Міністерствоосвіти і науки України
Міжнароднийекономіко-гуманітарний університет
ім.Академіка С. Дем’янчука
ДОСЛІДЖЕННЯ
точностівпливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методом статистичнихвипробувань Монте Карло
Модель ППП 051- 1
Науковийкерівник:
кандидаттехнічних наук,
доцент Р.М.Літнарович
Рівне,2007
Абрамович К.П. Дослідженняточності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методомстатистичних випробувань Монте Карло. Модель ППП О51 – 1.МЕГУ, Рівне, 2007, -30с,
Рецензент: С.В. Лісова, доктор педагогічних наук, професор.Відповідальний за випуск: Й.В. Джунь, доктор фізико-математичних наук,професор.
На основі результатів психологічного експерименту побудованаматематична модель залежності ситуативної тривожності на характеристики пам’ятіу вигляді кубічного поліному по способу найменших квадратів.
В даній роботі генеруються середні квадратичні похибки, які приводятьсядо заданих нормованих, будується спотворена модель, зрівноважується по способунайменших квадратів. Знаходяться ймовірніші значення коефіцієнтів а, в, с, d кубічного поліному апроксимуючої математичноїмоделі.
Робиться оцінка точності і даються узагальнюючі висновки. Приміненийметод статистичних випробовувань Монте Карло дав можливість провестиширокомасштабні дослідження і набрати велику статистику.
Для студентів і аспірантів педагогічних вузів
© Абрамович К.П.
Передмова
За результатами психолого-педагогічного експерименту при дослідженнівпливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті, будується математичнамодель у вигляді поліному третього порядку.
Вихідними даними для проведення досліджень в даній роботі берутьсярезультати психолого-педагогічного експерименту – бали тесту самооцінкитривожності по шкалі Спірбергера (Хі) і характеристики пам’яті –кількість правильних відповідей на запитання вікторини (Уі).
За цими даними була побудована математична модель у вигляді поліномутретього порядку способом найменших квадратів. Дана модель приймалась за істиннумодель.
Генерувались випадкові числа, знаходився коефіцієнт пропорційності К ідані випадкові числа приводилися до середньої квадратичної похибки 0,1 і 0,05,що відповідає ціні найменшої поділки шкали Спірбергера і половині поділки даноїшкали.
Будується спотворена модель, яка зрівноважується по способу найменшихквадратів.
Дається оцінка точності елементів, зрівноважених процедурою способунайменших квадратів. Робляться узагальнюючі висновки.
1. Представлення істинної моделі
За результатами строгого зрівноваження [6,c.33] отримана емпірична формула залежності характеристик пам’яті Х відситуативної тривожності У9(істинна модель)
у = -4,717425 Х3 + 33,731505 Х2– 85,78331 Х + 88,244437. (1.1)
Таблиця 1. Вихідні дані істинної моделі утабличному вигляді [6,c.28]Х 1,6 2 2,1 2,3 2,5 2,8 2,9 3 3,1 3,3 у 18,021 13,864 13,167 11,986 10,898 8,949 8,101 7,108 5,939 2,965
За даними табл… 1 побудуємо точкову діаграму і графік
/>
Рис.1. Точкова діаграма і графік
Побудувавши ймовірнішу модель по способу найменших квадратів і зробившиоцінку точності її елементів, в подальшому необхідно провести дослідженняточності впливу ситуативної тривожності на характеристики пам’яті методомстатистичних випробувань Монте Карло. Для цього необхідно генерувати істинніпохибки за допомогою генератора випадкових чисел.
2. Генерування істинних похибок для дослідження математичної моделіметодом статистичних випробувань Монте Карло
По шкалі Спірбергера [1] незалежні змінніпредставляються з точністю 0,1. прийнято, що точність спостережень дорівнюєполовині шкали.
Тому логічно генерувати випадкові похибки з точністю, яка б дорівнювала0,05, тобто половині шкали з якою ми працюємо. Але поставимо перед собою задачуще дослідити математичні моделі з граничною точністю, яку приймемо вдвічібільшу за 0,05, тобто рівну 0,1. При цьому непарні моделі генерують середнюквадратичну похибку 0,1, а парні – 0,05.
Сучасні калькулятори мають “вшиті” генератори для генеруваннявипадкових чисел від 0 до 1. але вони генерують числа тільки зі знаком “плюс”.
