу в області торгівлі. У подальшому взаємне страхування набуваєбільш досконалої форми, тобто воно базується на основі регулярних платежів, якіпризводять до акумуляції грошових засобів і створення страхового фонду. Пізнішепочинається процес диференціації страхування.
Сьогодніінтенсивно розвиваються нові види та підвиди, форми та варіанти страхування. Характернимє інтернаціоналізація страхування та загострення боротьби за зовнішні страховіринки.
У сучасномупідприємництві та бізнесі життєво необхідно оцінювати ризики, пов’язані звипадковими подіями. Кваліфікацію для цього має так званий актуарій – фахівецьз даних питань. У багатьох країнах актуарії активно працюють і в областіфінансів та інвестицій.
Від термінуактуарій отримала назву актуарна математика, предметом якої є опис фінансовихоперацій, що носять ймовірносний характер.
До предметуактуарна математика відносяться нетто-премії для елементарних видівстрахування, які сплачуються поетапно, тим самим дозволяючи страхувальникупоступово виконувати свої зобов’язання.
Використаннякомутаційних функцій в актуарних розрахунках
З метою спрощенняактуарних розрахунків на практиці часто використовують спеціальні функції, якіназиваються комутаційними. Для них складаються спеціальні таблиці, які єрізними для чоловіків та жінок, а також для різних процентних ставок. Вониприведені у кінці курсової робити.
Перша зкомутаційних функцій Dx, яка визначається за формулою:
/>
Зміст цієїфункції заключається в тому, що якщо при народженні групи дітей чисельність l0їх страхують на дожиття з умовою виплати у певному віці одиничної страховоїсуми, то очікувана поточна вартість суми страхових виплат запишеться у вигляді:
/>
/>
За допомогоютаблиць смертності розраховують значення для різних процентних ставок. Потім,вже не звертаючись до таблиць смертності, використовують готові значення Dx для актуарних розрахунків.Приклад використання
Немовля (хлопчик) застраховане на дожиття. Йомупередбачається виплатити суму 15000 при досягненні ним повноліття, Визначити:
1) очікуванупоточну вартість суми страхових виплат
2) величинувнеску.
Приймаємо, щоі=0.065.
1) />/>
2) /> />
Отже, щоб у 18років хлопчик отримав 15000 грн., при його народженні слід внести 4694,31 грн.
Для уникнення проміжних розрахунків по страхуванню ренти використовують іншу комутаційну функцію:
/>
Тоді формули длязвичайної та приведеної рент запишуться:
/> ä/>Приклад використання.
Визначити вартість довічної ренти з виплатою 5000наприкінці кожного року для чоловіка віком 60 років. Річна відсоткова ставка0.065.
/>
Тоді вартістьренти складе:
/>
Для спрощеннярозрахунків по страхуванню життя на випадок смерті використовують наступнікомутаційні функції:
/>
/>
Отже, очікуванапоточна вартість виплат при страхуванні життя на років, яка обчислюєтьсянаступним чином:
/>
при використаннікомутаційних функцій запишеться:
/>Приклад використання.
Чоловік у віці 40 років придбав поліс на страхування життяна термін 10 років. За цим полісом, у разі його смерті, його діти отримають50000 грн. Приймемо, що ставка доходності і=0.065. Визначити вартість полісу.
/>
Таким чином, на1грн. виплати складуть 3 коп. Тоді вартість полісу становитиме:
/>
Нетто-преміїдля елементарних видів страхування
Довгостроковіконтракти по страхуванню життя у більшості випадків оплачуються поетапно(щорічно, щоквартально, щомісячно). При періодичній сплаті внесківстрахувальник виконує свої зобов’язання поступово.
Нетто-премії дляелементарних видів страхування бувають таких видів:
1. На чистедожиття.
2. Страхуваннярент.
3. Страхуваннярент на випадок смерті.
4. Нетто-преміїзмішаного страхування життя.
Задача 1
Визначитивеличину річних внесків при страхуванні на чисте дожиття протягом 10 роківчоловікові віком 45 років на суму 10000грн. при річній ставці і = 0,06.
