ИНФОРМАЦИОННЫЕТЕХНОЛОГИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ВЕКТОРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
План:
Введение
Принципоптимальности Парето. Неулучшаемые (оптимальные по Парето) решения
Принциправновесия по Нэшу
Конфликты,переговоры и компромиссы
Краткийобзор методов решения задачи векторной оптимизации
Введение
В отличие от задачобоснования решений по скалярному критерию, результатом которых являетсяоптимальная (с точностью до предпосылок и допущений модели) стратегия, взадачах с векторным критерием оказывается невозможно с абсолютной уверенностьюутверждать, что то или иное решение, действительно (объективно) оптимально.Одно из решений может превосходить другое по одним критериям и уступать ему подругим. Сказать, какое из двух решений в указанных условиях объективно лучшедругого, не представляется возможным. Только со временем будет ясно, скольверным было принятое решение; пока же, до реализации решения, личныепредпочтения ЛПР, его опыт и интуиция являются той основой, которая определяетспособность ЛПР предвидеть последствия принятого им компромисса.
Таким образом, сложностьпроблемы принятия решений по векторному критерию даже в условиях определенностисвязана не столько с вычислительными трудностями, сколько с концептуальной обоснованностьювыбора оптимального решения. Невозможно строго математически доказать, чтовыбранное решение наилучшее, — любое решение из числа недоминируемых, то естьнеулучшаемых одновременно по всем частным критериям, может оказаться наилучшимдля конкретного ЛПР в конкретных условиях. С той же точки зрения не имеетсмысла говорить о наилучшем решении вообще. Это может считаться аксиомойобоснования решений по нескольким критериям.
Сравнение альтернатив повекторному критерию осуществляются по следующему правилу: всякая альтернативане хуже любой другой, если для нее значение векторного критерия не менеепредпочтительно, чем значение критерия другой альтернативы, то есть:
/>
где /> - альтернативы; /> - векторныйкритерий; /> -символ отношения нестрогого предпочтения.
Предположим, чтомножественность критериев связана с наличием нескольких сторон,заинтересованных в разрешении проблемной ситуации. Каждая сторона стремитсянайти и принять решение, при котором ее показатель эффективности (целеваяфункция) был бы наибольшим. Очевидно, величина показателя эффективности каждойстороны зависит от решений всех остальных сторон. Поэтому наиболее эффективныедля одной стороны решения не являются таковыми для других. В связи с этим,стремление каждой стороны добиваться наибольшей эффективности принимаемых еюрешений носит конфликтный характер и сама формулировка того, какое решениеявляется приемлемым, хорошим или наилучшим (оптимальным), проблематична.
Рассмотрение сложныхэкономических объектов, характеризующихся целым спектром характеристик,приводит к необходимости введения понятий локального и глобального критериевоптимальности. При этом математически глобальный критерий формулируется в видескалярной целевой функции, которая обобщенно выражает многообразие целей, или ввиде векторной функции, представляющей собой набор несводимых друг к другу частныхцелевых функций (локальных критериев).
Следует отметить, чтомножественность целей развития экономических систем существенно усложняетпланирование, особенно если цели разнонаправленные, и приближение к одним целямудаляет систему от достижения других. В результате возникает задача ихсогласования. Целью многокритериальной или векторной оптимизации и являетсяотыскание наилучших решений по нескольким критериям.
Среди множествамногокритериальных задач можно выделить задачи четырех типов:
Задачи оптимизации намножестве целей, каждая из которых должна быть учтена при выборе оптимальногорешения. Примером может служить задача составления плана работы предприятия, вкоторой критериями служит ряд экономических показателей;
Задачи оптимизации намножестве объектов, качество функционирования каждого из которых оцениваетсясамостоятельным критерием. Если качество функционирования каждого объектаоценивается несколькими критериями (векторным критерием), то такая задачаназывается многовекторной. Примером может служить задача распределениядефицитного ресурса между несколькими предприятиями. Для каждого предприятиякритерием оптимальности является степень удовлетворения его потребности вресурсе или другой показатель, например, величина прибыли. Для планирующего органакритерием выступает вектор локальных приоритетов предприятий;
Задача оптимизации намножестве условий функционирования. В задачах такого типа задан спектр условий,в которых предстоит работать объекту, и применительно к каждому условиюкачество функционирования оценивается некоторым частным критерием;
Задачи оптимизации намножестве этапов функционирования. Рассматривается функционирование объектов нанекотором интервале времени, разбитом на несколько этапов. Качество управленияна каждом этапе оценивается частным критерием, а на множестве этапов – общимвекторным критерием. Примером может служить распределение квартального планацеха по декадам. В каждой декаде необходимо обеспечить максимальную загрузку. Врезультате получится критерий максимизации загрузки в каждой декаде квартала.
