Задание 1.
По 15 предприятиям, выпускающим один и тот же вид продукцииизвестны значения двух признаков:
х— выпуск продукции, тыс. ед.;
у — затраты на производство, млн. руб.
x
y 5,3 18,4 15,1 22,0 24,2 32,3 7,1 16,4 11,0 22,2 8,5 21,7 14,5 23,6 10,2 18,5 18,6 26,1 19,7 30,2 21,3 28,6 22,1 34,0 4,1 14,2 12,0 22,1 18,3 28,2
Требуется:
4. Построить полекорреляции и сформулировать гипотезу о форме связи;
5. Построить модели:
2.1 Линейной парной регрессии;
2.2 Полулогарифмической парной регрессии;
2.3 Степенной парной регрессии; Дляэтого:
1. Рассчитатьпараметры уравнений;
2. Оценить теснотусвязи с помощью коэффициента (индекса) корреляции;
3. Оценить качествомодели с помощью коэффициента (индекса) детерминации и средней ошибкиаппроксимации;
4. Дать с помощью среднегокоэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора срезультатом;
5. С помощью F-критерия Фишера оценитьстатистическую надежность результатов регрессионного моделирования;
3. По значениямхарактеристик, рассчитанных в пунктах 2-5 выбрать лучшее уравнение регрессии;
4. Используя методГольфрельда-Квандта проверить остатки на гетероскедастичность;
5. Рассчитатьпрогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на5% от его среднего уровня. Для уровня значимости />=0,05определить доверительный интервал прогноза.
Решение.
1. Строим полекорреляции.
/>
Анализируярасположение точек поля корреляции, предполагаем, что связь между признаками х и у может быть линейной, т.е. у=а+bх, или нелинейной вида: у=а+blnх, у = ахb.
Основываясьна теории изучаемой взаимосвязи, предполагаем получить зависимость у от х видау=а+bх, т. к. затраты на производство y можно условно разделить на два вида:постоянные, не зависящие от объема производства — a, такие как арендная плата, содержание администрации ит.д.; и переменные, изменяющиеся пропорционально выпуску продукции bх, такие как расход материала, электроэнергии и т.д.
2.1Модель линейной парной регрессии
2.1.1Рассчитаем параметры aи b линейной регрессии у=а+bх.
Строимрасчетную таблицу 1.
Таблица1
№
x
y
yx
x2
y2
/>
/>
Аi 1 5,3 18,4 97,52 28,09 338,56 16,21 2,19 11,92 2 15,1 22,0 332,20 228,01 484,00 24,74 -2,74 12,46 3 24,2 32,3 781,66 585,64 1043,29 32,67 -0,37 1,14 4 7,1 16,4 116,44 50,41 268,96 17,77 -1,37 8,38 5 11,0 22,2 244,20 121,00 492,84 21,17 1,03 4,63 6 8,5 21,7 184,45 72,25 470,89 18,99 2,71 12,47 7 14,5 23,6 342,20 210,25 556,96 24,22 -0,62 2,62 8 10,2 18,5 188,70 104,04 342,25 20,47 -1,97 10,67 9 18,6 26,1 485,46 345,96 681,21 27,79 -1,69 6,48 10 19,7 30,2 594,94 388,09 912,04 28,75 1,45 4,81 11 21,3 28,6 609,18 453,69 817,96 30,14 -1,54 5,39 12 22,1 34,0 751,40 488,41 1156,00 30,84 3,16 9,30 13 4,1 14,2 58,22 16,81 201,64 15,16 -0,96 6,77 14 12,0 22,1 265,20 144,00 488,41 22,04 0,06 0,26 15 18,3 28,2 516,06 334,89 795,24 27,53 0,67 2,38 ? 212,0 358,5 5567,83 3571,54 9050,25 358,50 0,00 99,69 среднее 14,133 23,900 371,189 238,103 603,350 23,90 0,00 6,65
Параметрыaи b уравнения
Yx= a+ bx
определяютсяметодом наименьших квадратов:
/>
Разделивна nи решая методом Крамера, получаемформулу для определения b:
/>
/>
Уравнениерегрессии:
/>=11,591+0,871x
Сувеличением выпуска продукции на 1 тыс. руб. затраты на производствоувеличиваются на 0,871 млн. руб. в среднем, постоянные затраты равны 11,591млн. руб.
2.1.2. Тесноту связи оценим с помощью линейного коэффициентапарной корреляции.
Предварительно определим средние квадратические отклоненияпризнаков.
Средниеквадратические отклонения:
/>
/>
Коэффициенткорреляции:
/>
Междупризнаками X и Y наблюдается очень тесная линейная корреляционнаясвязь.
2.1.3Оценим качество построенной модели.
Определимкоэффициент детерминации:
/>
т. е. данная модель объясняет 90,5% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсииприходится 9,5%.
Следовательно,качество модели высокое.
Найдемвеличину средней ошибки аппроксимации Аi.
Предварительноиз уравнения регрессии определим теоретические значения /> для каждого значенияфактора.
Ошибкааппроксимации Аi, i=1…15:
/>
Средняяошибка аппроксимации:
/>
Ошибканебольшая, качество модели высокое.
5.1.4. Определим средний коэффициентэластичности:
/>
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1%затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,515%.
2.1.5.Оценимстатистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т. е. полученное уравнениестатистически незначимо. Примем ?=0,05. Найдем табличное (критическое)значение F-критерия Фишера:
/>
Найдемфактическое значение F — критерия Фишера:
/>
/>
следовательно, гипотеза Hотвергается, принимается альтернативная гипотеза H1: с вероятностью 1-?=0,95полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными xиy неслучайна.
Построимполученное уравнение.
/>
2.2.Модель полулогарифмической парной регрессии.
