Математическиемодели формирования и использования запасов/>/>
Введение
Запасысредств производства представляют собой экономическую категорию, присущуютоварному производству на всех стадиях его развития. Они призваны обеспечитьнепрерывность и высокие темпы расширенного воспроизводства.
Возникает вопрос: зачем же обществу нужны запасы? Существует многопричин, почему организации идут на их создание. Основной довод состоит в том,что обычно либо физически невозможно, либо экономически невыгодно, чтобы товарыпоступали именно тогда, когда на них возникает спрос. При отсутствии запасовпотребителям приходилось бы ждать, пока их заказы будут выполнены. Однакообычно потребители не хотят или не могут долго ждать. Одно это говорит онеобходимости хранения запасов почти каждой организацией, снабжающей товарамипотребителей. Но существуют и другие причины для создания запасов. К нимотносятся цены на сырье, которые могут подвергаться значительным сезоннымколебаниям. Когда цена низка, выгодно создавать достаточные запасы сырья,которых хватило бы на весь сезон высоких цен, которые можно было бы по меренадобности использовать в производстве. Другой довод, особенно важный дляпредприятий розничной торговли, состоит в том, что объем продаж и прибыль могутбыть увеличены, если имеется некоторый запас товаров, который можно предложитьпотребителю.
И хотя вопросы, связанные с хранением запасов, столь же стары, каки сама история, только с начала 20 века были сделаны попытки использоватьаналитические методы для их изучения. Первоначальным толчком к применениюматематических методов анализа систем управления запасами послужило, вероятно,одновременное развитие промышленности и технических наук, и особенно науки оборганизации производства. Реальную потребность в анализе впервые ощутили теотрасли промышленности, которым пришлось столкнуться с вопросами календарногопланирования производства и хранения запасов, когда продукция производитсясерийно и поступает на заводской склад.
Впервые вывод формулы, которую часто называют простой формулойразмера партии, был сделан Фордом Харрисом в 1915 году. С тех пор эта же самаяформула была получена, вероятнее всего самостоятельно, многими исследователями.Часто ее называют формулой Уилсона, так как она была получена в качестве одногоиз результатов разработанной Уилсоном схемы управления запасами.
И лишь по окончании второй мировой войны, когда стали развиватьсянаука о методах управления и руководства и исследование операций, было обращеносерьезное внимание на случайный характер процессов управления запасами. Доэтого системы рассматривались как детерминированные, за исключением технемногих случаев, как, например, работа Уилсона, где были сделаны попыткикак-то учесть вероятностный характер этих систем.
Интерес к использованию аналитических методов решения задач управлениязапасами впервые возник в промышленности, где инженеры искали способы решенияпрактических задач.
В настоящее время работы в этой области ведутся в различныхаспектах. С одной стороны, значительная работа проводится непосредственно вобласти практического применения, хотя с другой стороны, исследуются иабстрактные математические свойства моделей управления запасами.
При управлении запасами любого товара следует ответить на два основныхвопроса: когда пополнить запас, и каков должен быть размер заказа на пополнение?/>
1Построение модели управления запасами в условиях детерминированного спроса/> 1.1 Оптимальныепартии поставки для однопродуктовых моделей
Модель управления запасами в условиях детерминированного спроса –это модель где интенсивность поступления требований предполагается известной ипостоянной во времени. Как известно, на практике спрос почти никогда нельзяуказать с определенностью; вместо этого его следует описывать в вероятностныхтерминах.
Детерминированные модели интересны тем, что позволяют познакомитьсяс методами анализа, используемыми в более сложных системах. Кроме того,результаты, полученные с помощью этих моделей, дают качественно правильныесуждения о поведении системы даже при отказе от гипотезы детерминированногоспроса.
На рис.1.1. показан самый общий случай образования (ОА), расходования(АК) запаса, затем возможное образование дефицита (КD) и его удовлетворения(DS). В точке S вновь начинается формирование запаса, так что временной отрезокOS представляет собой продолжительность рассмотренного цикла.
/>
Рис.1.1. Схема движения запасов для детерминированного спроса
Таким образом, на рис.4.1. показана схема однопродуктовой модели сучетом неудовлетворенных требований и конечной интенсивностью потребления ирасходования запаса, где по оси ординат откладывается величина текущего запасаI, а по оси абсцисс – время t.
Обозначим:
l – интенсивность поступления;
n – постоянная интенсивность потребления;
t1 –продолжительность формирования запаса со скоростью l [ед. запаса/ ед. времени];
t2 – времярасходования запаса со скоростью n;
t3 – времяобразования дефицита со скоростью n;
t4 – времяпогашения дефицита со скоростью l.
Тогда (l-n) – интенсивность (скорость) пополнениязапаса.