Многокритериальные задачиможно также классифицировать по другим признакам, например, по вариантамоптимизации, по числу или типам критериев, по соотношениям между критериями, поуровню структуризации, наличию фактора неопределенности и т.п.
При разработке методоврешения векторных задач приходится решать ряд специфических проблем.
Проблема нормализациивозникает в связи с тем, что локальные критерии имеют, как правило, различныеединицы и масштабы измерения, и это делает невозможным их непосредственноесравнение. Операция приведения критериев к единому масштабу и безразмерномувиду называется нормированием. Наиболее распространенным способом нормированияявляется замена абсолютных значений критериев их относительными величинами.
Проблема выбора принципаоптимальности связана с определением свойств оптимального решения и решениемвопроса – в каком смысле оптимальное решение превосходит все остальные.
Проблема учета приоритетакритериев возникает, если локальные критерии имеют различную значимость.Необходимо найти математическое определение приоритета и степень его влияния нарешение задачи.
Проблема вычисленияоптимума возникает, если традиционные вычислительные схемы и алгоритмынепригодны для решения задачи векторной оптимизации.
Качественная информацияоб относительной важности критериев чаще всего представляет собой сообщения отом, что какие-то критерии “равноценны” или же “один критерий важнее других”.Такая информация может быть получена в ходе контрольного предъявления ЛПРспециально формируемых векторных оценок и выяснения, какие из них онпредпочитает при сравнении с другими. При этом предъявляемые ЛПР оценки должныудовлетворять двум специальным требованиям. Во-первых, все частные компонентытаких специальных оценок должны иметь общую шкалу, то есть быть однородными.Во-вторых, в предъявляемых оценках все компоненты, кроме тех, чья относительнаяважность выясняется, должны быть одинаковыми.
Для того чтобы обеспечитьоднородность частных критериев, которые, вообще говоря, имеют различные шкалы,в практике часто используют простые приемы эквивалентного преобразованиянеоднородных частных критериев к единому, безразмерному виду. Используютсяследующие формулы преобразований (в качестве стандарта выбрано преобразование вшкалу со значениями из отрезка [0;1]:
Если известны эталонныезначения показателей /> (например, международныйстандарт), то используется преобразование следующего вида:
/>;
Если известны максимальновозможные значения показателей, то
/>;
Если известны диапазоныизменения показателей, то
/>
или />.
Прежде чем приступить крассмотрению алгоритмов решения задач векторной оптимизации, имеет смысл краткоостановиться на некоторых фундаментальных понятиях теории принятия решений вконтексте многокритериальных задач.
Принцип оптимальности Парето. Неулучшаемые(оптимальные по Парето) решения
Рассмотрим проблемнуюситуацию, решения которой оцениваются по некоторой совокупности показателей /> (под />можетпониматься, например, целевая функция, описывающая какую-либо характеристикупроизводственного процесса, показатель функционирования предприятия и т.п.).Для наглядности можно представлять, что в выборе решения участвуют /> сторон, каждаяиз которых заинтересована в максимизации соответствующего (“своего”)показателя. При этом />-я сторона может выбрать любоедопустимое для нее решение />. Чрезвычайно важно, что решение,выбранное этой стороной, влияет на эффективность всех остальных. Это означает,что показатель эффективности любой стороны зависит от совокупности допустимыхрешений /> всехсторон, т.е. />.
Решение /> стороны /> предпочтительнее еерешения />,если:
/>.
На основаниивышесказанного (учитывая наличие /> сторон, самостоятельно выбирающихсвои решения), можно сформулировать принцип единогласия, известный как принципоптимальности Парето):
Если для всех сторондопустимые решения /> предпочтительнее решений />, то последниене будут приняты (единогласно отвергнуты).
