Дискретнідинамічні системи
Завдання№1
Динаміканаціонального доходу Yt визначається рівнянням
/> (1.1.0)
дес=0,25; А =1; а=2. Знайти залежність Yt, якщо Y0=1
Рішення
1. Варіантпочаткових даних Y0=1.
Рішеннярівняння (1.1.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({y(n)=1/4*y(n‑1)+1*(2^n), y(0)=1}, y(n));
>
/>
> R3:=simplify(%);
/>
Результат:
/>n Y 1,00 1 2,25 2 4,56 3 9,14 4 18,29 5 36,57
Завдання№2
Динаміканаціонального доходу Yt визначається рівнянням Самуельсона-Хікса [6]
/> (1.2.0)
де а=2;b =1,25; c=1. Знайти залежність Yt, якщо Y0=0, Y0=1
Рішення:
1.Динаміка об'єктів різної природи часто описується лінійнимикінцево-різницевимирівняннями виду
xt = F(xt‑1, xt-2,…, xt-n),(1.2.1)
Характеристичнийстан об'єкта xt у будь-який момент часу t зістанами в попередні моменти часу. Рішення рівняння (1.2.1) n‑гопорядку визначено однозначно, якщо задані n так званих початковихумов. Звичайно як початкові умови розглядаються значення xtпри t = 0, 1,…, n – 1.
Підставляючипочаткові значення xn‑1,…, x1, x0і t = n як аргументи функції в правійчастині (1.2.1), знаходимо xn; використовуючизнайдене значення й підставляючи тепер xn, xn‑1,…, x2 x1і t = n + 1 як аргументи функції, знаходимо xn+1,і т. д. Процес може бути продовжений доти, поки не будуть вичерпані всідосліджуємі значення t.
Умоделі економічних циклів Самуельсона-Хікса використовуються кінцево-різницевірівняння виду xt = a1 xt-1 + a2xt-2 + f(t) – лінійні кінцево-різницевірівняння другого порядку, що є приватним видом рівняння (1.2.1).
2.Варіант початкових даних Y0=0.
Рішеннярівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7 [4]:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2),f(0)=0}, f(n));
/>/>
Ø Samuelson_Hiks3:=simplify(%);
/>/>
Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделіСамуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національногодоходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі.Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки(n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отриманне рівняннямоделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).
3.Варіант початкових даних Y0=1.
Рішеннярівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2),f(0)=1}, f(n));
/>/>/>
> Samuelson_Hiks3:=simplify(%);
/>
Як показує аналіз рішення для вирішення рівняння моделіСамуельсона-Хікса потрібно 2 послідовні точки початкових умов національногодоходу (n‑1, n), тобто 0 та 1 значення для кінечно-різницевої моделі.Тільки тоді з’являється можливість розрахування послідовних значень для точки(n+1). Якщо є тільки одна початкова точка (n‑1), то отримане рівняннямоделі залежить не тільки від значення n, але і від значення Y(1).
4.Варіант початкових даних Y0=0, Y1=1.
Рішеннярівняння (1.2.0) проводимо в пакеті MAPLE7:
> rsolve({f(n)=(2*f (n‑1) – (1*1/4)*f (n‑2)+2),f(0)=0, f(1)=1}, f(n));
/>/>
Ø Samuelson_Hiks3:=simplify(%);
/>
Завдання№3
ПопитD та пропозиція S як функції ціни p задаються виразами
/> (1.3.0)
Знайтистаціонарну ціну pD=S(при умові D=S – вирівнювання попиту тапропозиції) та з’ясувати чи вона є стійкою.
Рішення:
1.Аналіз стійкості рівноважної ціни pD=S, якщо попит D та пропозиція Sзавдані функціями:
/> (1.3.1)
виконуєтьсядля дискретного підходу за наступним алгоритмом [1].
Нехайціна близька до рівноважної, при якій попит D дорівнює пропозиції S:
/> (1.3.2)
Тодірівняння (1.3.1) в кінцевих різницях можна представити як:
/> (1.3.3)
Зумови рівноваги попиту та пропозиції та умови (1.3.2), маємо наступнеперетворення рівнянь (1.3.3):
/> (1.3.4)
аоскільки
/> (1.3.5)
торівняння (1.3.4) трансформується до вигляду:
/> (1.3.6)
Якийперетворюється до наступної форми:
/> (1.3.7)
Дляприросту ціни ∆pi отримане рівняння (1.3.7) є характеристичнимоднорідним різницевим рівнянням з сталим коефіцієнтом. Умова стійкості йогорозв’язку має вигляд [1]:
/> (1.3.8)
2.Для системи рівнянь (1.3.0) пошук рівноважної ціни PD=S виконуєтьсяза схемою:
/> (1.3.9)
Рішеннярівняння (1.3.9) в пакеті MAPLE7 дає рішення:
> solve (– (sqrt(L)*sqrt(L))+sqrt(L)+2=0);
/>
тобтоp=4.
