Задача1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затратына 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.
Таблица 1- Исходные данныеПредприятие Общие затраты на производство, млн. руб.
Затраты на 1 руб. произведенной
продукции, коп. 1 2,12 75 2 8,22 71 3 4,43 73
Решение:
Дляопределения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимовоспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель инеизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.
Таблица 2- ВспомогательнаяПредприятие Общие затраты на производство, млн. руб., (Wi)
Затраты на 1 руб.
произведенной
продукции, руб. (Xi)
Объем произведенной
продукции, млн руб.
(Wi/Xi) 1 2,12 0,75 2,83 2 8,22 0,71 11,58 3 4,43 0,73 6,07 Итого: 14,77 20,47
Так средниезатраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле
/>,
где х -признак (варианта) — индивидуальные значения усредняемого признака; /> показатель, представляющийсобой реально существующий экономический показатель равный х∙ f:
Данныеберутся из таблицы.
/>
Ответ:Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.
Задача2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы,результаты которого приведены ниже, определить:
1) относительнуювеличину структуры численности рабочих;
2) моду имедиану стажа рабочих;
3) среднийстаж рабочих цеха;
4) размахвариации;
5) среднеелинейное отклонение;
6) дисперсию;
7) среднееквадратическое отклонение;
8) коэффициентвариации;
9) с вероятностью0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;
10) свероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стажработы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Таблица 3- Исходные данныеГруппы рабочих по стажу, лет До 2 2 — 4 4 — 6 6 — 8 8 — 10 10 — 12 12 — 14 Число рабочих 6 8 12 24 17 8 5
Решение:
1) Находимотносительную величину структуры численности рабочих, для этого строимследующую таблицу.
Таблица 4- Относительная структура численности рабочихГруппы рабочих по стажу, лет Число рабочих Структура,% До 2 6 7,5 2 — 4 8 10 4 — 6 12 15 6 — 8 24 30 8 — 10 17 21,25 10 — 12 8 10 12 — 14 5 6,25 Итого: 80 100
2) Находиммоду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.
Таблица 5- Вспомогательная. Группы рабочих по стажу, лет Число рабочих (fi) Середина интервала, (xi) xi*fi fi. накопл До 2 6 1 6 6 2 — 4 8 3 24 14 4 — 6 12 5 60 26 6 — 8 24 7 168 50>40 8 — 10 17 9 153 67 10 — 12 8 11 88 75 12 — 14 5 13 65 80 Итого: 80 564
Мода — это наиболее часто встречающееся значение ряда:
/>,
где /> — мода; /> - нижняя границамодального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным; /> - шаг модальногоинтервала, который определяется разницей его границ; fmo — частота модального интервала; fmo-1 — частота интервала, предшествующего модальному; fmo+1 — частота интервала, последующего за модальным.
Медианойявляется значение признака х, которое больше или равно и одновременноменьше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делитряд на две равные части:
/>,
где xme — нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковыйномер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитатьвеличину />. Интервал с накопленной частотойравной величине/>являетсямедианным; i -шагмедианного интервала, который определяется разницей его границ; /> - сумма частотвариационного ряда; Sme-1/> — сумма накопленных частотв домедианном интервале; fme — частота медианного интервала.
3) Находимсредний стаж рабочих цеха:
/>,
где х -признак (варианта) — индивидуальные значения усредняемого признака, вкачестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма егограниц;
f — частота, т.е. числа,показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.
Сравниваемполученные значения, в нашем случае получаем:
/>,
чтоговорит о левосторонней асимметрии.
По этимданным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет;наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половинарабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая — менее 7,166 лет.
4) Находимразмах вариации.
Размахвариации:
/>,
где хmax-максимальное значение признака; х min — минимальное значение признака.
Так,разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.
5) Находимсреднее линейное отклонение:
/>,
где /> - индивидуальные значенияпризнака, /> - средняя величина; f — частота.
Строимрасчетную таблицу.
