Динамикарыночной экономики
Традиционныйподход к динамике рыночных отношений предполагает рассмотрениеприспособительных реакций экономики на внешние воздействия в«кратчайшем», «краткосрочном» или «долговременном»периодах. Весь анализ основан на графических построениях и сводится к сравнениюначальных и конечных равновесных состояний. Сам процесс перехода из одногосостояния в другое остается без внимания [1].
Цель даннойработы – разработка математических моделей, описывающих динамику поведениямакроэкономических систем.
Рассмотрим экономические модели:
- чистоймонополии,
- чистойконкуренции,
- монополистическойконкуренции и олигополии.
Примемследующие определения и допущения:
1. Планируемыйспрос – объем товаров в натуральном или денежном выражении по ценам,действующим на принятый за базовый момент времени, который потребителипланировали или планируют приобрести на некоторый начальный момент времени илиза любой выделенный его промежуток.
2. Потребительскийспрос – спрос на товары личного потребления. Так как конечной целью любойэкономики является удовлетворение личных потребностей, именно спрос на потребительскиетовары является первичным, определяющим размер производства. «Уровеньжизни людей зависит в первую очередь от количества товаров, произведенных инаправленных в руки семей и отдельных индивидов…» [2].
3. Текущийспрос – разность между планируемым спросом и тем количеством товаров внатуральном или денежном выражении по действующим на базовый момент времениценам, которое было реализовано на внутреннем рынке к данному моменту времени.
4. Ограниченныйспрос – количество товаров в натуральном или денежном выражении, потребность вкотором может быть полностью удовлетворена. «Хотя, вообще говоря,потребности людей безграничны, потребность в определенном товаре может бытьудовлетворена» [3].
5. Неограниченныйспрос – спрос, который существует на постоянной основе и не может бытьполностью исчерпан.
6. Расширяющийсяспрос – спрос, прямо зависящий от количества реализованного к данному моментувремени товара.
7. Годовойспрос (годовой прирост спроса) − величина спроса в текущем году. Годовойспрос принимается численно равным абсолютному значению производной по временина начало текущего года от функции, описывающей спрос, при измерении времени вгодах. (Изменение функции с достаточной точностью может быть оценено по ее дифференциалу).
8. Производный(вторичный) спрос – спрос, обусловленный наличием потребительского спроса.Например, спрос на инвестиционные товары, ресурсы является производным отпотребительского спроса. Производным является и спрос на услуги, такие,например, как управленческие услуги, медицинские услуги; услуги по гарантийномуи текущему техническому обслуживанию, ремонту; услуги по реализации товаров итак далее. «Спрос на ресурсы является производным спросом, т. е.производным от готовых товаров …» [4]. Будучивторичным, производный спрос не оказывает прямого влияния на размер производства.
9. Объемпроизводства – количество товаров в натуральном или денежном выражении поценам, действующим на момент времени, принятый за базовый, которое произведенок данному моменту времени. Это реальный физический объем производства,выраженный в натуральной или эквивалентной денежной форме по тем же ценам, чтои спрос.
10. Годовойобъем производства (годовой прирост продукции) − объем товаров,произведенный в текущем году. Принимается численно равным производной повремени на начало текущего года от объема производства при измерении времени вгодах. Аналог данной величины – валовой национальный продукт (ВНП).
11. Рынок– структура, обеспечивающая распределение товаров. В более широком смысле рынок– экономическая система в целом.
12. Предложение– количество потребительских товаров, поставляемых на рынок.
13. Емкостьрынка – планируемый спрос на товар, текущая емкость рынка – текущий спрос натовар.
14. Ограниченныйрынок – рынок с ограниченным спросом, расширяющийся рынок – рынок срасширяющимся спросом, неограниченный рынок – рынок с неограниченным спросом.
15. Статичнаяэкономика – экономика с постоянными средним годовым планируемым спросом исредним годовым объемом производства.
16. Количествотоваров, спрос, объемы производства измеряются в у. е. (условных единицах).
Экономическуюсистему, основанную на спросе и предложении, можно представить следующейструктурной схемой (см. рис.1):
/>/>
динамикамонополия олигополия конкуренция
Ее можно рассматривать как динамическийобъект с отрицательной обратной связью по предложению. Входной величиной длясистемы является планируемый спрос, выходной – объем производства. Рынок можнорассматривать как элемент сравнения спроса и предложения, производство — как объект регулирования.Регулирующую роль в системе играет предложение. При отклонении предложения отспроса появляется стимул для изменения размера производства, а, следовательно,и величины предложения.
Аналитическидинамические свойства выражаются обычно дифференциальными уравнениями,графически, наглядно, – кривыми переходных процессов, представляющих реакцииобъекта на типичные входные воздействия. Примером может служить временнаяхарактеристика – изменение во времени выходной величины под действием скачкообразногоизменения входной. При этом виде воздействия входная величина мгновенноизменяется на конечную величину, в дальнейшем оставаясь постоянной. Частооказывается удобным другой способ выражения динамических свойств – передаточнаяфункция, представляющая собой динамический коэффициент передачи объекта.
Динамическиехарактеристики системы в целом складываются из динамических характеристик структурныхединиц – элементов.
Рассмотримдинамические характеристики элемента «Производство» для различныхмоделей экономики.
Динамикатоварного производства. Чисто монопольный рынок ограниченного объема
Обозначимколичество товара через "х". Примем, что единственныйпроизводитель поставляет на рынок, емкость которого хвх = const ограничена, пригодный кнеограниченно долгому использованию товар.
Если товарана рынке мало, т. е. он дефицитен, то любое количество раскупается сразу,скорость реализации велика, так как велико число покупателей. По мере насыщениярынка число покупателей сокращается, и скорость реализации падает. Наконец,если рынок насыщен товаром, скорость реализации становится равной нулю. «Чем большееколичество продукта приобретают потребители, тем меньше их стремление кполучению дополнительных единиц этого же продукта» [5].
Логичнопринять, опираясь на приведенные выше рассуждения, что скорость реализациипропорциональна текущему спросу, то есть разнице между планируемым спросом(емкостью рынка)"хвх" и количествомреализованного к данному моменту товара"x".
Тогдаскорость реализации составит
Vp=c×(xвх– x) …………….……….…… (1),
где "х"- количество реализованного к данному моменту времени "t" товара, у.е.,
хвх –планируемый спрос, у.е.,
с – коэффициентпропорциональности, имеющий размерность времени.
Единственныйпроизводитель способен полностью контролировать рынок. Ему выгодно, чтобыминимизировать издержки и получить максимальный общий доход и прибыль,поддерживать постоянной цену товара, а скорость производства, равной скоростиреализации, то есть «работать с колес».
Выберемпроизвольный момент времени "t" и рассмотрим баланс товара нарынке за бесконечно малый промежуток времени "dt ". За этотпромежуток времени будет произведено количество товара, равное "dx",а реализовано количество товара, равное"c×(xвх– x)∙dt". Из условия, чтопроизведенный товар будет немедленно реализован, следует, что эти количествадолжны быть равны:
dx = c×(xвх– x)∙dt …………………… (1.1).
Разделив обечасти на "dt", получим:
dx/dt = c×(xвх– x) …………………… (1.2).
Тот жерезультат можно получить, если приравнять скорости производства и реализации товара.