3.Знаходимо похідні /> в точцірівноваги р=4:
/> (1.3.10)
Оскількиумови стійкості для отриманих значень похідних в точці рівноваги не виконуються(1.3.11), то рівноважне рішення р=4 є нестійким
/> (1.3.11)
Неперервнідинамічні системи
Завдання№1
Найтирозв’язок рівняння Харода-Домара
/>
зпочатковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і – const;
Позначення(згідно з моделлю Харода – Домара роста національного доходу держави у часі) [6]:
Y(t)– рівень національного доходу держави у часі;
/> – схильність населеннядо заощаджень (0
t –час;
i –коефіцієнт індукованих інвестицій при зміні національного доходу ∆Y(t),тобто частка приросту національного доходу, яка йде на інвестування економіки;
А –рівень незалежних сталих інвестицій
Рішення:
1. У загальному виглядімодель економічного зростання складається із системи п’яти рівнянь [6]:
1)формула виробничої функції, якою передається обсяг потенційного випуску, тобтовипуску продукції за умов повної зайнятості;
2)основна макроекономічна тотожність Yt=Ct+It показує, що вимірник випуску (доходу) Y поділяєтьсяв теорії зростання на споживання С та інвестиції І; вимірникидержавних витрат G і чистого експорту NX окремо в таких моделяхне вирізняються, а розподіляються на споживання та інвестиції держави й іншихкраїн світу (тобто вводяться в компоненти С та І);
3)формула розрахунку динаміки обсягу капіталу з урахуванням інвестицій таамортизації основного капіталу (за умови нульового інвестиційного лагу) маєвигляд:
Kt=Kt-1+It–Wt,
де Kt – запас капіталу наприкінці періоду t;
Іt – інвестиції за весь період t;
Wt, – амортизація капіталу за період t.
Наведенаформула вказує на те, що кількість капіталу зростає на величину інвестицій тазменшується на величину амортизаційних відрахувань;
4)формула для розрахунку вибуття капіталу (амортизації) має вигляд:
/>
де /> – постійна (незмінна)норма амортизації, яка задається екзогенно отже, вважається, що вибуттякапіталу є пропорційним до величини його запасу;
5)щодо інвестицій, то передбачається, що вони складають постійний процент відвипуску It= s*Yt, де s – норма інвестицій (частка інвестицій усукупному продукті (доході). Норма інвестицій s збігається з нормоюзаощадження, оскільки сукупні заощадження St дорівнюють сукупним інвестиціям Іt. Відповідно, Yt=Ct+St=Ct+It.
Такимчином, модель економічного зростання у загальному вигляді складається ізсистеми п’яти наведених рівнянь, які містять сім змінних (Y, K, L, C, I, />, s), три із якихзадаються екзогенно:
— затрати праці L (зростаютьіз постійним темпом n);
— норма амортизації основногокапіталу />;
— норма заощадження s (задаєтьсябезпосередньо або ж у вигляді певних умов, наприклад, максимізація споживання).
Метадослідників – з’ясувати питання про те, як змінюються ендогенні змінні в моделіекономічного зростання (Y, C та І) і який із чинників євизначальним фактором довгострокового економічного зростання.Модельекономічного зростання Харода–Домара
Ценайпростіша модель економічного зростання, і була вона розроблена наприкінці 40‑хрр. Модель описує динаміку доходу (Y), який є сумою споживчих (С)та інвестиційних (І) витрат. Економіка вважається закритою, тому чистийекспорт (NX) дорівнює нулю, а державні витрати (G) в моделі невирізняються. Основним фактором зростання є нагромадження капіталу.