Таблица 6- РасчетнаяСередина интервала, (xi)
/> Число рабочих (fi)
/>
/>
/> 1 6,05 6 36,3 36,60 219,62 3 4,05 8 32,4 16,40 131,22 5 2,05 12 24,6 4, 20 50,43 7 0,05 24 1,2 0,00 0,06 9 1,95 17 33,15 3,80 64,64 11 3,95 8 31,6 15,60 124,82 13 5,95 5 29,75 35,40 177,01
/>7,05 80 189 767,80
/>.
Таксредний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То естьработники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.
6) Находимдисперсию:
/>
7) Находимсреднее квадратическое отклонение:
/>.
Среднийразброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.
8) Находимкоэффициент вариации:
/>.
Так каккоэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степенинеоднородности совокупности.
9) Находимс вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целомпо предприятию.
Границыгенеральной средней:
/>,
где /> - генеральная средняя, /> - выборочная средняя,Δ/> — предельная ошибкавыборочной средней:
/>,
где /> - коэффициент доверия,зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t = 2, а при вероятности 0,997 t= 3; n — объемвыборочной совокупности;
N — объем генеральнойсовокупности;
/> — доля отбора единиц изгенеральной совокупности в выборочную;
/> - дисперсия признакавыборочной совокупности.
Так,находим предельную ошибку выборочной средней:
/>.
Тогдапределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:
/>
10) свероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стажработы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.
Границыгенеральной доли:
/>,
где р — генеральная доля, /> — выборочная доля:
/>,
где /> - число единиц, обладающихданным или изучаемым признаком; n — объем выборочной совокупности; />-предельная ошибка доли:
/>,
где n — объем выборочной совокупности;
N — объем генеральнойсовокупности;
/> — доля отбора единиц изгенеральной совокупности в выборочную.
Тогдадоля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:
/>
Задача3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда водном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.
Таблица 7- Исходные данныеСорт винограда Число проверенных кустов Урожай с куста, кг № куста винограда 1 2 3 А 3 6 5 7 Б 3 7 6 8 В 2 9 7 -
Исчислитьобщую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.
Определитесвязь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.
Сделатьвывод.
Решение:
/>,
где /> — общая дисперсия; /> — средняя из групповыхдисперсий; /> - межгрупповая дисперсия.
Величинаобщей дисперсии /> характеризуетвариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака уединиц совокупности.
/>
где /> — общая средняяарифметическая для всей изучаемой совокупности; />_значение признака (варианта).
Средняяиз групповых дисперсий /> характеризуетслучайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и независит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;
/>,
где fi- числоединиц в определенной i — й группе;/> - дисперсия поопределенной i — й группе:
/>,
где /> - средняя по определенной i — й группе.
Межгрупповаядисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величинеизучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного воснову группировки:
/>.
Находимсреднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждойгруппе. Строим расчетную таблицу.
Таблица 8- РасчетнаяСорт винограда Число проверенных кустов (fi) Урожай с куста, кг Среднее значение № куста винограда 1 2 3 А 3 6 5 7 6 />
/> -1 1 /> />
/> 1 1 Сумма />
/> 1 1 2 Б 3 7 6 8 7 />
/> -1 1 /> />
/> 1 1 Сумма />
/> 1 1 2 В 2 9 7 - 8 />
/> 1 -1 /> /> />
/> 1 1 /> Сумма />
/> 1 1 /> 2
Получаемследующие значения, которые сводим в таблицу.
Таблица 9- Десперсии по группамСорт винограда Число проверенных кустов (fi)
/>
/> А 3 0,667 2 Б 3 0,667 2 В 2 1,000 2 Итого: 8 6
Рассчитываемсреднюю из групповых дисперсий:
/>,
Такимобразом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.
Находим межгрупповуюдисперсию.
Для этогостроим следующую вспомогательную таблицу.