Скоростьпроизводства товара равна приращению массы товара на рынке в единицу времени,т. е.
Vп= dx/dt…………………..…….… (1.3),
Приравнивая(1) и (1.3), получим дифференциальное уравнение, описывающее динамику производства:
dx/dt = c×(xвх– x)……………..(1.2),
/> …………..…. (1.4),
/>……………….(1.5).
Решениемуравнения (1.5) при нулевых начальных условиях (x= 0 при t= 0) и хвх= соnst (хвх = 0 при tхвх≠0 при t≥0)будет:
/> ………..… (1.6),
где х– объем производства − выходная величина объекта, у.е.,
хвх – планируемый спрос −входная величина для объекта, у.е.,
T1 =1/c – постоянная времениобъекта.
Чистомонопольный, расширяющийся рынок
Реальныйтовар имеет ограниченный срок использования, например, вследствие моральногоили физического износа, т. е. безвозвратно расходуется в процессе потребления.Для замены использованного товара требуется производить дополнительноеколичество нового товара, причем это дополнительное количество пропорциональноуже выпущенному количеству, т. е. по мере роста выпуска происходит расширениепланируемого спроса "хвх" на величину «l×х», где "х" — масса уже выпущенного товара, а lхвх" может быть функцией времени.
Итак, текущийспрос составит
[(xвх + l×х)– x)] …………………...… (2),
скоростьреализации
Vp=c×[(xвх + l×х)– x)] ……………… (2.1),
скоростьпроизводства
Vп= dx/dt ……….……………….…(2.2).
Приравнивая(2.1) и (2.2), получим следующее дифференциальное уравнение:
dx/dt = c×[(xвх + l×х)– x)] ………… (2.3)
или
/> ……………….…(2.4),
где Т1= /> - постоянная времени:параметр, характеризующий динамику производства в условиях чистой монополии,
К = /> - структурныймультипликатор спроса (или статический коэффициент передачи объекта).
Структурныммультипликатор назван потому, что он относится к конкретной структурной единице– производственному сектору и характеризует его производственные возможности.
Можно принять/>, исходяиз того, что λ = 0, когда срок службы товара«tс» не ограничен (tс =¥), и "λ"стремиться к 1 (λD" − некотораяконстанта.
Структурныймультипликатор − аналог мультипликатора дохода, обычно определяемого как«отношение изменения ЧНП к соответствующему изменению первоначальныхрасходов» [6], а коэффициентрасширения спроса "λ" не что иное, как аналог «предельнойсклонности к потреблению»[7] .
Решениеуравнения (2.4) при нулевых начальных условиях (xt=0 = 0) и при хвх = const будет иметь вид:
/> ………………(2.5).
На рис. 2приведена временная характеристика модели с постоянной времени Т1= 2 года (с =1 год−1; l= 0,5) и коэффициентомпередачи К = 2, представляющая собой зависимость объема производства отвремени при входном скачкообразном воздействии (изменении спроса) хвх = 1 у.е… По временнойхарактеристике можно судить о динамических свойствах объекта. В данном случае попринятой классификации объект– апериодическое звено первого порядка [8].
/>/>
Чистоконкурентный, расширяющийся рынок
Для чистойконкуренции характерно следующее [9]:
— отраслевоепроизводство увеличивается или сокращается только за счет изменения числа предприятий,причем отрасль может расширяться или сужаться без существенного влияния на ценыи затраты ресурсов;
— отдельныйпроизводитель не в состоянии повлиять ни на цену товара, ни на общий объем производства;
— производители могут, как легко входить в рынок, так и легко покидать его;
— увеличениеспроса не влияет на уровень цен, так как отраслевое предложение представляетсобой горизонтальную линию.
Естественнопоставить скорость образования новых предприятий в зависимость от спроса. Вначальный момент, когда число предприятий незначительно, а спрос велик,скорость образования новых предприятий будет велика. При текущем спросе, равномнулю, новые предприятия возникать не будут.
Допустим, чтоскорость образования новых предприятий пропорциональна текущему спросу, т. е.
/> ………….…...(3),
где "N"– число предприятий.
В условияхчистой конкуренции экономические показатели отдельных предприятий неизбежновыравниваются, то есть
v1= v2=… vj = …=vN = c2 ………...(3.1),
где «vj» — скорость производстваотдельного предприятия (типичной фирмы).
Суммарнаяскорость производства (отраслевая скорость) пропорциональна числу производителей:
/>…………….….…(3.2),
Откуда
/>……………...……..(3.3).
Подставив (3.3)в (3) и произведя преобразования, получим (с=с1∙с2):
/> ………… (3.4)
или
/> ……………… (3.5),
гдехвх – планируемый спрос(входная величина),
/> - параметр,характеризующий динамику производства в условиях чистой конкуренции,
К = /> - структурныймультипликатор спроса.
Решениемуравнения (3.5) при нулевых начальных условиях
(t= 0, xt=0= 0, />) и при xвх= const
является выражение:
/> …..……...(3.6),
где
/> …………….…..……(3.7).
Здесь w1 — круговая частота цикла, А1– амплитуда цикла. Период цикла связан с круговой частотой соотношением
/> ………………….(3.8).
На рис. 3показана реакция модели с параметрами Т2 =2 года (с = 0,5 год−2;l=0,5) и К = 2 на входное воздействие (скачкообразное изменение спроса) хвх= 1 у. е., а именно: зависимость объема производства от времени.
Даннаяструктурная модель представляет собой чисто колебательное звено.
/>/>
Расширяющийсярынок с монопольной конкуренцией
Уравнениепроцесса для данного случая можно получить, поставив в соответствие реальномурынку составной рынок, состоящий из двух частей: чисто конкурентной и чистомонопольной, суммарный объем производства и суммарный спрос которых равнысоответственно объему производства и спросу на реальном рынке. Такоерассмотрение позволяет ввести непрерывную величину − показатель конкуренции"k", как долю объема производства и спроса, приходящуюся наконкурентную часть составного рынка, и связать ее с числом производителей нарынке. Каждую часть рынка можно, воспользовавшись выведенными выше уравнениямидля чистой монополии и чистой конкуренции, описать собственным уравнением,исходя из доли приходящегося на нее объема производства и спроса.
Объемпроизводства конкурентной части рынка и приходящийся на нее спрос составятсоответственно"k×x" и "k×xвх", где k –показатель конкуренции (0kх" – текущий объем производства реальногорынка, "хвх" — спрос на реальном рынке. Тогда чисто конкурентную часть рынкаможно описать уравнением:
/> ….............(4).
Чистомонопольная часть рынка в свою очередь будет описываться уравнением:
/> …...(4.1).
Присуммировании этих двух уравнений получим рынок с объемом производства и спроса,равным таким же величинам реального рынка, и уравнение, описывающеерасширяющийся рынок с монопольной конкуренцией:
/> … (4.2),
/> …….……… (4.3),
где />
/> и /> −параметры динамики модели.
Решение уравнения (4.3) при Т3Т4 с учетом начальных условийt = 0, x = 0, /> и при входномвоздействии хвх = соnst и можно записать в виде:
/>……...… (4.4),
где
/>.…(4.5),
/>…………..………(4.6).
Здесь σ– коэффициент затухания цикла, ω2 – круговая частота цикла, β– фаза цикла, А2 – амплитуда цикла.
