Выборочное наблюдение
Содержание
1. Понятие овыборочном наблюдении.
2. Ошибкирепрезентативности.
3. Измерение ошибкивыборки.
4. Определениенеобходимой численности выборки.
1. Понятие о выборочном наблюдении
Выборочноенаблюдение представляет собой такой вид не сплошного наблюдения, при которомобследованию подвергается часть единиц исследуемой совокупности, позволяющей поней получить данные для характеристики всей совокупности в целом.
Всяизучаемая совокупность явлений называется генеральной совокупностью (обозн. N)
Таже часть единиц, которая отобрана из генеральной совокупности для выборочногонаправления, называется выборочной совокупностью (n — единиц).
Применениевыборочного метода в замен сплошного дает возможность лучше организоватьнаблюдение, обеспечивает быстроту проведения наблюдения, приводит к экономиисредств затрат труда на получение и обработку информации.
Выборочныйметод находит широкое применение не только как самостоятельный методстатистического исследования, но может быть также использован для ускореннойобработки материалов сплошного наблюдения и проверки данных сплошных переписейи учетов.
Задачаформирования выборочной совокупности заключается в том, что средние иотносительные показатели, характеризующие эту совокупность, с достаточнойточностью отражали соответствующие средние и относительные показателигенеральной совокупности.
Средняяили относительная величина (доля) признака в генеральной совокупностиназываются генеральными, а средняя или относительная величина (доля) признака ввыборочной совокупности называются выборочными.
Соответственнои дисперсия в генеральной совокупности называется генеральной (s 2), а выборочнойсовокупности называется выборочной (s02).
Приведемпример расчета показателей для генеральной и для выборочной совокупности.
Положим,что из 300 одинаковых по площади посева участков, имеющих различную урожайностьяровой пшеницы, отобрано в случайном порядке 30 участков (10% от всейсовокупности) – составляющих выборочную совокупность. Данные в таблице 1.
Распределениеучастка по урожайности яровой пшеницы.Группы участков по урожайности, (ц с га) число участков
Всего
(генер. совокупн.) В т. числе отобрано (выборочн. совокупн.) 14 60 8 15 150 15 16 90 7 Итого 300 30
Определимпо этим данным среднюю урожайность, дисперсию урожайности и долю участков сурожайностью в 15 и более ц с га для генеральной и для выборочной совокупности.
а)Для генеральной совокупности:
средняяурожайность:
/>
дисперсияурожайности:
/>
доляучастков с урожайностью 15 и более ц с 1 га:
/>
б)Для выборочной совокупности:
средняяурожайность:
/>
дисперсияурожайности:
/>
доляучастков с урожайностью 15 и более ц с 1 га (для выборочной совокупности доляобозн. — v)
/>
Присопоставлении показателей выборочной и генеральной совокупностей обнаружилось,что характеристики выборочной совокупности не совпадают с характеристикамигенеральной совокупности. Средняя урожайность по выборке на 0,1 ц с га меньшечем по генеральной совокупности; не совпадают также величины дисперсииурожайности (0,5 ц и 0,49 ц) и доли участков с урожайностью 15 и более ц с га(73% и 80%).
Посравнению с генеральной совокупностью характеристики выборочной совокупностимогут иметь некоторые неточности. Эти неточности в общих случаях могут бытьбольше; в других – меньше. Размеры этих неточностей зависят от того, насколькоточно отобранная часть воспроизводит или, как говорят, репрезентирует всюсовокупность исследуемых явлений.
2. Ошибки репрезентативности Между характеристикамивыборочной совокупности и искомыми параметрами генеральной совокупности, какправило, существует некоторое расхождение, которое называют ошибкой.
Общаявеличина возможной ошибки выборки слагается из ошибок двоякого рода:
- ошибкирегистрации;
- ошибки репрезентативности.
Ошибкирегистрации свойственны всякому статистическому наблюдению и их появление можетбыть вызвано несовершенством измерительных приборов, недостаточнойквалификацией наблюдателя, недостаточной точностью подсчетов и т.п. Можнополагать, что по сравнению со силошными наблюдениями опасность возникновенияошибок регистрации при выборочном наблюдении должна быть меньше, так как онипроводятся более квалифицированными работниками.
Значительноуменьшается при выборочном наблюдении и опасность преднамеренных искаженийданных, так как специально подобранные и обученные наблюдатели в них незаинтересованы.
Ошибкамирепрезентативности называют расхождения между средними величинами или долямипризнака выборочной и генеральной совокупности. Они присущи только несилошнымнаблюдениям. Ошибки репрезентативности могут быть:
- систематическими;
- случайными.
Систематическиминазываются ошибки, которые возникают из-за нарушения научного принципа отбораединиц в выборочную совокупность. Они возникают в тех случаях, когда врезультате непрпавильного отбора в выборочную совокупность попали наилучшие илинаихудшие единицы.
Врезультате такого отбора средние и относительные показатели, полученные повыборочной совокупности, будут искаженно характеризовать генеральнуюсовокупность.