Как правило, на практикесовокупность решений />оказывается неединственной и образуетнекоторое множество /> решений, оптимальных по Парето.Любой набор решений из этого множества не может быть улучшен сразу по всемпоказателям />.В силу этого решения, оптимальные по Парето, называются также неулучшаемыми.Следует отметить, что задачи, в которых имеется единственная совокупностьнеулучшаемых решений, встречаются исключительно редко. Любое решение измножества />являетсянеулучшаемым. Изменением этого решения невозможно добиться увеличениякакого-либо показателя эффективности, не уменьшая при этом хотя бы одного изостальных. Выбор конкретного решения из множества оптимальных по Парето можетбыть осуществлен лишь на основе компромисса на основе переговоров ЛПР всехзаинтересованных сторон.
Хотя до сих пор мысчитали, что в выборе решения участвуют /> различных сторон, рассмотренныепонятия и вся формулировка в целом совершенно аналогичны и в том случае, когдавыбор решения /> осуществляет одна сторона,руководствующаяся не единственным, а некоторой совокупностью /> показателейэффективности. Принятие какого-либо конкретного решения /> из множества Паретоявляется при этом прерогативой исключительно ЛПР и осуществляется, как правило,на основе его субъективных предпочтений.
Принциправновесия по Нэшу
Пусть все стороны выбралирешения, оптимальные по Парето (назовем эту ситуацию оптимальной по Парето).Согласно принципу оптимальности Парето, все стороны, действуя совместно, немогут увеличить эффективность своих решений. Однако любая сторона, уклонившисьот ситуации, оптимальной по Парето, при определенных условиях может добитьсябольшего значения “своего” показателя эффективности. Иными словами, ситуации,оптимальные по Парето, не обладают устойчивостью по отношению к отклонениям отних какой-либо стороны. В то же время желательно, чтобы ни одна из сторон,действуя в одиночку, не могла увеличить эффективность выбираемых ею решений.Другими словами, необходим поиск таких ситуаций, отклонение от которых было быневыгодным ни для одной из сторон по отдельности.
Существование ситуаций,являющихся устойчивыми в смысле невыгодности отклонения от них ни одной изсторон, приводит к принципу равновесия по Нэшу.
Ситуацию,характеризующуюся набором решений />, называют равновесной по Нэшу,если для всех /> имеет место неравенство:
/>.
Если прочитать этинеравенства справа налево, то можно видеть, что замена какого-либо одногорешения, входящего в равновесную ситуацию, любым другим из множества допустимых,уменьшает соответствующий показатель эффективности. Если под /> понимать показателиэффективности сторон, то из определения ситуации равновесия по Нэшу следует,что ни одна из них не заинтересована в изменении решения входящего в ситуациюравновесия, если все остальные стороны сохраняют решения, соответствующие этойситуации.
Таким образом, еслистороны предварительно договариваются о выборе решений, образующих равновеснуюситуацию, то индивидуальное нарушение этого договора невыгодно нарушителю.Отметим некоторые особенности равновесных ситуаций:
Ситуация равновесия можетоказаться не единственной.
Ситуации равновесия частооказываются в разной степени предпочтительными для различных сторон. Иначеговоря, показатели эффективности решений сторон имеют неодинаковые значения вразличных равновесных ситуациях. В связи с этим какая-то равновесная ситуация,выгодная для одной стороны, может оказываться невыгодной для других. Поэтомурешение />-йстороны, соответствующее какой-либо равновесной ситуации, не следует трактоватькак оптимальное для этой стороны. Равновесность как принцип оптимальности имеетсмысл только для набора равновесных решений всех сторон.
Ситуации равновесия могутсовпадать или не совпадать с ситуациями оптимальными по Парето.
Конфликты,переговоры и компромиссы
Решения сторон (участниковконфликтной ситуации) могут быть выгодными для всех (решения, оптимальные поПарето), но неустойчивыми, или устойчивыми (равновесными по Нэшу), но необязательно наилучшими, характеризующимися наибольшими значениями показателейэффективности. При этом неустойчивость ситуаций, оптимальных по Парето,означает, что выход из этой ситуации любого из участников может оказатьсявыгодным для него. Устойчивость равновесной по Нэшу ситуации означает, чтоиндивидуальный (в одиночку) выход из нее невыгоден стороне, решившейся на это.