На рис. 4показана временная характеристика, то есть зависимость объема производства отвремени, для модели с параметрами Т2 =2 года, Т1= 2 года, К = 2, k = 0,5 при входном воздействии (скачкообразномизменении спроса) хвх = 1 у. е. Такая временнаяхарактеристика характерна для колебательного звена с затуханием.
Уравнение(4.2) можно считать обобщенной динамической характеристикой элемента«Производство» для всех моделей экономики. Все рассмотренные случаимогут быть получены из него при значениях коэффициента конкуренции "k" в диапазоне отнуля до единицы.
Записанное воператорной форме уравнение (4.2) будет иметь вид:
/>…………..(4.7),
/>/>
а передаточнаяфункция элемента (сектора) «Производство» может быть представлена следующимвыражением [10]:
/> .….…(4.8),
где хвх– значение сигнала на входе элемента (хвх1 на рис.1),
х – значение сигнала навыходе элемента (хвых1 нарис.1),
Т2 – параметр, характеризующий динамику элементапри чистой конкуренции (динамику конкурентной части);
Т1 − параметр, характеризующий динамику элементапри чистой монополии (динамику монопольной части);
р — оператор дифференцирования.
Статической характеристикой элемента являетсялинейная зависимость:
х = К∙хвх …………………………(5).
Статическая характеристика – зависимостьвыходной величины от входной в равновесных состояниях объекта. Состояние объекта,при котором возмущения отсутствуют, а входная и выходная величины сохраняютпостоянные значения, называется равновесным. Статическая характеристикапозволяет определить величину выходного сигнала в зависимости от заданнойвеличины входного при переходе объекта из одного равновесного состояния в другое[11].
Если объект, будучи выведен из состоянияравновесия действием возмущения, после устранения последнего стремится сновавернуться в состояние равновесия, то он является устойчивым. Если же выходнаявеличина с течением времени все дальше удаляется от заданного значения илинепрерывно колеблется вокруг него – объект неустойчив [12].
Известно, что уровень конкуренции естьфункция числа производителей k = f(N) [13], где "N",очевидно, равно числу производителей, когда система находится в состоянииравновесия. Эту зависимость, учитывая, что для чистой конкуренции k = 1, а для чистоймонополии k = 0, можно аппроксимировать выражением:
/>……………………..(5.1).
При большом"N" (N→∞), что отвечает случаю чистойконкуренции, показатель конкуренции "k", вычисленный попредложенной зависимости (5.1), практически не отличается от единицы, а при N = 1, что отвечает случаючистой монополии, равен нулю. На практике "N" можно приниматьравным среднему числу производителей за достаточно большой промежуток времениили среднему числу за экономический цикл.
Обратнаязависимость будет иметь вид:
/> ………...……..(5.2).
Динамика экономической системы
Примем, что запаздывания (временные лаги)в экономической системе (см. рис.1), связанные с принятием решений об увеличении или сокращении объемовпроизводства, с подготовкой производства при изменении спроса, с задержками налинии реализации продукции, отсутствуют или незначительны, и что передаточнуюфункцию структурного элемента «Предложение» можно представить в виде:
W2(p) = /> = КS….………….....… (6),
где КS –коэффициент передачицепи обратной связи (КS ≤1).
Тогда передаточная функция системы в целомбудет иметь вид [14]:
/> …. (6.1),
причем
/>…………….......(6.2),
/>…….…....(6.3),
и, следовательно, система в целом будетописываться следующим дифференциальным уравнением:
/> ..…… (6.4),
где К0– системныймультипликатор спроса (статический коэффициент передачи системы),
Т3 – имеющий размерность времени параметр,характеризующий динамику системы при чистой конкуренции (динамику конкурентнойчасти),
Т4 − имеющий размерность времени параметр,характеризующий динамику системы при чистой монополии (динамику монопольнойчасти),
хвх– размер планируемогоспроса,
хвых– размер производства.
Приравнивая знаменатель передаточнойфункции (6.1) нулю, получим характеристическое уравнение системы:
/>= 0…………..………… (6.5).
Если корни этого уравнения /> комплексные (Т3Т4),решением дифференциального уравнения (6.4) будет колебательный процесс.
Обозначим:
/>…… (6.6).
Тогда />, где s — коэффициент затухания, w2 — круговая частота цикла.
Полагая Т1/(2×Т22) = а = соnst (Т1 и Т2по определению не зависят от "k"), получим уравнение,связывающее коэффициент затухания с показателем конкурентности рынка:
/> ….……….………… (6.7).
Здесь коэффициент "а"можно рассматривать как параметр цикличности, так как от него зависит скоростьзатухания колебаний.
Современное производство включает двасектора: потребительский и средств производства. Для обеспечения выпускапотребительских товаров, общество вынуждено производить соответствующееколичество орудий труда. С экономической точки зрения коэффициент передачи цепи обратной связи"КS" представляет собой коэффициент распределения дохода междуэтими двумя секторами. «То, что затрачено потребителем на приобретениепродукта, получено в виде дохода теми, кто участвовал в его производстве» [15].
Рассмотрим реакцию моделей наскачкообразное изменение спроса. Напомним, что реакция на скачкообразноеизменение входного сигнала − одна из характеристик, по которой можнонаглядно судить о динамических свойствах системы.
Для случая чистой конкуренции (k = 1) будем иметь:
/>..………………....…(7),
/>…..….(7.1),
/> ………………………...(7.2).
При нулевых начальных условиях (xвыхt=0 = 0, dxвых/dtt=0,= 0), полагая xвх = const (xвх = 0 при txвх ≠ 0 при t³ 0), получим следующее решение уравнения (7.2):
/>…………......….…….(7.3),
где
/> − круговая частота цикла…………..……(7.4),
/> − амплитуда цикла…………………(7.5).
Период цикла связан с круговой частотойсоотношением
/> …………………………….…..(7.6).
Из (7.3) следует, что в случае чистойконкуренции временная характеристика системы представляет собой незатухающиегармонические колебания (циклы) около средней линии−состояния равновесия хвых=К0×хвх [16],причем с увеличением структурного мультипликатора частота колебаний растет.Амплитуда цикла пропорциональна интенсивности возмущения. Эти незатухающиеколебания объема совокупного продукта – присущая системе естественнаяцикличность. «Термин экономический цикл означает следующие один за другимподъемы и спады уровней экономической активности. Отдельные экономические циклысущественно отличаются друг от друга по продолжительности и интенсивности [17]».Последнее, вероятно, объясняется возникновением биений при наложениимногочисленных в реальных условиях внешних возмущений на естественнуюцикличность. Следует отметить, что в состоянии равновесия колебанияотсутствуют. В то же время любое внешнее воздействие приводит к появлениюнезатухающих колебаний. Такая система не считается устойчивой [18].Напомним, что устойчивой считается система, стремящаяся после устранениявозмущения вернуться в состояние равновесия. «Неустойчивость рыночнойэкономики, сказывающаяся на объеме совокупного продукта, занятости и уровнецен, представляет собой вечную проблему» [19].
Для полностью монополизированной экономики(k = 0) при начальных условияхt = 0, xвыхt=0= 0 и при xвх = const имеем:
/>…(7.7),
/>……………….….…….……....(7.8),
/> ………………..………...(7.9).