Таблица10 — Вспомогательная
Сорт
винограда
Число проверенных
кустов Урожай с куста, кг
Среднее
по группе
/>
/>
/> № куста винограда 1 2 3 А 3 6 5 7 6 -1 1 3 Б 3 7 6 8 7 В 2 9 7 - 8 1 1 2 Итого 8 Общая средняя 7 2 5
/>.
Так,из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется отсреднего значения на 0,625 кг.
Находимобщую дисперсию:
/>=0,75+0,625=1,375.
Так, подвлиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.
Задача4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.
Таблица11 — Исходные данныеВиды продукции Затраты на производство, тыс. руб. Произведено, тыс. шт. I квартал II квартал I квартал II квартал А 5 600 5 850 80 90 Б 4 060 4 675 70 85 В 6 500 6 860 100 98
Определить:
1) агрегатныйиндекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общийиндекс затрат на производство;
2) абсолютноеизменение затрат на производство — общее и за счет изменения себестоимостиединицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.
Решение:
1) Находимагрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукциии общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.
Таблица12 — РасчетнаяВиды продукции Затраты на производство, тыс. руб. Произведено, тыс. шт. Расчетные показатели I квартал (z0) II квартал (z1) I квартал (q0) II квартал (q1) z0*q0 z1*q1 z0*q1 А 5 600 5 850 80 90 448000 526500 504000 Б 4 060 4 675 70 85 284200 397375 345100 В 6 500 6 860 100 98 650000 672280 637000
Итого:
1382200
1596155
1486100
Агрегатныйиндекс себестоимости:
/>,
где /> — себестоимость в отчетноми базисном периоде соответственно; /> -физический объем производства в отчетном периоде;
Агрегатныйиндекс физического объема произведенной продукции:
/>,
где />, q0 — физический объем производства в отчетном и базисном периодесоответственно; /> - себестоимостьв отчетном периоде;
Агрегатныйиндекс затрат на производство равен:
/>.
Такимобразом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затратыпроизводства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затратывыросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов — на 15,4%.
2) Находимабсолютное изменение затрат на производство — общее и за счет изменениясебестоимости единицы продукции и физического объема производства.
Общееабсолютное изменение затрат на производство:
/>=1596155-1382200=213955 млн.руб.
Абсолютноеизменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. рольсебестоимости в изменении затрат на производство:
/> =1596155-1486100=110055млн. руб.
Абсолютноеизменение затрат на производство за счет изменения физического объемапроизводства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:
/>=1486100-1382200=103900 млн.руб.
103900+110055=213955
Такимобразом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменениеобщих затрат на производство.
Задача5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукциирастениеводства.
Таблица13 — Исходные данные
Группы
сельскохозяйственных
культур Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде Индивидуальный индекс себестоимости Базисном (z0*q0) Отчетном (z1*q1) Озимые зерновые 223,0 242,0 1,02 Зернобобовые 47,2 49,0 1,05
Вычислитьобщие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделатьвыводы.
Решение:
Длянахождения индексов строим вспомогательную таблицу.
Таблица14 — РасчетнаяГруппы сельскохозяйственных культур Общие затраты на производство, (тыс. руб.) в периоде Индивидуальный индекс себестоимости (ip) Расчетные показатели Базисном (z0*q0) Отчетном (z1*q1) ip*z0*q0 (z1*q1) /ip Озимые зерновые 223 242 1,02 227,46 237,25 Зернобобовые 47,2 49 1,05 49,56 46,67 Итого 270,2 291 /> 277,02 283,92
Среднийарифметический индекс физического объема произведенной продукции:
/>,
где /> - индивидуальный индекс физическогообъема произведенной продукции; z0, q0- себестоимость, физическийобъем произведенной продукции в базисном периоде соответственно; /> -затраты на производство в базисном периоде.
Так, засчет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на2,5%.
Среднийгармонический индекс себестоимости:
/>,
где /> - индивидуальный индекссебестоимости; z1, q1- себестоимость, физическийобъем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно; />товарооборот (стоимость) реализованнойпродукции в отчетном периоде.