2.2.1.Рассчитаем параметры а и b в регрессии:
уx=а +blnх.
Линеаризуемданное уравнение, обозначив:
z=lnx.
Тогда:
y=a+ bz.
Параметрыaи b уравнения
/> = a+ bz
определяютсяметодом наименьших квадратов:
/> Рассчитываем таблицу 2.
Таблица2
№
x
y
z
yz
z2
y2
/>
/>
Аi 1 5,3 18,4 1,668 30,686 2,781 338,56 15,38 3,02 16,42 2 15,1 22,0 2,715 59,723 7,370 484,00 25,75 -3,75 17,03 3 24,2 32,3 3,186 102,919 10,153 1043,29 30,42 1,88 5,83 4 7,1 16,4 1,960 32,146 3,842 268,96 18,27 -1,87 11,42 5 11,0 22,2 2,398 53,233 5,750 492,84 22,61 -0,41 1,84 6 8,5 21,7 2,140 46,439 4,580 470,89 20,06 1,64 7,58 7 14,5 23,6 2,674 63,110 7,151 556,96 25,34 -1,74 7,39 8 10,2 18,5 2,322 42,964 5,393 342,25 21,86 -3,36 18,17 9 18,6 26,1 2,923 76,295 8,545 681,21 27,81 -1,71 6,55 10 19,7 30,2 2,981 90,015 8,884 912,04 28,38 1,82 6,03 11 21,3 28,6 3,059 87,479 9,356 817,96 29,15 -0,55 1,93 12 22,1 34,0 3,096 105,250 9,583 1156,00 29,52 4,48 13,18 13 4,1 14,2 1,411 20,036 1,991 201,64 12,84 1,36 9,60 14 12,0 22,1 2,485 54,916 6,175 488,41 23,47 -1,37 6,20 15 18,3 28,2 2,907 81,975 8,450 795,24 27,65 0,55 1,95 ? 212,0 358,5 37,924 947,186 100,003 9050,25 358,50 0,00 131,14 Средн. 14,133 23,900 2,528 63,146 6,667 603,350 23,90 0,00 8,74
Разделивна nи решая методом Крамера, получаемформулу для определения b:
/>
/>
Уравнениерегрессии:
/> = -1,136 + 9,902z
2.2.2.Оценим тесноту связи между признаками у и х.
Т. к.уравнение у = а + bln x линейноотносительно параметров а и b и его линеаризация не была связанас преобразованием зависимой переменной _у, то теснота связи междупеременными у и х, оцениваемая с помощью индекса парнойкорреляции Rxy, также может быть определена спомощью линейного коэффициента парной корреляции ryz
/>
среднее квадратическое отклонение z:
/>
Значениеиндекса корреляции близко к 1, следовательно, между переменными у и хнаблюдается очень тесная корреляционная связь вида /> = a+ bz.
2.2.3Оценим качество построенной модели.
Определимкоэффициент детерминации:
/>
т. е. данная модель объясняет 83,8% общей вариации результата у, на долю необъясненной вариацииприходится 16,2%.
Следовательно,качество модели высокое.
Найдемвеличину средней ошибки аппроксимации Аi.
Предварительноиз уравнения регрессии определим теоретические значения /> для каждого значенияфактора.
Ошибкааппроксимации Аi, i=1…15:
/>
Средняяошибка аппроксимации:
/>
Ошибканебольшая, качество модели высокое.
2.2.4.Определим средний коэффициент эластичности:
/>
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1%затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,414%.
2.2.5.Оценимстатистическую значимость полученного уравнения. Проверим гипотезу H, что выявленная зависимость у от х носит случайный характер, т.е. полученное уравнениестатистически незначимо. Примем ?=0,05.
Найдемтабличное (критическое) значение F-критерия Фишера:
/>
Найдемфактическое значение F-критерия Фишера:
/>
/>
следовательно, гипотеза Hотвергается, принимаетсяальтернативная гипотеза H1: свероятностью 1-?=0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь междупеременными xиy неслучайна.
Построимуравнение регрессии на поле корреляции
/>
2.3.Модель степенной парной регрессии.
2.3.1.Рассчитаем параметры а и b степенной регрессии:
/>
Расчетупараметров предшествует процедура линеаризации данного уравнения:
/>
изамена переменных:
Y=lny, X=lnx, A=lna
Параметрыуравнения:
Y=A+bX
определяютсяметодом наименьших квадратов:
/> Рассчитываем таблицу 3.
Определяемb:
/>
/>
/>
Уравнениерегрессии:
/>
Построимуравнение регрессии на поле корреляции:
/>
2.3.2. Оценим тесноту связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции Ryx.
Предварительно рассчитаем теоретическое значение /> для каждогозначения фактора x, и />,тогда:
/>
Значение индекса корреляции Rxyблизко к 1, следовательно, междупеременными у их наблюдается очень тесная корреляционная связьвида: />
2.3.3.Оценим качество построенной модели.
Определим индекс детерминации:
R2=0,9362=0,878,
т. е. данная модель объясняет 87,6% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариацииприходится 12,4%.
Качество модели высокое.
Найдем величину средней ошибки аппроксимации.
Ошибкааппроксимации Аi, i=1…15:
/>
Средняяошибка аппроксимации:
/>
Ошибканебольшая, качество модели высокое.
2.3.4. Определим средний коэффициент эластичности:
/>
Он показывает, что с увеличением выпуска продукции на 1%затраты на производство увеличиваются в среднем на 0,438%.
2.3.5.Оценимстатистическую значимость полученного уравнения.
Проверимгипотезу H, что выявленная зависимость у отх носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистическинезначимо. Примем ?=0,05.
табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:
/>
фактическое значение F-критерия Фишера:
/>