Полностью монополизированная экономикаустойчива, собственная (внутренняя) цикличность отсутствует, скоростьвыравнивания при возмущениях растет с увеличением структурного мультипликатора:ускоряется переходной процесс. В равновесных состояниях />. Временнаяхарактеристика представляет собой экспоненциальную зависимость (7.9) [20].
Для случая монополистической конкуренции(0
При начальных условияхt = 0, xвыхt=0 = 0, dxвых/dtt = 0и xвх = const решение уравнения (6.4)можно записать в виде:
/>……………..……….… (7.10),
где /> − частота цикла, /> – амплитудацикла, /> –фаза цикла, /> – коэффициент затухания.
В равновесных состояниях />.
Модель устойчива: временная характеристика– затухающие гармонические колебания (7.10) [21]. Приувеличении степени монополизации время стабилизации системы при действии возмущений ицикличность, если под этим подразумевать число циклов до возвращения системы всостояние равновесия, уменьшаются.
Удобнее другая форма уравнений (6.4),(7.2), (7.8), полученная их дифференцированием:
для монополистической конкуренции
/> ….(8),
для чистой конкуренции
/> ..………….(8.1),
для чистой монополии
/> ………………(8.2).
Здесь в качестве переменных фигурируютгодовые показатели:Yвх – годовой планируемый спрос, Yвых– годовой объем производства.
Системныймультипликатор "К0«отражает фундаментальную дляэкономики связь между планируемым спросом и размером производства.
Дляравновесных состояний всех моделей имеемхвых =К0∙хвх,в том числе для годовых значений объема производства и планируемого спроса – Yвых=К0∙Yвх.Эти соотношения верны и для средних значений соответствующих величин. Вчастности, средними являются значения, полученные исключением из решенийциклической составляющей.
Учитывая, чтопри равновесии
/>,
получим:
Yвх ср = (1 – λ)∙Yвых ср + КS∙Yвых ср …….….…..(9),
где Yвх ср– равновесный (или средний) годовой планируемый спрос,
Yвых ср – равновесный (илисредний) годовой объем производства.
Первый член YАср = (1– λ)∙Yвых срвыражения (9) может быть отождествлен со средними годовыми затратами,необходимыми для полного восстановления израсходованных средств производства(амортизация), второй YPср =КS∙Yвыхср – со средними годовыми поставками потребительских товаров на рынок(предложением).
В то же время
Yвых ср= КS∙Yвых ср + (1 − КS)∙Yвых ср ……....(9.1).
Здесьвыражение YВср = (1 − КS)∙Yвых српредставляет собой фактические годовые затраты на инвестиционные товары, т. е.валовые инвестиции.
Для статичнойэкономики годовой текущий спрос Yср =Yвх ср– (1 – λ)∙Yвых ср равен годовым поставкамна рынок YРср = КS∙Yвых ср,так как из (9) следует
Yвх ср – (1 – λ)∙Yвых ср=КS∙Yвых ср….…….…(9.2),
Чтобы иметьвозможность применять полученные уравнения к открытой экономике, введем врассмотрение коэффициенты (доли) соответственно КM импорта и КX экспорта как части собственноговыпуска продукции, т. е.
КM = YM/Yвых,КX = YX/Yвых ….……(10),
где YM – величина импорта, YХ – величина экспорта.
Коэффициент распределения дохода для этогослучая определим следующим образом:
КS, о = КS + КM – КX ……….…… (10.1),
где КS –коэффициентраспределения без учета импорта и экспорта.
Системныймультипликатор спроса для открытой экономики будет равен:
/>…..(10.2),
собственные годовыепоставки на рынок составят
YР = КS, о∙Yвых…………….…(10.3),
валовыеинвестиции
YВ = (1–КS, о)∙Yвых………....(10.4),
амортизация,т. е. затраты на полное восстановление израсходованных средств производства,
YА = (1– λ)∙Yвых…………….(10.5),
чистыеинвестиции
I = (YВ −YА) = (λ –КS, о)∙Yвых ….….(10.6).
Собственный годовойвыпуск продукции составит:
/>…………………..….(10.7).
Этисоотношения будут действительны и для закрытой экономики при условии замены КS, о на КS.
Введем врассмотрение еще один экономический показатель−общее потребление, и определимего следующим образом:
Q= YР +YВ + YM − YХ = (1+КM −КX)∙Yвых …… (10.8).
Целесообразностьвведения этого показателя станет ясной из дальнейшего изложения.
Покажем, что существует связь междусистемным мультипликатором спроса и чистыми инвестициями как долей дохода. Выражениедля системного мультипликатора можно переписать следующим образом:
/>………… (10.9),
где dА = (1 − λ) −норма амортизации, dВ = (1 − KS) – доля валовыхинвестиций, dI = (dВ − dА) − доля чистыхинвестиций.
Будем считатьсбалансированной экономику, в которой средний годовой планируемый спрос Yвх ср в точности равенсреднему годовому производству продукцииYвых ср, то есть расходы равныдоходам. Сбалансированная экономика – это экономика полной занятости и полногообъема производства [22].
Внесбалансированной экономике разница между спросом Yвх ср и выпускомYвых ср приводит к инфляции [23].
Если принять,что рост цен пропорционален относительной разности между средним планируемымспросом и средним выпуском, то для скорости роста цен можно предложитьследующее уравнение:
/>…………….(11),
где Р– индекс цен,
/>– средний (или равновесный)планируемый годовой спрос,
/>– средний (илиравновесный) годовой выпуск,
/>– начальное значениесреднего (или равновесного) планируемого годового спроса (индекс начальногозначения принимается равным 100),
t − время, год,
Ср – масштабный фактор,характеризующий скорость изменения цен, (%/год). Значения „Ср“ определяютсятемпами изменения денежной массы и номинального дохода [24].В общем случае „Ср“ может быть функцией времени.
В статичнойэкономике отношение
/> = const.
Приравномерном росте денежной массы (ежегодном увеличении на постоянную величину)
Ср = соnst, />.
Подставляяэти значения в (11) и интегрируя при условии Р =100 при t = 0(индекс начального значения = 100), получим для статичной экономики:
/>………….………........…(11.1).
Полагая Ср =ср∙(1+р1)t/τ = ср∙ехр(m∙t), что соответствует постоянному годовому (τ=1год) темпу „р1“ роста денежной массы, получим приусловии Рt=0=100
/>…….………….....(11.2),
гдеm =[ln(1+р1)/τ],
/>.
Следуетотметить, что при Ср = 0, то есть тогда, когда уровень ценнеизменен, индекс цен – постоянная величина (Р = соnst), инфляционные процессыотсутствуют. То же всегда имеет место, когда экономика сбалансирована (годовыеспрос Yвх ср и выпуск продукции Yвых ср равны).
Темпинфляции, то есть рост цен по отношению к предыдущему году, составит:
/>% />%….(11.3),
где Р(t) [или Р(t+1)] – индекс цен втекущем году,
Р(t–1) [или Р(t)] – индекс цен в предыдущемгоду.
Общепризнано,что отставание производства от потенциально возможного уровня при полной занятостивызывается наличием безработицы [25].