Ситуации, оптимальные поПарето, эквивалентны для всей совокупности участников конфликта. Поэтому выборкакой-то одной ситуации из множества оптимальных по Парето долженосуществляться путем проведения соответствующих переговоров между сторонами ипредставляет собой компромиссное решение этих сторон. Но и о выборе решений,соответствующих тем или иным равновесным ситуациям, стороны должныпредварительно договориться, так как эффективность этих решений неодинакова дляразличных сторон.
Таким образом,переговорный процесс, направленный на выработку компромиссных соглашений,является существенным фактором разрешения конфликтных ситуаций. В ходепереговоров могут определяться не только решения, но и процедуры, правилаповедения, позволяющие отыскать решения, приемлемые для всех сторон.
Для обеспеченияустойчивости ситуаций может применяться, например, образование коалиций, чтообусловлено следующим. При выработке соглашения между сторонами о выборерешений, соответствующих равновесию по Нэшу, учитывается позиция каждойстороны. В отличие от этого Парето-оптимальные решения определяются общиминтересом всех сторон. Естественно, возможны промежуточные случаи, когданесколько сторон объединяются в одну коалицию. При этом коалиционные результатыоказываются лучшими, чем индивидуальные (иначе образование коалиций не имело бысмысла). Число образуемых в некоторых случаях коалиций может оказыватьсядостаточно большим.
Эффективным способомобеспечения устойчивых Парето-оптимальных соглашений является выработкаспециальных процедур ведения переговоров по выбору решений, базирующихся нарасширении взаимной информированности сторон об их решениях и намерениях.
Помимо расширенияинформированности сторон имеются и другие пути стабилизации возможных исходов,определяемые конкретными особенностями конфликтных ситуаций. Однако наличиемножества неравнозначных для различных сторон вариантов затрудняет поисккомпромисса, так как каждая сторона стремится отстаивать наиболее выгодный длясебя вариант. В связи с этим возникают новые проблемы, требующие решения. Вкачестве примера можно привести борьбу “за первый ход”. Не исключена такжевозможность дезинформирующих действий участников переговоров, а также опасностьсрыва переговорного процесса и т.д.
Краткийобзор методов решения задачи векторной оптимизации
Решение задачи векторнойоптимизации представляет собой сложный процесс, в ходе которого могутприменяться различные расчетные схемы и алгоритмы. Перечислим некоторые изнаиболее употребительных:
Методы, основанные насвертывании системы показателей эффективности;
Методы, использующиеограничения на критерии;
Методы целевогопрограммирования;
Методы, основанные наотыскании компромиссного решения;
Методы, в основе которыхлежат человеко-машинные процедуры принятия решений (интерактивноепрограммирование).
Для ряда извышеперечисленных методов вводится понятие функции предпочтения (полезности). Спомощью функции предпочтения проблема сравнения совокупности чисел-значений,принимаемых показателями эффективности, сводится к сравнению чисел-значений,принимаемых функцией предпочтения. При этом ЛПР считает, что один наборзначений локальных критериев предпочтительнее другого, если ему соответствуетбольшее значение функции предпочтения. Кратко охарактеризуем упомянутые методывекторной оптимизации.
А. В методах, основанныхна свертывании системы показателей эффективности, из локальных критериевформируется один. Наиболее распространенным является метод линейной комбинациилокальных (частных) критериев.
Пусть рассматриваемаяэкономическая система характеризуется набором локальных критериев (целевыхфункций) /> иизвестен вектор весовых коэффициентов (вектор приоритетов) критериев />,характеризующий важности соответствующих критериев, причем:
/>.
В этом случае функцияпредпочтения /> выбирается в виде:
/>(5.1)
и задача векторнойоптимизации сводится к задаче скалярной оптимизации, рассмотренной ранее. Прирешении данной задачи учитывается система функций-ограничений для каждой изцелевых функций />. К недостаткам данного методаможно отнести то, что решение, оптимизирующее функцию предпочтения, можетоказаться неудовлетворительным по одному или сразу нескольким частнымпоказателям. Это объясняется тем, что при достижении максимума функциипредпочтения недопустимо малые значения некоторых показателей />компенсируются большимизначениями остальных.
К этой же группе методовотносятся методы, в которых используется среднестепенная функция предпочтениявида:
/>,
где параметр />.
