Рівняння в повних диференціалах 1. Загальна теорія
Якщо ліва частина диференціального рівняння
/>
є повним диференціалом деякої функції />, тобто
/>,
і, таким чином, рівняння приймає вигляд />то рівняння називається рівнянням вповних диференціалах. Звідси вираз
/>
є загальним інтегралом диференціального рівняння.
Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності
/>
Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді
/>
Звідси />де />-невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по />і прирівняємо />
/>
Звідси
/>.
Остаточно, загальний інтеграл має вигляд
/>
Як відомо з математичного аналізу, якщо відомий повний диференціал
/>,
то/>можна визначити, взявши криволінійний інтеграл по довільному контуру, що з’єднує фіксовану точку/>і точку із змінними координатами />. Більш зручно брати криву, що складається із двох відрізків прямих. В цьому випадку криволінійний інтеграл розпадається на два простих інтеграла
/>
В цьому випадку одразу одержуємо розв’язок задачі Коші.
/>. 2. Множник, що Інтегрує
В деяких випадках рівняння
/>
не є рівнянням в повних диференціалах, але існує функція />така, що рівняння
/>
вже буде рівнянням в повних диференціалах. Необхідною та достатньою умовою цього є рівність
/>,
або
/>.
Таким чином замість звичайного диференціального рівняння відносно функції />одержимо диференціальне рівняння в частинних похідних відносно функції/>.Задача інтегрування його значно спрощується, якщо відомо в якому вигляді шукати функцію />, наприклад />де />-відома функція. В цьому випадку одержуємо
/>
Після підстановки в рівняння маємо
/>,
або
/>.
Розділимо змінні
/>
Проінтегрувавши і поклавши сталу інтегрування одиницею, одержимо:
/>.
Розглянемо частинні випадки.
1) Нехай />. Тоді />
І формула має вигляд
/>.
2) Нехай />. Тоді />
І формула має вигляд
/>
3) Нехай />.Тоді
/>
І формула має вигляд
/>.
4) Нехай/>. Тоді />
І формула має вигляд
/>.