Еслисогласиться с тем, что безработица обусловлена отклонением производства отуровня при полной занятости, для определения уровня безработицы можнопредложить следующее выражение:
/> ………..(11.4),
где U– безработица, отсчитываемая от уровня естественной безработицы при полной занятости,%;
/>=1/α = 0,4– коэффициент, обратный коэффициенту Уокена, коэффициент Уокена принят равным α= 2,5 [26];
Yвх ср – среднее значениепланируемого годового спроса;
Yвых ср – среднее значениегодового объема выпуска.
Для равновесныхсостояний экономики Yвых ср= К0∙Yвх ср, откуда
/> ….……………………(11.5).
Обратнаязависимость будет иметь вид:
К0= 1 — α×U/100 = 1 — 2,5×U/100 ……..…….(11.6).
Примерыиспользования уравнений для анализа типичных экономических ситуаций [27]
Еслисогласиться с мнением, что макроэкономика совершенно конкурентна, за основу прианализе макроэкономических ситуаций следует принять модель чистой конкуренции.»С монетаристской точки зрения рынки обладают высокой степеньюконурентности" [28]. Такая точказрения может быть принята, если рассматривать конкуренцию в том числе и какмежотраслевую борьбу за потребителя.
Смыслвыведенных уравнений станет вполне ясным, если рассмотреть гипотетическуюэкономику, в которой потребляется единственная продукция, и эта же продукцияслужит расчетным средством. Рассмотрим равновесные состояния статичнойэкономики при различных значениях экономических показателей. Напомним, чторавновесными считаются состояния, когда отсутствуют возмущения. Связь междувыходом и входом при равновесных состояниях описывается зависимостями хвых=К0∙хвх, в том числе для равновесныхгодовых показателей Yвых =К0∙Yвх.
Пусть годовойпланируемый спрос постоянен и составляет Yвх ср=1000 единиц товара.Примем λ = КS = 0,75. Тогда для статичной экономики К =1/(1−λ)= 4 и К0= 1/(1+КS −λ) = 1. Притаких условиях средний годовой выпуск будет в точности равен планируемомуспросу, т. е. Yвых ср= К0∙Yвх ср = 1000 единицам.Экономика будет сбалансированной.
Плата заиспользованные в потребительском секторе производства инвестиционные товарысоставит в принятых расчетных средствах YBср = (1 – КS)∙Yвых ср = (1 – 0,75)∙1000= 250 единиц продукции (валовые инвестиции). На это будет израсходованасоответствующая доля из 1000 единиц произведенной продукции. Оставшаяся часть,равная YPср=КS∙Yвых ср= 0,75∙1000 = 750единицам, будет поставлена на рынок. Требуемые для полного восстановленияизрасходованных средств производства затраты составят YAср = (1 – λ)∙Yвых ср = (1 – 0,75)∙1000= 250 единиц продукции, то есть будут в точности равны валовым инвестициям.Общее потребление составит Q = YPср +YBср =750+250 = 1000 единицпродукции и будет равно годовым выпуску и спросу. Чистые инвестиции I = (YBср − YAср) = (λ –КS)Yвых ср будут равны нулю.
При заменетовара на деньги отношения сохранятся. Так из каждых 1000 руб., произведенных впотребительском секторе, 250 руб. будут израсходованы на оплату инвестиционныхтоваров, а 750 руб. распределены через рынок.
Пусть, как впредыдущем примере, годовой планируемый спрос постоянен и составляет Yвх ср =1000 единиц товара, λ= 0,75, но теперь КS = 1. Тогда для статичной экономики среднийгодовой выпуск составит Yвых ср = 800 единиц продукции (К0=0,8),то есть сократится на 200 единиц, а плата за инвестиционные товары (валовыеинвестиции) YBср= (1 – КS)∙Yвых ср окажется равной нулю притребуемых расходах на амортизацию YAср= (1 – λ)∙Yвых ср = (1 – 0,75)∙800= 200 единиц. Поставки на рынок составят YPср =КS∙Yвых ср = 1∙800 = 800единиц. Чистые инвестиции будут отрицательны I = (λ − КS)∙Yвых ср = (0,75 –1)∙800 = – 200единиц. Общее потребление уменьшится, составит Q = YPср + YBср =800 + 0 = 800единиц вместо прежних 1000 и не будет равно спросу. Хотя отклонение от сбалансированногосостояния и обеспечит рост количества товаров, реализуемых на внутреннем рынке(800 единиц вместо прежних 750), но достигнуто это будет ценой отвлеченияресурсов в размере 200 единиц из сектора средств производства и уменьшенияобщего потребления.
Израссмотренных примеров следует, что наибольшее общее потребление обеспечиваетлишь сбалансированная экономика.
Посмотрим,как повлияет на экономические показатели импорт товаров. Пусть, как и в исходномслучае, Yвх ср=1000 единицам, λ = КS= 0,75, но теперь доляимпорта составляет КМ= 0,25 и КS, о= КS+КМ =0,75+0,25 = 1.
Выпускпродукции уменьшится и составит Yвых ср= 800 единиц (К0, о=0,8), импорт составит YM= КМ∙Yвых ср = 0,25∙800 = 200единиц, поставки на рынок –YPср= КS, оYвых ср = 800 единиц, требуемыена полное восстановление инвестиции –YAср =(1– λ)∙Yвых ср = (1– 0,75)∙800 =200 единиц. Валовые инвестиции будут равны YВср = (1 – КS, о)∙Yвых ср = 0. Общее потреблениене изменится и с учетом импорта будет равно Q = YPср + YM = Yвых ср+ КМ∙Yвых ср = 800+200 = 1000 единицам. Чистые инвестициисоставят I = (λ − КS, о)∙Yвых ср = (0,75–1)∙800= – 200единиц. На такую сумму надо будет, например, продать на внешнем рынке собственныхсредств производства, чтобы окупить импорт в 200 единиц.
Влияниеэкспорта на экономические показатели рассмотрим при Yвх ср=1000 единиц, λ =0,8, КS = λ, доле экспорта КХ = 0,2 и коэффициентераспределения КS, о=КS –КХ= 0,8–0,2=0,6. При λ =КS = 0,8 средние выпуск и общее потребление всбалансированной закрытой экономике будут равны 1000 единицам.
Экспортувеличит выпуск продукции до Yвых ср = 1250 единиц (К0, о=1,25).Сам экспорт составит YХ = КХ∙Yвых ср = 0,2∙1250 = 250единиц. Требуемые на полное восстановление инвестиции составят YAср = (1 – λ)∙Yвых ср = (1 – 0,8)∙1250 =250 единиц, поставки на рынок – YРср = КS, о∙Yвых ср= =0,6∙1250 = 750единиц, валовые инвестиции – YВср = (1 – КS, о)∙Yвых ср = (1 – 0,6)∙1250 =500 единиц, чистые инвестиции – I = (λ −КS, о)∙Yвых ср = (0,8–0,6)∙1250 =250 единиц. Общее потребление не изменится и будет равно Q = Yвых ср – КХ∙Yвых ср = 1250 – 250 = 1000единицам. Появится дефицит рабочей силы (отрицательная безработица) U = 40∙(1−1,25) = −10%.