оптимальность паретовекторный многокритериальный
Б. Методы, использующиеограничения на критерии, включают два подхода: метод ведущего критерия и методпоследовательных уступок.
В методе ведущегокритерия все целевые функции, кроме одной, переводятся в разряд ограничений.Пусть />-вектор, компоненты которого представляют собой нижние границы соответствующихкритериев. Тогда задача записывается в виде:
/>
где /> — исходная системафункций-ограничений. Метод ведущего критерия применяется в таких задачах, какминимизация полных затрат при условии выполнения плана по производствуразличных видов продукции, максимизация выпуска комплектных наборов приограничении на потребляемые ресурсы и ряда других.
Алгоритм методапоследовательных уступок состоит в следующем:
Критерии нумеруются впорядке убывания важности;
Определяется оптимальноезначение наиболее важного критерия />. Лицом, принимающим решение,устанавливается величина уступки />по этому критерию;
Решается задача покритерию /> сдополнительным ограничением />;
Пункты 2 и 3 повторяютсяпоследовательно для критериев />.
В. При решении задачметодами целевого программирования предполагается приближение значения каждогокритерия к определенной величине />, т.е. достижение определеннойцели. В самом общем виде задача целевого программирования может бытьсформулирована как минимизация сумм отклонений целевых функций (критериев) отцелевых значений с нормированными весами />:
/>, (5.2)
где /> - вектор целевыхзначений,/>-расстояние (мера отклонения) между /> и />, />. Часто (например, в случаелинейного целевого программирования) полагают />. Следует отметить, что точка />, как правило,не принадлежит области допустимых значений, в связи с чем, ее иногда называютидеальной или утопической точкой.
Г. В методах, основанныхна отыскании компромиссного решения, используется принцип гарантированногорезультата. Задача может быть сформулирована следующим образом:
/>.(5.3)
Данным методом могутрешаться задачи с заданными приоритетами критериев и многовекторные задачи.
Д. В методах основанныхна человеко-машинных процедурах (методы интерактивного программирования)решение задачи происходит в интерактивном режиме. ЛПР оценивает полученноерешение и вносит или изменяет заранее заданные коэффициенты или уступки покритериям, а также определяет направление оптимизации. Эта информация служитдля постановки новой задачи оптимизации и получения промежуточного решения.Диалог продолжается до тех пор, пока решение не будет удовлетворять требованиямЛПР. Основным достоинством данного метода является использование знаний иинтуиции ЛПР, глубоко понимающего смысл задачи и способного правильнокорректировать промежуточные результаты в нужном направлении.
Отметим еще один важныйметод агрегирования целевой функции. В некоторых случаях, когда одни частныекритерии желательно увеличивать, а другие – уменьшать, может быть использованафункция агрегирования в виде отношения одних критериев к другим. При этомпервая группа критериев отождествляется с целевым эффектом, а другая – сзатратами на его достижение. Результатом агрегирования в этом случае выступаетудельная эффективность:
/>,
где /> - прибыль (полезныйэффект), /> -затраты. Этот метод часто называют методом “затраты – эффект”.
Перейдем к рассмотрениюинформационных технологий решения ряда задач векторной оптимизации. В процессерассмотрения мы ограничимся наиболее широко используемыми методами. Для решениязадач будем использовать процессор электронных таблиц Excel, способныйдостаточно просто и эффективно решать задачи подобного рода.
Пример 1. Свертывание системыпоказателей эффективности.
Рассмотрим следующуюзадачу векторной оптимизации:
/>,
где целевые функции исоответствующие им ограничения имеют вид:
/>
Решим задачу в Excel ипроанализируем зависимость получаемого решения от значения коэффициентов />.
Внесем данные на рабочийлист в соответствии с Рис. 5.1. Под значения переменных отведем ячейки A16:C16.В ячейки A6:A8 и A10:A12 введем формулы, определяющие ограничения на значенияпеременных, в ячейки E16 и G16 – формулы для расчета соответствующих целевыхфункций, в ячейку F20 – формулу для расчета функции />.
Чрезвычайно важнымявляется использование в данном методе общей для всех функций системыограничений.