Приведемо методику розрахунку випадкових чисел, які приймемо вподальшому як істинні похибки для побудови спотвореної моделі.
1. Отримавши ряд випадкових (а точнішепсевдовипадкових) чисел ξі, натиском клавіш К, Cч, розраховують середнє арифметичнегенерованих псевдовипадкових чисел ξір .
/> (2.1)
де п – сума випадкових чисел.
2. Розраховуються попередні значення істинних похибокΔ΄і за формулою
/>, (2.2)
3. Знаходять середню квадратичну похибку попередніхістинних похибок за формулою Гаусса
/>/>, (2.3)
4. Вичисляють коефіцієнт пропорційності К длявизначення істинних похибок необхідної точності
/> ,(2.4)
де С – необхідна нормована константа.
Так, наприклад, при т Δ΄ = 0,28 інеобхідності побудови математичної моделі з точністю с=0,1, будемо мати
/>,
а при С=0,05, отримаємо К0,05= 0,05/0,28=0,178
5. Істинні похибки розраховуються за формулою
/>, (2.5)
6. Заключним контролем служить розрахунок середньоїквадратичної похибки т∆ генерованих істинних похибок ∆
/> ,(2.6)
і порівняння
/> (2.7)
Таблиця 2. Генерування псевдовипадковихчисел і розрахунок істинних похибок№ п/п
ξ і
— ξср
/>
∆΄і2
/>
∆і2 1 0,008 0,457 -0,449 0,20174 -0,207 0,04283629 2 0,39 0,457 -0,067 0,004457 -0,031 0,00094637 3 0,37 0,457 -0,087 0,007527 -0,04 0,00159833 4 0,78 0,457 0,3232 0,104484 0,149 0,02218548 5 0,47 0,457 0,0132 0,000175 0,0061 0,00003722 6 0,24 0,457 -0,217 0,046985 -0,100 0,00997656 7 0,46 0,457 0,0032 1,05E-05 0,00149 0,00000223 8 0,61 0,457 0,1532 0,023482 0,071 0,00498610 9 0,5 0,457 0,0432 0,00187 0,01992 0,00039699 10 0,74 0,457 0,2832 0,080225 0,13052 0,01703443
П= 10 4,568 Суми 8E-16 0,470955 3,6E-16 0,10000000
Середня квадратична похибка попередніх істинних похибок
mΔ’/>= (0,470955/10)0.5 =0,2170151.
Коефіцієнт пропорційності
/> .
Середня квадратична похибка при генеруванні випадкових чисел з точністюс=0,1
mΔ’ =(0.10000000/10)0.5 = 0.1000000.
Таблиця 3. Побудова спотвореної моделі
№ п/п
Істинна Хіст.
Модель Уіст.
∆іст.
Хспотв. 1 1,6 18,021 -0,207 1,393 2 2 13,864 -0,031 1,969 3 2,1 13,167 -0,04 2,060 4 2,3 11,986 0,149 2,449 5 2,5 10,898 0,0061 2,506 6 2,8 8,949 -0,100 2,700 7 2,9 8,101 0,00149 2,901 8 3 7,108 0,071 3,071 9 3,1 5,939 0,01992 3,120 10 3,3 2,965 0,13052 3,431 п = 10 25,6 100,998 3,6E-16 25,600
По даним спотвореної моделі виконують строге зрівноваження методомнайменших квадратів і отримують ймовірніші моделі, яким роблять оцінку точностізрівноважених елементів і дають порівняльний аналіз на основі якого заключаютьна предмет поширення даної моделі для рішення проблеми в цілому.
3. Представлення системи нормальних рівнянь
В результаті проведеного експерименту ми маємо ряд результатів Хі, Уі, функціональну залежність між якими будемо шукати задопомогою поліному степені К, де коефіцієнти аі являютьсяневідомими.
Тоді, система нормальних рівнянь буде
па0 +а1[х]+а2[х2]+...+ат[хт]-[у] = 0,
а0 [х]+а1[х2]+а2[х3]+...+ат[хт+1]-[ху] = 0,/>
а0 [х2]+а1[х3]+а2[х4]+...+ат[хт+1]-[х2у] = 0,/>(3.1)
............................