На рис. 5−5.2 представлены динамические характеристики несбалансированной статичнойэкономики (статичной экономики с инфляцией и безработицей), полученные путемрешения уравнения (7.2) при следующих условиях:
- начальный(t = 0) планируемый спросх01=1 (у.е.),
- планируемыйгодовой спрос (в том числе средний)
Yвх = Yвхср = b = 1 (у.е./год),
- планируемыйспрос хвх =х01 + b∙t = 1+t (у.е.),
- начальныйпланируемый годовой спрос(в том числе средний)
Yвх0=Yвхср0= b = 1 (у.е./год),
- периодестественной цикличности T = 6,28 года,
- коэффициентраспределения дохода КS =0,75,
- коэффициентрасширения спроса λ =0,5,
- начальныйобъем выпуска (при t = 0) хвых0= 0,8 (у.е.),
- начальныйгодовой выпуск (при t = 0) /> (у.е./год),
- масштабныйфактор Ср =100 %/год.
Решения имеютследующий вид:
- объемвыпуска
/> (у.е.)……….(12),
где/>,/>,
/> (у.е.),/> (у.е./год),/>,/>год,/>(у.е.);
-
- годовойвыпуск
- /> (у.е./год)….(12.1);
- среднийгодовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,
/> (у.е./год);
- годовойобъем поставок на рынок (предложение)
/> (у.е./год);
- среднийгодовой объем поставок на рынок (среднее предложение)
/>= 0,75∙0,8= 0,6(у.е./год);
- текущийгодовой (рыночный) спрос
/>(у.е./год);
- среднийобъем годового текущего (рыночного) спроса
/>(у.е./год);
- индексцен (индекс начального значения =100)
/>,
Где
/>;
- темпинфляции
/> %/год,
(при t→∞, ∆Р →0%);
- уровеньбезработицы
/>;
- затратына инвестиционные товары (валовые инвестиции)
YВср = (1 – KS)∙Yвыхср= (1– 0,75)∙0,8 = 0,2 (у.е./год);
- требуемыезатраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)
YАср =(1– λ)∙Yвыхср=(1– 0,5)∙0,8 = 0,4 (у.е./год);
общее потребление
Q=YРср +YВср =0,6+0,2=0,8 (у.е./год);
- чистыеинвестиции
I = (λ −КS)∙Yвых ср = (0,5 –0,75)∙0,8= – 0,2 (у.е./год).
/>
Рис. 5
/>/>
Рис. 5.1
/>/>
Рис. 5.2
Покажем, что такойже, как в предыдущем примере, результат в части размера годового выпуска, можетбыть получен путем решения уравнения (8.1):
/>.
Действительно,решая (8.1) при условии постоянного годового спроса, найдем:
/>………..(12.2),
где С3= К0∙Yвх0,С2 = Y'вых0∙T4,С1=Yвых0− С3 .
При тех же исходныхданных, как в предыдущем примере, и с начальными условиями />, /> (см. кривую 1 на рис. 5) получим:
С3 = 0,8∙1= 0,8(у.е./год), С2 = Y'вых0∙T4,= 0∙1= 0, С1=Yвых0− С3 =1− 0,8=0,2 у.е./год,
/>………………(12.3) [29].
На рис. 6представлены характеристики сбалансированной статичной экономики, полученныепутем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:
- начальныйпланируемый спрос (t = 0)х01=1 (у.е.),
- планируемыйгодовой спрос Yвх =b = 1 (у.е./год),
- планируемыйспрос хвх =х01 + b∙t = 1+t (у.е.),
- периодестественной цикличности T = 6,28 года,
- коэффициентраспределения дохода КS = 0,75,
- коэффициентрасширения спроса λ = 0,75,
- объемвыпуска при t = 0 хвых0= 1 (у.е.),
- годовойвыпуск при t = 0 /> (у.е./год),
- масштабныйфакторСр =100 (%/год).
Решения имеютследующий вид:
- объемвыпуска
/> (у.е.)………..(13);
где
/>,/>, />год, /> (у.е.),
/>(у.е./год),/>(у.е.),
/> (у.е.);
- годовойвыпуск
/>(у.е./год)…13.1);
- среднийгодовой выпуск
/> (у.е./год);
- годовойобъем поставок на рынок (предложение)
/>= 0,75∙(1 + 0,048∙cost) = 0,75 + 0,036∙cos t (у.е./год);
- среднийгодовой объем поставок на рынок
/>= 0,75 (у.е./год);
- текущийгодовой (рыночный) спрос
/> (у.е./год);
- среднийобъем годового текущего (рыночного) спроса
/>(у.е./год);
- затратына инвестиционные товары (валовые инвестиции)
YBср=(1 – KS)∙Yвыхср= (1 – 0,75)∙1=0,25 (у.е./год);
- требуемыезатраты на полное восстановление израсходованных средств производства
YАср =(1– λ)∙Yвыхср= (1– 0,75)∙1 = 0,25 (у.е./год);
- общеепотребление
Q=YРср +YВср = 0,75 + 0,25 = 1 (у.е./год);
- чистыеинвестиции
I = (λ −КS)∙Yвых ср = (0,75 –0,75)∙1 = 0 (у.е./год);
- индексцен
/>,Р = 100= const;
- инфляцияи безработица отсутствуют.
- Нарис. 7 − 7.3 представлены динамические характеристики несбалансированнойэкономики с постоянным темпом роста − экономики, растущей в условияхбезработицы и инфляции. Подобное развитие событий имело место, например, вэкономике США в 1961-1962 годах, «когда в экономике имели местопревышающая нормальную безработица и вялый экономический рост» [30].
/>
Рис.6
Характеристикиполучены путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:
- темпроста 5% в год (р0= 0,05, t =1 год, />),
- показательэкспоненты а =[ln(1+ p0)]/t = 0,0488 год–1,
- начальный (начальный средний) годовой спрос Yвх0 = Yвх ср0= b = 1 (у.е./год),
- планируемый(планируемый средний) годовой спрос
Yвх = Yвх ср =Yвх0∙(1+ р0)t/t = b∙exp(a∙t)=ехр (0,0488∙t), (у.е./год),
- начальныйпланируемый спрос х01 = 0 (у.е.),
- планируемыйспрос
хвх= х01– b/a+(b/a)∙exp(a∙t) = 20,492∙exp (0,0488∙t)– 20,492, (у.е.);
- периодестественной цикличности T = 6,28 года,
- коэффициентраспределения дохода КS = 0,8,
- коэффициентрасширения спроса λ = 0,5,
- начальныйобъем выпуска (t= 0)хвых0= 0, (у.е.),
- начальныйгодовой выпуск (t= 0)/>(у.е./год),
- масштабныйфакторСр =100 (%/год).
Решения имеютследующий вид:
- объемвыпуска
/> (у.е.)…….……..…..(13),
/> (у.е.),
где
/>,/>,
/> (у.е.),/>(у.е.), />(у.е.),/>год,/>(у.е.);
годовойвыпуск
/> (у.е./год)……..(13.1),
/> (у.е./год);
- среднийгодовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,
/> (у.е./год);
- годовойобъем поставок на рынок
/> (у.е./год);
- среднийгодовой объем поставок на рынок
/> (у.е./год);
- текущий(рыночный) годовой спрос
/>, (у.е./год);
- среднийобъем годового текущего (рыночного) спроса, полученный путем исключения циклическойсоставляющей,
/>, (у.е./год);
- индексцен (при t = 0 Р = 100)
/>,
/>……(13.2),
/>=476,73;
темп инфляции
/> %/год,
(при t→∞, ∆Р →5%);
- уровеньбезработицы
/>,;
- средниеежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)
YВср = (1 – KS)∙Yвыхср = /> (у.е./год);
- требуемыезатраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)
YАср =(1 – λ)∙Yвыхср= /> (у.е./год);
- общеепотребление
Q =Yвых ср=YРср +YВср = /> (у.е./год);
- чистыеинвестиции
I = (λ −КS)∙Yвых ср = – /> (у.е./год).