Случайныеошибки репрезентативности – это неточности, которые возникают из-за того, чтовыборочная совокупность не совсем правильно отражает средние величины ивеличины доли признака генеральной совокупности. Такие ошибки возникают дажепри самом строгом соблюдении принципов и правил отбора единиц в выборочнуюсовокупность.
Ошибкирепрезентативности свойственны только выборочному наблюдению. Они не могут бытьполностью устранены, но они могут быть доведены до незначительных размеров, еслисоответствующим образом организовать отбор единиц в выборочную совокупность.
Пределыошибок репрезентативности можно определить с достаточной степенью точности наосновании ряда теорем в теории вероятности и математической статистике.
Исключительноважную роль для обоснования и применения выборочного наблюдения играет законбольших чисел. Использование законы больших чисел состоит в том, что приопределенных условиях и при достаточно большом объеме наблюдений сводныехарактеристики, полученные на основе выборочного наблюдения, будут малоотличаться от соответствующих характеристик генеральной доверенности.Основываясь на этом, можно, увеличивая объем выборочной совокупности, уменьшитьпределы возможных ошибок репрезентативности, довести их до наименьших размеров.С другой стороны, зная пределы ошибок репрезентативности, можно определитьнеобходимую численность выборочной совокупности.
3. Измерение ошибки выборки
Величинаошибки выборки зависит от численности выборочной совокупности и от степениколеблемости изучаемого признака.
Зависимостьвеличины ошибки выборки: одна формула применяется при выборочном определениисредней величины признака, а другая – при выборочном определении доли признака.Доказательства и вывод этих формул даются в курсах математической статистики.
Формуласредней ошибки выборки при определении средней величины признака имеетследующий вид:
/>
гдеm — средняя ошибкавыборки;
s2 — дисперсияпризнака в генеральной совокупности;
n – число единиц в выборочной совокупности.
Следовательно,средняя ошибка выборки равна корню квадратному из дисперсии признака, деленнойна численность выборочной совокупности. Это значит, что ошибка выборкиуменьшается при уменьшении колеблемости признака, а также при увеличениивыборочной совокупности. Это означает также, что при уменьшении колеблемостипризнака можно уменьшить объем выборки.
Формуласредней ошибки выборки при определении доли признака такова:
/>
гдеm — средняя ошибкавыборки;
p –доля признака в генеральной совокупности;
n – число единиц в выборочной совокупности.
Вышеприведенныеформулы ошибки выборки применяются, когда отбор единиц в выборочнуюсовокупность производится в порядке случайной повторной выборки. Повторнаявыборка называется потому, что каждая из единиц, отобранная из генеральнойсовокупности, после регистрации ее признаков возвращается обратно и может прикаждом последующем отборе попасть в выборку еще раз, т.е. повторно. Практическислучайная повторная выборка встречается сравнительно редко. Большей частьюимеют дело со случайной бесповторной выборкой. Бесповторная выборка называетсяпотому, что каждая из единиц после регистрации ее признаков обратно невозвращается и в дальнейшем уже в отборе не существует.
Прибесповторной выборке сокращается численность единиц генеральной совокупности.Поэтому при определении ошибки выборочной средней и доли признака прибесповторном отборе должна быть учтена численность генеральной совокупности идоля выборки.
Генеральнуюсовокупность обозначим через N, тогда доля выборочнойсовокупности n, будет равна />. Поэтому в формулу ошибки выборкипри повторном отборе должен быть введен дополнительный множитель />. Тогда формулы ошибоквыборки бесповторного отбора примут следующий вид:
дляопределения ошибки выборочной средней:
/>
дляопределения ошибки выборочной доли:
/>
Дополнительныймножитель /> всегдабудет меньше 1. Например, при 20%-ой выборке доля выборочной совокупности />=0,2, адополнительный множитель />=1,0-0,2=0,8.
Покажемрасчет ошибки выборочной средней и доли признака по данным, приведенным втабл.1.
Отборучастков в примере производится по схеме бесповторной выборки. Из 300 участковбыло отобрано 30, т.е. доля участков, попавших в выборочную совокупностьсоставляла />=/>=0,1 или 10%.Дополнительный множитель />=1,0-0,1=0,9.
Определимошибку средней урожайности по участкам, попавшим в выборку:
/>
Полученнаявеличина ошибки выборки показывает, что средняя урожайность на участках,попавших в 10% выборку, может на ±0,12 ц с 1 га отличаться от генеральнойсредней, или, иначе говоря, можно ожидать, что средняя урожайность вгенеральной совокупности будет находится между 15,12 (15+0,12) и 14,88(15-0,12) ц с 1 га.
Ошибкавыборочной доли – доли участков с урожайностью 15 и более центнеров с 1 га:
/>
Полученнаявеличина ошибки выборки показывает, что доля участков с урожайностью 15 ц с 1га в общем числе участков может отклоняться на ±0,07 от доли участков сподобной урожайностью во всей генеральной совокупности.