Основніпередумови моделі:
–постійна продуктивність капіталу MPK = dY/dK;
–постійна норма заощадження s = I/Y;
–відсутній процес вибуття капіталу W = 0;
–інвестиційний лаг дорівнює нулеві, тобто інвестиції миттєво переходять уприріст капіталу. Формально це означає, що dK(t) = I(t);
–модель не враховує технічного прогресу;
— випуск не залежить від затратпраці, оскільки праця не є дефіцитним ресурсом;
— використовується виробничафункція Леонтьєва, яка передбачає неможливість взаємозаміни акторів виробництва– праці і капіталу.
Припускається,що швидкість доходу пропорційна інвестиціям: dY = MPK *I(t) = MPK *s *Y, а темпприросту доходу dY/Y * dt є постійним і дорівнює s * MPK. Він прямопропорційний нормі заощаджень та граничній продуктивності капіталу. Інвестиції(І) та споживання (С) в моделі Харода-Домара зростають з таким жепостійним темпом (s * MPK).
2.Рішення проводимо в пакеті MAPLE7, використовуючи функцію вирішеннядиференційного рівняння з початковими умовами Y (t=0)=Y0:
> L6:=diff (y(t), t)=(s/i*y(t) – A/i*t);
/>
Ø ans1:= dsolve({L6, y(0)=Y0},y(t));
/>
Такимчином, розв’язком рівняння Харода-Домара у вигляді
/>
зпочатковою умовою Y (t=0) =Y0; s, A, і – const;
єфункція:
/>
Завдання№2
ПопитD та пропозиція S як функції змінної в часі ціни p=F(t) та її похіднихзадаються виразами
/> (2.2.0)
Знайтистаціонарну ціну рівноваги попиту та пропозиції pD=S(t) – при умовіD=S – вирівнювання попиту та пропозиції, як функцію часу, та з’ясувати чи вонає стійкою (оцінити рівень динаміки похідної />).
Рішення:
1.Якщо попит D та пропозиція S є функціями ціни p(t) та її першої та другоїпохідних />/>,то їх рівняння в загальному вигляді можна представити наступним чином [1]:
/> (2.2.1)
2. Вумовах пошуку точок рівноваги попиту та пропозиції:
/> (2.2.2)
рівняння(2.2.1), віднімаючи перше від другого, перетворюємо у наступне рівняння
/> (2.2.3)
якемає наступні початкові умови:
/>/> (2.2.4)
Загальнийрозв’язок рівнянь (2.2.1) – (2.2.4) має вигляд [1]:
/> (2.2.5)
де С1та С2 – довільні сталі;
/> – кореніхарактеристичного рівняння:
/> (2.2.6)
Післявирішення рівняння (2.2.6), отримані /> – кореніхарактеристичного рівняння в рівнянні (2.2.5) характеризують стаціонарність рівноважноїціни p(t) наступним чином:
1)Якщо обидва корені /> – є дійснимивід’ємними або комплексними з від’ємною дійсною частиною, то рівняння (2.2.5)перетворюється до вигляду:
/> (2.2.7)
та знаростанням t рівноважна ціна p(t) буде прямувати до ціни рівноваги попиту D таS – PD=S, оскільки 1 та другий член рівняння (2.2.7) будутьнаближатися до нуля.
2)Якщо обидва корені /> – є дійснимипозитивними, або один з них має позитивний знак, або комплексними з позитивноюдійсною частиною, то згідно рівнянь (2.2.5), (2.2.7) з наростанням t рівноважнаціна p(t) буде віддалятися від до ціни рівноваги попиту D та S – PD=S,оскільки або перший, або другий член рівняння (2.2.5) будуть наближатися до />.
3. Вточці рівноваги попиту та пропозиції D=S, рівняння (2.2.0) перетворюються внаступне диференційне рівняння другого порядку похідних:
/> (2.2.8)
Дляпошуку точок стаціонарної ціни рівноваги pD=S враховуємо умовидорівнювання нулю першої та другої похідної в цих точках:
/> (2.2.9)
тодірівняння (2.2.8) перетворюється до вигляду, який дозволяє розрахувати значеннястаціонарної ціни рівноваги попиту та прозиції:
/> (2.2.10)
Длярівняння (2.2.8) характеристичне рівняння має наступний вигляд:
/> (2.2.11)
акорені його рішення, розраховані в пакеті MAPLE7, дорівнюють
> solve (L*L‑7*L‑30);
/>
Оскільки корені характеристичного рівняння (2.2.11) /> дійсні та мають різнізнаки – рішення рівняння (2.2.10) є нестійким.