/>
Рис. 1. Данные длярешения примера 1
Вызовем Поиск решения изададим область изменения переменных, целевую ячейку и систему ограниченийстандартным образом. В результате получим ответ: (для данных значенийпараметров /> (см.Рис. 1)) /> Полагаязначения параметров равными, например, /> получим другое оптимальноезначение исследуемой функции /> Таким образом, можно сделатьвывод о весьма существенной чувствительности значений данной оптимизируемойфункции к вариациям весовых коэффициентов.
Пример 2. Ограничения на критерии.Метод последовательных уступок.
Ограничимся для простотызадачей линейной оптимизации (линейного программирования).
Пусть необходимо решитьзадачу векторной оптимизации следующего вида:
/>
при ограничениях:
/>
методом последовательныхуступок, если уступка по первому критерию составляет 10% от его оптимальногозначения.
Решение. Решим задачу покритерию />,в результате чего получим />. В соответствии с условием задачивеличина уступки />. Дополнительное ограничение будетиметь вид: />,т.е. />.Решая задачу
/>
получим
/>.
Проведем решение задачи спомощью Excel. Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис.2.
Отведем под значенияпеременных ячейки A19 и B19, введем формулы, определяющие ограничения исходнойзадачи, в ячейки A13:A15; формулу для целевой функции в ячейку E19, а формулудля расчета /> в ячейку H19. Поиск решения даетзначение />.Далее, копируем значение из ячейки E19 в ячейку С26 (используется специальнаявставка – только значение). Затем отводим под целевую ячейку E26, вводим в нееформулу для расчета />, а в ячейку A26 вводим формулу=A19+3*B19, представляющую собой дополнительное ограничение задачи.
При вторичном запускеПоиска решения наряду с уже введенными на первом этапе ограничениями вводим ещеодно дополнительное ограничение A26>=144.
В результате расчетаполучим ответ:
/>.
/>
Рис. 2. Данные длярешения задачи оптимизации по методу последовательных уступок
Пример 3. Целевоепрограммирование.
Провести оптимизациювектор – функции />
/>
при ограничениях:
/>
/>
Рис. 3. Данные длярешения примера 3
Решение. Введем данные нарабочий лист в соответствии с Рис.3.
Отведем под значенияпеременных ячейки A20 и B20; введем формулы, определяющие ограничения задачи, вячейки A16:A17; формулы для расчета функций /> в ячейки E20, G20 и I20, аформулу для расчета /> - в ячейку C28. Поскольку нашифункции нелинейны, в окне диалога Параметры поиска решения необходимо снятьфлажок (указатель) линейная модель.
Далее последовательнопроводим поиск оптимальных (максимальных) значений функций /> (целевыми ячейкамивыбираем E20, G20 и I20); после нахождения оптимальных значений каждой изфункций ее максимальное значение заносим (используя специальную вставку) вячейки E24, G24 и I24 соответственно. Таким образом, в ячейках окажутсязначения: 1.0748 (E24), 0.7357 (G24), 2 (I24).
После этого переходим кзаключительному этапу. Оптимизируем (минимизируем) значение целевой функции /> (целеваяячейка С28). Поиск решения дает для оптимального значения целевой функциизначение 0,32534. При этом в ячейках E20, G20 и I20 окажутся значения функций />,соответствующие значениям />, при которых отклонение /> от /> будетминимальным.
Таким образом, при данныхзначениях весовых коэффициентов мы получаем следующие оптимальные (с точкизрения достижения оптимального значения “совокупной” функции />) значения компонентвектор функции:
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1,0748 0,7815 0,7358 0,3609 2 1,6784
Из вышеприведеннойтаблицы видно, что в результате оптимизации /> значения всех трехфункций-составляющих уменьшились. Естественно, при использовании других весовыхкоэффициентов мы получили бы другие значения /> (но при любых значениях весовыхкоэффициентов тенденция уменьшения всех компонент вектор-функции сохраняется).
Следует отметить, чтозадача целевого программирования может формулироваться несколько иным образом.ЛПР может просто указать, исходя из своих соображений, желательные с его точкизрения, значения />, или диапазоны, в которых этизначения должны быть локализованы. При этой постановке задача решаетсяпрактически аналогично, с тем отличием, что поиск оптимальных значенийкомпонент (первая часть решения) не проводится, а их значения (или диапазоныизменения) вводятся в качестве ограничений дополнительно к исходнымограничениям задачи.