Можноожидать, что доля участков с урожайностью 15 и более ц с 1 га будет находится вгенеральной совокупности между 0,80 (0,73+0,07) и 0,66 (0,73-0,07).
Приэтом возникает вопрос: обязательно ли или лишь с определенной степеньювероятности средняя или доля в генеральной совокупности расположатся вдиапазонах, определяемых средней ошибкой выборки, с вероятностью 0,683.
Этонас подводит к еще одному показателю ошибки выборки – предельной ошибкивыборки.
Предельнаяошибка выборки – показатель, характеризующий диапазон, в котором по обе стороныот выборочной средней или выборочной доли расположатся значения генеральнойсредней или генеральной доли, гарантируемые с определенной степеньювероятности.
Формулапредельной ошибки выборки:
D=tm,
гдеD (дельта) — величинапред. ошибки выборки с заданной вероятностью;
t – коэффициент доверия, которорму соответствуют вероятностипредельной ошибки выборки;
m — средняя ошибка выборки.
Величинывероятности, соответствующие коэффициентам доверия, устанавливаютсяматематической статистикой. Так, например, t = 1соответствует вероятность 0,683; t = 2 соответствуетвероятность 0,954; t = 3 – вероятность 0,997 и т.д.
Еслинам надо диапазон, в котором расположатся генеральная средняя и генеральнаядоля, определить с большой степенью вероятности, то этот диапазон должен бытьрасширен. Так, например, если мы должны вероятность определения этого диапазонав условиях нашего примера довести до 0,997, то среднюю ошибку выборки надоумножить на t = 3,
D = tm = ± 0,12 ц с 1 га ´ 3 = ± 0,36 ц с 1 га.
Этоозначает, что с вероятностью, равной 0,997, можно гарантировать, что средняяурожайность генеральной совокупности расположится между 15,36 ц (15,0+0,36) и14,64 ц с 1 га (15,0 — 0,36).
Формулыпредельных ошибок выборки:
приповторном отборе:
а)для средней D = tm =t />,
б)для доли D = tm =t/>;
прибесповторном отборе:
а)для средней D = tm =t />,
б)для доли D = tm =t/>.
4. Определение необходимой численностивыборки
Однойиз наиболее важных и ответственных задач при организации и проведениивыборочного наблюдения является установление необходимой численности выборочнойсовокупности, т.е. такой ее численности, которая обеспечивала бы получениеданных, достаточно правильно отражающих изучаемые свойства генеральнойсовокупности.
Приэтом должно быть учтено: 1) с какой степенью точности следует получитьпредельную ошибку выборки; 2) какова должна быть вероятность того, что будетобеспечена обусловленная точность результатов выборочного наблюдения;3) степень колеблемости изучаемых свойств в исследуемой генеральнойсовокупности.
Этозначит, что необходимая численность выборки (n)устанавливается в зависимости от размеров предельной ошибки выборки (D), от величины коэффициентадоверия (t) и от размеров величины дисперсии (s2).
Самиформулы необходимой численности выборки выводятся из формул предельной ошибкивыборки следующим образом:
Приповторном отборе:
а)для средней
вформуле предельной ошибки выборки
D = t />
обеее стороны возводим в квадрат
D2 = t2/>
откуда
D2 = />
изатем
n = />
Такимобразом, необходимая численность выборочной совокупности равна произведениюквадрата коэффициента доверия и дисперсии признака, деленному на квадратпредельной ошибки выборки.
б)для доли:
вформуле предельной ошибки выборки:
D = t/>;
обеее стороны возводим в квадрат и получим:
D2 = t2 />
откуда
D2 = />
изатем
n = />.
Такимобразом, в этом случае необходимая численность выборочной совокупности равнапроизведению квадрата коэффициента доверия и дисперсии доли, деленному наквадрат предельной ошибки выборки.
Прибесповторном отборе:
а)для средней
вформуле предельной ошибки выборки
D = t />,
послеряда преобразований получаем:
n = />;
б)для доли:
изформулы предельной ошибки выборки:
D = t/>;
послеряда преобразований получаем:
n = />.
Примеропределения необходимой численности выборочной совокупности исходя из условийповторного отбора. Допустим, что с вероятностью 0,954 требуется определитьфактический средний диаметр выпускаемой в одном из цехов детали при условии, чтопредельная ошибка выборки не должна превышать 0,2 см и зная, что дисперсияразмеров диаметра детали составляет 0,5 см. Таким образом:
D = 0,2; s2 = 0,5; t = 2.
Вэтих условиях:
n = />.
Следовательно,на выборку в порядке случайного отбора должно быть отобрано 50 деталей. Есливсего произведено 5000 таких деталей, то доля выборки составляет />=0,01 или 1%.
Таккак в данном примере доля выборки очень небольшая, то расчет, полученный поформуле повторной выборки, может быть применен и для выборки бесповторной.Таким образом, для выборочной проверки должна быть отобрана каждая 100-ядеталь.