Отношение среднего выпуска к планируемомуспросу для растущей экономики составит
/>…….(13.2)
и не будет равно этому отношению длястатичной экономики с теми же параметрами.
/>/>
/>/>
Рис. 7
/>
Рис 7.1
/>
Рис. 7.2
/>
Рис. 7.3
На рис. 8, 8.1представлены характеристики сбалансированной экономики с постоянным темпом роста,полученные путем решения уравнения (7.2) при следующих условиях:
- годовойтемп роста 10% (р0= 0,1, t =1 год),
- показательэкспоненты а =[ln(1+p0)]/t = 0,0953 год–1,
- начальный(начальный средний) годовой спрос Yвх0=Yвх ср0= b =1 (у.е./год),
- планируемыйгодовой спрос
Yвх =Yвх ср =Yвх0∙(1+ р0)t/t = b∙exp(a∙t)= exp (0,0953∙t) (у.е./год),
- начальный(t = 0) спрос х01 = 0 (у.е.);
- планируемыйспрос
хвх= х01– b/a+(b/a)∙exp(a∙t)=10,492∙exp(0,0953∙t)– 10,492 (у.е.),
- периодестественной цикличности T = 6,28 года,
- коэффициентрасширения спроса λ = 0,75,
- объемвыпуска при t =0 хвых0=К0∙х01= 0 (у.е.),
- годовойвыпуск при t = 0 /> (у.е./год),
- масштабныйфакторСр =100 (%/год).
Определимпараметр, характеризующий динамику системы (параметр динамичности)
/>год,
Для тогочтобы растущая экономика была полностью сбалансированной, т. е. Yвых=Yвх, системныймультипликатор определим из выражения (13.2), приняв Кд =1:
/>………..(14),
Коэффициентраспределения дохода определим из выражения (6.2) для "К0":
/>………..(14.1).
Для полностьюсбалансированной экономики решения имеют следующий вид:
- объемвыпуска
/> …(у.е.)……….(14.2),
/> (у.е.),
Где
/> (у.е.),/>(у.е.),/>(у.е.),/>(у.е.);
годовойвыпуск
/>…(у.е./год)…...(14.3),
/> (у.е./год);
среднийгодовой выпуск
/> (у.е./год);
- годовойобъем поставок на рынок
/>= /> (у.е./год),
/> (у.е./год) ;
- среднийгодовой объем поставок на рынок
/>= /> (у.е./год);
- текущийгодовой (рыночный) спрос
/> (у.е./год);
- среднийобъем годового текущего (рыночного) спроса
/> (у.е./год);
- индексцен (Р = 100 при t = 0)
/>,
Р = 100;
- темпинфляции />;
- уровеньбезработицы
/>;
- средниеежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)
YВ ср =(1 – KS)∙Yвыхср = 0,259∙/>(у.е./год);
- требуемыезатраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)
YАср =(1 – λ)∙Yвыхср= />(у.е./год);
- общеепотребление
Q =Yвых ср=YРср +YВср = /> (у.е./год);
- чистыеинвестиции
I = (λ −КS)∙Yвых ср = /> (у.е./год).
/>
Рис. 8
/>
Рис. 8.1
Посмотрим,как изменятся характеристики экономики, если принять системный мультипликаторравным единице, то есть вычислить его по выражению (6.2), приняв коэффициентраспределения дохода КS =0,75:
/>.
Характеристикитакой «почти сбалансированной растущей экономики» представлены ниже ина рис. 9 − 9.3.
Решенияуравнения (7.2) будут иметь вид:
- объемвыпуска
/> (у.е.)……….….(14.4),
/> (у.е.),
где,
/> (у.е.),/>(у.е.),/>(у.е.),
/>(у.е.);
годовойвыпуск
/>(у.е./год)…..(14.5),
/> (у.е./год);
- среднийгодовой выпуск
/> (у.е./год);
- годовойобъем поставок на рынок
/> (у.е./год);
- среднийгодовой объем поставок на рынок
/>= /> (у.е./год);
- текущийгодовой (рыночный) спрос
/> (у.е./год);
- среднийобъем годового текущего (рыночного) спроса
/> (у.е./год);
- индексцен (при t = 0 Р = 100)
/>
/>),
/>,
/>;
темп инфляции
/>%/год,
(при t→∞, />);
уровеньбезработицы
/>;
- средниеежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)
YВср = (1 – KS)∙Yвыхср = 0,248∙/>(у.е./год);
- требуемыезатраты на полное восстановление израсходованных средств производства (амортизация)
YАср = (1 – λ)∙Yвыхср= />(у.е./год);
- общеепотребление
Q =Yвых ср=YРср +YВср = /> (у.е./год);
- чистыеинвестиции
I = (λ −КS)∙Yвых ср = 0 (у.е./год).
/>
Рис. 9.1
/>
Рис. 9.2
На рис. 10 −10.3 представлены характеристики несбалансированной экономики со снижающимсяуровнем производства, полученные путем решения уравнения (7.2) при следующихусловиях:
- годовойтемп снижения 10% (р0= – 0,1, t =1 год),
- показательэкспоненты а =[ln(1+p0)]/t = – 0,1054 год–1,
- исходныйуровень (t = 0) годового спроса Yвх0=b1 =1(у.е./год),
- новыйуровень годового спроса Yвхк=b2 = 0,5 (у.е./год),
- планируемыйгодовой спрос
Yвх =Yвх ср =Yвх0∙(1+ р0)t/t + b2 = b1∙exp(a∙t) +b2 ,
Yвх = ехр (−0,1054∙t) + 0,5 (у.е./год);
- начальный(t = 0) планируемый спрос хвх = х01= 0,769 (у.е.),
- планируемыйспрос
хвх = х01– b1/a+ (b1/a)∙exp(a∙t) + b2∙t= 10,26 – 9,491∙exp (– 0,1054∙t)+0,5∙t,(у.е.),
- периодестественной цикличности T = 6,28 года,
- коэффициентраспределения дохода КS =0,8,
- коэффициентрасширения спроса λ =0,5,
- объемвыпуска при t = 0 хвых0= 0,769, (у.е.),
- годовойвыпуск при t = 0 /> (у.е./год),
- масштабныйфакторСр =100 (%/год).