Так, засчет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производствопродукции выросли на 2,8%.
Общий индексзатрат на производство:
/>
Изменениезатрат под влиянием обоих составит — 5,4%.
Задача5. Рассчитать:
1) индексыурожайности переменного состава;
2) индексурожайности постоянного состава;
3) индексвлияния структурных сдвигов. Сделать выводы.
Таблица15 — Исходные данныеСельскохозяйственные предприятия Базисный период Отчетный период Урожайность, ц/га
Посевная
площадь, га
Урожайность,
ц/га
Посевная
площадь, га 1 35 520 38 650 2 20 180 22 160
Решение:
Длярешения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.
Таблица16 — ВспомогательнаяСельскохозяйст-венные предприятия Базисный период Отчетный период Расчетные показатели Урожайность, ц/га (y0) Посевная площадь, га (s0) Урожайность, ц/га (y1) Посевная площадь, га (s1) y0*s0 y1*s1 y0*s1 1 35 520 38 650 18200 24700 22750 2 20 180 22 160 3600 3520 3200 Итого 700 810 21800 28220 25950
Индекспеременного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемогопоказателя. Индекс урожайности переменного состава:
/>.
Индекспостоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя уотдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:
/>.
Индексструктурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемойсовокупности. Индекс структурных сдвигов:
/>.
Такимобразом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структурыпосевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площадиобщая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторовурожайность посевов выросла на 11,8%
Задача6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 — 2005 гг. рассчитать:за каждый год:
1) абсолютныйпророст (базисный и цепной);
2) темпроста (базисный и цепной);
3) темпыприроста базисный и цепной);
4) абсолютноезначение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;
6) среднийабсолютный прирост;
7) среднийтемп роста;
8) среднийтемп прироста. Сделать выводы.
Таблица17 — Исходные данныеЧисло умерших, чел. Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 20 745 21 639 22 513 23 290 22 745 23 074
Решение:
Дляопределения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетнуютаблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:
1. Абсолютныйприрост:
А) цепной:
/>,
где уi — уровень ряда динамикиза изучаемый период, уi-1 — уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;
Б) базисный:
/>,
где уо — начальный уровень ряда динамики;
2. Темпроста:
А) цепной:
/>;
Б) базисный:
/>;
3. Темпприроста: А) цепной:
/> или />;
Б) базисный:
/> или />;
4. Абсолютноезначение 1% прироста:
/> или />.
Таблица18 — Показатели динамикиГод Число умерших, чел. Абсолютный прирост Темп роста, % Темп прироста, % Абсолютное значение 1% прироста баз. цепн. баз. цепн. баз. цепн. 2000 20745 894 894 104,30 104,30 4,309 4,309 207,45 2001 21639 1768 874 108,52 104,03 8,523 4,039 216,39 2002 22513 2545 777 112,26 103,45 12,268 3,451 225,13 2003 23290 2000 -545 109,64 97,66 9,641 -2,340 232,9 2004 22745 2329 329 111,22 101,44 11,227 1,446 227,45 2005 23074 894 894 104,31 104,31 4,309 4,309 207,45 Итого 134006
Далеерассчитываем средние показатели динамики.
1) среднийуровень ряда динамики для интервального ряда:
/>,
где уi- уровни рядадинамики, n — числоуровней ряда динамики;
2) среднийабсолютный прирост:
/>,
где уn- конечныйуровень ряда;
3) среднийтемп роста:
/>,
4) среднийтемп прироста
/>. =102,1-100=2,1
Так, всреднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших вгод возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.
Список использованной литературы
1. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общаятеория статистики: учебник / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. — М.: Финансы и статистика,2004. — 565 с.
2. Статистика: учеб.-практ. пособие/под ред. М.Г. Назарова. — М.: КНОРУС, 2006 — 480 с.
3. Теория статистики: учебник /под ред.Г.Л. Громыко. — М.: ИНФРА-М., 2000. — 414 с.