/>
/>
/>
/>
Тоді величинарічних внесків />
Задача 2
За умовоюпопередньої задачі річні внески сплачуються протягом лише 5 років.
/>
/>/>
/>
/>
Отже, величинарічних внесків зі скороченням строку їх сплати у два рази збільшилася на245грн. або 1,03 рази.
Задача 3
Визначитивеличину квартального внеску для жінки віком 55 років при страхуванні на чистедожиття протягом 8 років на суму 15000грн., q=4.
/>
/>
/>
/>
/>
Задача 4
Розрахувативеличину щомісячного внеску для хлопців віком 18 років при страхуванні на чистедожиття протягом 10 років на суму 50000 грн., q=12, i=0,07.
/>;
/>;
/>;
/>.
Задача 5
Жінка у віці 35років уклала договір страхування пенсії зі страховою компанією, згідно з якимдовічно буде виплачуватися пенсія в розмірі 10000 грн., починаючи з 55 років.Виплати згідно договору будуть проводитись щорічно на початку року. Жінкаповинна сплачувати внески, починаючи з 35 до 55 років, i=0,65.
/>
/>
/>
Задача 6
За умовоюпопередньої задачі чоловік у віці 35 років уклав такій самий договір зістраховою компанією, i=0,065.
/>
/>
Таким чином, заінших рівних умов чоловікові доведеться сплачувати на 712,44 грн. або у 1,26більше.
Задача 7
Чоловік у віці 38років уклав договір страхування довічної ренти при досягненні віку 60 років,коли довічно буде виплачуватися пенсія у розмірі 5000 грн. Внески ним згіднодоговору сплачуються на протязі 10 років. Визначити величину щорічного внеску,і=0,075.
Для цьоговикористаємо формулу, за якою визначимо величину щорічного внеску, якщо періодсплати внесків менший за термін відстрочки:
/>
/>
/>
Задача 8
Жінка віком 45років уклала договір термінової ренти, згідно з яким, починаючи з 55 років до65 років буде отримувати пенсію у розмірі 3250 грн. щорічно, сплачуючи внески,починаючи з 45 до 55 років щорічно на початку кожного року, і=0,055. Дляобчислення внеску страхувальника скористаємося наступною формулою:
/>
/>
/>
Задача 9
Студентюридичного факультету КПІ віком 20 років уклав довічний договір страхування зумовою виплати страхових внесків щороку. Страхова сума згідно договору рівна10000 грн., і=0,075. Розрахувати величину щорічного внеску за допомогоюнаступної формули:
/>
/>
/>
Задача 10
За умовоюпопередньої задачі припустимо, що період сплати внесків при довічномустрахуванні обмежений до віку 45 років. Коефіцієнт розстрочки буде мати вигляд:
/>
Тоді внесок приобмеженому періоді сплати буде обчислюватися за формулою:
/>
/>
/>
Отже, сплачуючищорічно 57,43грн. з 18 до 43 років, цей отримає 10000 грн. у випадку своєїсмерті.
Висновки
При виконаннікурсової роботи ми пересвідчились що комутаційні функції використовуються длярозрахунку нетто-премій для елементарних видів страхування, зокрема страхуванняна чисте дожиття, страхування рент та страхування рент на випадок смерті.
При страхуванніна чисте дожиття, коли вичікувальний період відсутній і сплата страхової преміївідбувається протягом усього часу дії договору строк страхування на певнукількість років рівний початку періоду сплати премій. Іншими словами величиназносу з одиничної страхової суми рівна одночасній вартості страхування,поділеній на коефіцієнт розстрочки (виплат).
Різновидомстрахування на дожиття є страхування рент, коли передбачений ряд виплатпротягом певного періоду, а також довічно. Довічно виплати сплачуються за умовидожиття страхувальником до віку, коли починаються виплати.
У страхуванні навиплату смерті відсутній вичікувальний період. Це пов’язане з тим, що страховимвипадком при даному виді страхування є смерть застрахованого.
Комбінація цихтрьох видів страхування являється змішаним страхуванням життя. Премія притакому страхуванні рівна сумі премій на дожиття та одноразових премійстрахування на випадок смерті.