Решения имеютследующий вид:
- объемвыпуска
/> (у.е.)…………...(15),
/> (у.е.),
где/>,/>,
/> (у.е.),
/> (у.е.),
С5=К0∙b2 = 0,384 (у.е./год), /> год,
/>(у.е.),
/>(у.е.);
годовойвыпуск
/> (у.е./год)…..(15.1),
/> (у.е./год);
среднийгодовой выпуск, полученный путем исключения циклической составляющей,
/> (у.е./год);
- годовойобъем поставок на рынок
/> (у.е./год);
- среднийгодовой объем поставок на рынок
/> (у.е./год);
- текущий(рыночный) годовой спрос
/> (у.е./год);
- среднийобъем годового текущего (рыночного) спроса, полученный путем исключения циклическойсоставляющей
/> (у.е./год);
- индексцен (при t = 0 Р = 100)
/>,
/>,/>= −227,04,/>;
темп инфляции
/>,
(так как а0,то при t→∞, ∆Р → 0);
- уровеньбезработицы
/> %;
- средниеежегодные затраты на инвестиционные товары (валовые инвестиции)
YВср = (1 – KS)∙Yвыхср=/>(у.е./год),
- требуемыегодовые затраты на полное восстановление израсходованных средств производства(амортизация)
YАср = (1 – λ)∙Yвыхср= />(у.е./год);
- общеепотребление
Q =Yвых ср=YРср +YВср = 0,384+/>(у.е./год);
- чистыеинвестиции
I = (λ −КS)∙Yвых ср = −0,115− /> (у.е./год).
/>
Рис. 10
/>
Рис. 10.1
/>
Рис. 10.2
/>
Рис. 10.3
Представляетинтерес реакция системы на входные воздействия, содержащие гармоническиевозмущения спроса (рис.11).
Пусть имеетсясистема с параметрами:
- коэффициентрасширения спроса λ = 0,5,
- коэффициентраспределения КS = 0,8,
- параметрдинамичности Т4 = 1 год: соответствует периоду естественнойцикличности Т = 6,28 года.
При входномвоздействии (планируемом спросе):
хвх = х01 + b∙t − b1∙sin t/T5= t – 0,09∙sin(2∙t)… (у.е.)….………….…...(16),
где хвх0=х01 = 0 − начальныйпланируемый спрос, b = 1 у.е./год − средний годовой планируемый спрос, b1 = 0,09 у.е. −амплитуда цикла спроса, T5 = 0,5 года – параметр динамики спроса(соответствует периоду цикла спроса Тспроса = Т1=2∙π∙Т5 = 2∙π 0,5 = 3,14 года),
и начальныхусловиях:
- хвых0= 0 (у.е.) − объемвыпуска при t = 0,
-
- /> (у.е./год) –значение годового выпуска при t = 0,
-
решениедифференциального уравнения (7.2) будет иметь вид:
/> (у.е.)………...(16.1),
/> (у.е.),
где
/>, С3 = К0∙х01= 0,
С4 = К0∙b =0,769 (у.е./год),/>(у.е.),
С1=хвых0−С3= хвых0– К0∙х01 = 0,
/>(у.е.).
Годовой объемпроизводства составит
/> (у.е.)/год ……….(16.2),
/> (у.е.)/год;
годовой объемпланируемого спроса
Yвх =1 – 0,18∙cos (2∙t)(у.е./год).
/>
Рис. 11
На рис. 11 видно,что быстрые колебания (Т5 Т4)спроса мало влияют на размер производства. Исключением может явиться случай,когда частота колебаний спроса будет близка или совпадет с собственной частотойсистемы. Здесь амплитуда колебаний может многократно возрасти.
На рис.12 представленодин из возможных способов целенаправленного подавления цикличности на примерестатичной экономики со следующими параметрами и начальными условиями:
- планируемыйгодовой спрос Yвх =b =1 (у.е./год),
- начальныйпланируемый спросх01=1 (у.е.),
- планируемыйспрос хвх =хвх1 =х01 + b∙t = 1+t (у.е.)………………...….(17),
- периодестественной цикличности T = 6,28 года,
- коэффициентраспределения дохода КS = 0,8,
- коэффициентрасширения спроса λ = 0,5,
- объемвыпуска при t = 0 хвых0= 0,769 (у.е.),
- годовойвыпуск при t = 0 /> (у.е./год).
Длянерегулируемого процесса при заданных параметрах и начальных условиях имеем:
/> (у.е.)…(17.1),
/> (у.е./год)...(17.2),
где/>,С30= К0∙х01= 0,769 (у.е.),
С40= К0∙b =0,769 (у.е./год),С10= хвых0−С30= хвых0– К0∙х01 = 0,
/>год,
/> (у.е.).
Пусть теперьв момент времени t = 7,8 (t2 = 0) года наестественный цикл (17.1) накладывается на входе регулирующее воздействие, такчто входной сигнал приобретает вид:
хвх = />………….……...(17.3),
где Т6= 1 год – постоянная регулирующего воздействия (время предварения), а t2 = t – 7,8.
Выражение(17.3) получено добавлением члена (−/>) в определение (17) планируемогоспроса до момента времени t = 7,8 года.
Подставиввыражение (17.3) в правую часть дифференциального уравнения (7.2) и решив его,получим
хвых =хвых2 =exp (−σ∙t2)∙[C1∙cos(t2/T5)+C2∙sin (t2/T5)]+ C3 + C4∙t2 (у.е.)…..…(17.4),
/>...(17.5),
где
/>,/>года,
/>(у.е./год), />(у.е.),
/> – коэффициентзатухания,
/> года – периодзатухающих колебаний,
/> года −период свободных колебаний.
Произвольныепостоянные С1 и С2 определим, исходя изусловия сохранения непрерывности функции годового выпуска в точке t = 7,8 года (t1=7,8; t2= 0), что обеспечиваетсяпри равенстве первой и второй производных от объема выпуска справа и слева отэтой точки:
/>,/>,
Где
/> (у.е./год) −значение годового выпуска,
определенноеиз выражения (17.2) при t = 7,8 года (первая производная);
/> −значение второй производной,
определенноепутем дифференцирования выражения (17.2) и последующей подстановки t =7,8 года, учитывая, чтоt1 = t, а t2 = t −7,8.
Дваждыпродифференцировав (17.4) и подставляя в полученные выражения числовые значенияпроизводных Y20и Y'20, найдем:
/> (у.е.),
/> (у.е.),
хвых =хвых2 =exp (−0,385∙t2)∙[0,23∙cos (t2/1,083)+0,097∙sin(t2/1,083)]+0,178 +0,769∙t2 (17.6),
/>
Необходимоедля подавления цикличности регулирующее воздействие (годовой спрос, как функциявремени с момента t =7,8 года) должно меняться по закону:
/>
/>.
/>………….(17.7)
/>/>
Рис. 12
На рис. 12видно, что регулирование спроса является эффективным методом подавленияцикличности. Различные точки зрения по поводу эффективности регулирующихвоздействий объясняются, по-видимому, не всегда удачным выбором момента ипараметров воздействия.
На рис. 13приведены индексы цен на потребительские товары в США за период с 1936 по 1988год [31].Экспериментальные точки хорошо ложатся на кривую, описываемую уравнением Р=14,424+2,384∙ехр(0,0735∙t), аналогичным уравнениям (11.2) и (13.2), что подтверждаетправильность исходных предпосылок, принятых при выводе уравнения для индексацен.
/>/>
Рис. 13
Заключение
Предложенные математическиемодели чистой монополии, монополистической конкуренции, чистой конкуренции адекватноописывают основные явления в экономике: конкуренцию и монополию, цикличностьразвития, безработицу, инфляцию, стагфляцию. Заслуживает внимания вытекающая изэтих моделей функциональная связь между основными макроэкономическими переменными:спросом, объемом производства и инвестициями.
Модели могутоказаться полезным дополнением к существующим методам прогнозирования иуправления экономикой.