Завдання№3
Знайтистаціонарні точки динамічної системи
/> (2.3.0)
тадослідити їх стійкість в лінійному наближенні.
Рішення:
1. Положеннярівноваги вихідної динамічної системи (стаціонарні точки динамічної системи) визначаєтьсянаступними умовами:
/> (2.3.1)
звідкілямаємо систему рівнянь рівноваги
/> (2.3.2)
Рішеннясистеми рівнянь рівноваги (2.3.2) в пакеті MAPLE7 дає наступні 4 пари коренів –стаціонарних точок рівноваги динамічної системи (2.3.0):
> eqp1:=-x*x+2*x-x*y=0;
> eqp2:=-y*y+6*y‑2*x*y=0;
>
> solve({eqp1, eqp2}, {x, y});
/>
/>
/> (2.3.3)
2. Длядослідження стійкості кожного з отриманих рішень, складаємо системи першогонаближення в околицях точок рівноваги за допомогою розкладення в ряд Тейлора. ФормулаТейлора для функції двох змінних x, y у першому наближенні (тільки рівень 1похідних) для функції /> в околицях точкиx0, y0має наступний вигляд [7]:
/> (2.3.4)
Побудовусистем рівнянь першого наближення системи (2.3.2) виконуємо за допомогою пакетаMAPLE7 [4]:
> DxDt:=-x*x+2*x-x*y;
/>
> mtaylor (DxDt, [x=0, y=0], 2);
> mtaylor (DxDt, [x=2, y=0], 2);
> mtaylor (DxDt, [x=4, y=-2], 2);
> mtaylor (DxDt, [x=0, y=6], 2);
/>
/>
/>
/> (2.3.5)
> DyDt:=-y*y+6*y‑2*x*y;
> mtaylor (DyDt, [x=0, y=0], 2);
> mtaylor (DyDt, [x=2, y=0], 2);
> mtaylor (DyDt, [x=4, y=-2], 2);
> mtaylor (DyDt, [x=0, y=6], 2);
>
/>
/>
/>
/>
/> (2.3.6)
6. Використовуючиотримані результати (2.3.5), (2.3.6), дослідження стійкості рішення для 4‑хпар коренів проводимо в наступній послідовності [5]:
6.1.1 пара коренів – x=0, y=0
Cистемахарактеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=0) має вигляд:
/>
Для знаходження умов стійкостібудуємо характеристичну матрицю:
/> />
/> />
Звідки характеристичне рівняння />
Корені рішення цього рівняння /> та /> є дійсні та мають однакові знаки, що відповідає стійкості рішеннярівноваги [5] в точці (x=0, y=0).
Паракоренів – x=2, y=0
Cистемахарактеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=2,y=0) має вигляд:
/>
Виконуючи заміну змінних в системі () на
/>
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
/>
Для знаходження умов стійкостібудуємо характеристичну матрицю:
/> />
/> />
Звідки характеристичне рівняння
/>
Вирішуємо рівняння () в пакетіMAPLE7
> L2:=a*a+0*a‑2=0;
>
/>
> solve(L2);
/>
Корені рішення цього рівняння /> та /> є дійсні та мають різні знаки, що відповідає нестійкості рішеннярівноваги [5] в точці (x=2, y=0).
3пара коренів – x=4, y=-2
Cистемахарактеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=0,y=6) має вигляд:
/>
Виконуючи заміну змінних в системі () на
/>
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
/>
Для знаходження умов стійкостібудуємо характеристичну матрицю:
/> />
/> />
Звідки характеристичне рівняння
/>
Вирішуємо рівняння () в пакетіMAPLE7
> solve (L*L+2*L+8);
/>
Корені рішення цього рівняння /> та /> є комплексні та мають однакові негативні знаки при дійсній частині,що відповідає стійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).
Пара коренів– x=0, y=6
Cистемахарактеристичних рівнянь 1‑го наближення ряду Тейлора відносно точки (x=4,y=-2) має вигляд:
/>
Виконуючи заміну змінних в системі () на
/>
отримуємо модифіковану систему рівнянь:
/>
Для знаходження умов стійкостібудуємо характеристичну матрицю:
/> />
/> />
Звідки характеристичне рівняння
/>
Корені рішення цього рівняння /> та /> є дійсними та мають знак (–) при дійсній частині, що відповідає асимптотичнійстійкості рішення рівноваги [5] в точці (x=4, y=-2).