а0 [хт]+а1[хт+1]+а2[хт+2]+...+ат[х2т]-[хту] = 0,
де знаком [ ] позначена сума відповідного елемента.
Для поліному третього порядку виду
y= ax3+ bx2+ cx+ d(3.2)
система нормальних рівнянь буде
dn+ c[x] + b[x2] + a[x3] — [y]= 0,
d[x] + c[x2] + b[x3] + a[x4] — [xy]= 0, (3.3)
d[x2] + c[x3] + b[x4] + a[x5]- [x2y] = 0,
d[x3] + c[x4] + b[x5] + a[x6]- [x3y] = 0,
або
a[x6] + b[x5] + c[x4] + d[x3]– [x3y]= 0,
a[x5] + b[x4] + c[x3] + d[x2]– [x2y]= 0, (3.4)
a[x4] + b[x3] + c[x2] + d[x] – [xy]= 0,
a[x3]+ b[x2]+ c[x]+ dn– [y]=0,
В подальшому будемо рішати систему лінійних нормальних рівнянь (3.3)або (3.4) одним із відомих в математиці способів.
4. Встановлення коефіцієнтів нормальних рівнянь
Приведемо розрахункову таблицю, на основі якої отримують коефіцієнтинормальних рівнянь.
Таблиця 4. Розрахунок коефіцієнтівнормальних рівнянь.
№ п/п
xоп
yіст
x˚
x2
x3
x6
x5
x4 1 1,393 18,021 1 1,941 2,703 7,307 5,246 3,766 2 1,969 13,864 1 3,878 7,636 58,316 29,614 15,038 3 2,060 13,167 1 4,244 8,742 76,424 37,099 18,009 4 2,449 11,986 1 5,997 14,687 215,713 88,084 35,968 5 2,506 10,898 1 6,281 15,740 247,737 98,854 39,445 6 2,700 8,949 1 7,291 19,686 387,521 143,520 53,153 7 2,901 8,101 1 8,419 24,427 596,663 205,640 70,874 8 3,071 7,108 1 9,429 28,952 838,204 272,976 88,900 9 3,120 5,939 1 9,734 30,369 922,284 295,611 94,749 10 3,431 2,965 1 11,768 40,372 1629,884 475,113 138,496 n=10 25,600 100,998 10 68,980 193,314 4980,054 1651,756 558,398
Продовження таблиці 4.
№ п/п
х3у
х2у
ху 1 48,7148 34,97037 25,10381 2 105,8723 53,76312 27,3015 3 115,107 55,87662 27,1243 4 176,0406 71,88419 29,35309 5 171,5309 68,44533 27,31149 6 176,1661 65,24388 24,16335 7 197,8805 68,19956 23,50499 8 205,7891 67,01892 21,82591 9 180,3622 57,80981 18,52923 10 119,7025 34,89342 10,17148
n=10 1497,166 578,105 234,389
Параметр S розраховуєтьсяза формулою
S= x+x2+x3+x-y (4.1)
Таким чином, на основі проведених розрахунків нами отримана слідуючасистема нормальних рівнянь
10 d+25,6 c+68,980b+193,314a-101=0,
25d+68,980c+193,314b+558,398a-234,389=0,
68,980d+193,314c+558,398b+1651,756a-578,105=0, (4.2)
193,314d+558,398c+1651,756b+4980,054a-1496,166=0,
або
4980,054a+1651,756b +558,398c +193,314d -1496,166=0,
1651,756a+558,398b +193,314c +68,980d-578,105=0,
578,105a+100,998 b+68,980c+25,6d-234,389=0, (4.3) 193,314a+68,980b+25,6c+10d-101=0
5. Рішення системи лінійних рівнянь способомКрамера
Нехай, маємо систему лінійних рівнянь
a11x1+a12x2+…+amxn=b1,
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,(5.1)
………………………..
an1x1+an2x2+…+annxn=bn.
Для того, щоб із цієї системи визначити невідомі хі,складемо із коефіцієнтів при невідомих визначних Δ, який називаєтьсявизначником системи рівнянь (5.1)Δ=
а11 а12… а1п
а21 а22… а2п
................................................
ап1 ап2… апп
(5.2)
Помножимо ліву і праву частини рівності (5.2) на хі .В лівій частині будемо мати Δхі, в правій же частинівведемо у всі члени і –го стовпчика визначника акімножник хі