Максимальный уровень (объем) наличного запаса AB=Y составит:
/>
математическая модель оптимальныйзапасы
Максимальный уровень дефицита ED=y составит:
/>
Продолжительность цикла поставки очередной партии или время возобновлениязапаса />:
/>
Так как спрос удовлетворяется полностью, но не всегдасвоевременно, то величина партии поставки/>:
/>
Выразив />, /> и /> через /> и /> из (4-1) и (4-2) соответственно,получим:
/>
Общие издержки при работе этой системы обеспечения запасами складываютсяиз:
· издержек /> от размещения запасов, которые независят от величины />;
· издержек от содержания запасов />;
· издержек от наличия дефицита />.
Величина:
/>
где /> – удельные расходы на хранение ииммобилизацию средств
[ руб./ ед. 60 минут].
Потери из-за отсутствия продукции, на которую предъявляются требования,или от дефицита считаем пропорциональными средней величине задолженныхтребований и времени их осуществления:
/>
где />— удельные издержки дефицита, т.е.потери, связанные с нехваткой единицы продукции в единицу времени.
Учитывая полученные выражения />, /> и />, получим формулу для общих издержек/>в системев течении цикла />:
/>
отсюда удельные издержки за цикл составят:
/>
Найдем оптимальные значения τ2* иτ3* из условия, что:
/> />
Условия (4-10) позволяют получить систему двух уравнений с двумянеизвестными /> и />:
/>
Обозначим /> и разделим первое из уравненийсистемы (4-11) на второе, найдем:
/>.
Откуда />,и тогда
/>
Подставив (4-12) в любое из уравнений системы (4-11), получимоптимальные значения:
/>
/>
Учитывая (4-13) и (4-14), из (4-5) получим оптимальные значенияеще двух составляющих продолжительности цикла возобновления запасов:
/>
/>
Подставив τ2*и τ2*в формулы (4-5) и (4-4), получим оптимальные значения цикла повторениязаказа и партии однопродуктовой поставки:
τц*=√ 2·K/(S·n)·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S1/B1(4-17)
q* = √ 2·K·n/S·√(1+ S / d)/ (1-n/l)= S2/B1 (4-18)
Аналогично, подставив значения τ2*и τ3*из (4-13) и (4-14) в (4-9), определимоптимальные удельные издержки системы:
Lуд*=√2·K·n·S√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n·S· B1 (4-19)
И, наконец, находим оптимальные значения максимального уровня наличногозапаса и задолженного спроса:
Y*= √ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= √ 2·K·n/(S · B1) (4-20)
y*= S / d·√ 2·K·n/S·√ (1-n/l)/(1+ S / d)= S / d·√ 2·K·n/(S · B1 ) (4-21)
Общиеоптимальные издержки системы за время возобновления запаса составят:
Lобщ *= Lуд*·τц* (4-22)
Модель с учетом неудовлетворенных требований при конечной интенсивностипоступлений можно широко применять при:
1. управлении поставкамиматериальных ресурсов;
2. определении оптимальнойвеличины запуска деталей в производство с учетом переналадок на одном и том жетехнологическом оборудовании.
Во втором случае K – это издержки, связанные с переналадками.Предполагается, что они не зависят от величины выпускаемой партии и порядка запускадеталей в производство, l –интенсивность выпуска (производительность), τ1+ τ4 –время, затраченное на производство определенного типа изделий.
Изуравнений (4-13) – (4-22) можно получить ряд других частных моделей:
a) при большойинтенсивности пополнения, когда вся заказанная партия поступает одновременно;это значит, что l>>n и тогда можно принять n/l®0.
b) при больших штрафах задопущение дефицита S/d®0, т.е. дефицитнедопустим (d>>S).
c) когда пункты а) и b) действуют одновременно. т.е. n/l®0, S/d®0, тогда имеем:
q* = √ 2·K·n/S
τц*=√ 2·K/(S·n)
Lуд*=√ 2·K·n·S
Последняя модель в отечественной и зарубежной литературеполучила название Уилсона.Применяя формулы (4-17) – (4-19), можнопоказать, что за счет разумного компромисса между затратами на содержание ипотерями от дефицита можно уменьшить общие затраты в единицу времени в √1+S/dраз. При n/l®0 и высоких штрафах за дефицит рассматриваемая модель превращаетсяв модель Уилсона./> 1.2 Оптимальныепартии поставки для многопродуктовых моделей
Также как и для однопродуктовых поставок, суммарные издержки отфункционирования системы складываются из издержек размещения заказов, содержаниязапаса и убытков вследствие дефицита.
Суммарные издержки размещения заказа:
∑iКi = К0(1+γ·N)
где К0– издержки, не зависящие от числа одновременнозаказанных продуктов и размера партии поставки;
γ – доля издержек, учитывающая размещение заказа по каждому i-тому продукту;
N – числопродуктов.
Правая часть формулы (4-23) используется для расчета оптимальногопоставочного комплекта. Если же рассчитываются оптимальные партии запускадеталей в производство, изготавливаемых на одном и том же оборудовании, тогдаиспользуется левая часть формулы (4-23), где Кi --издержки переналадок. Причем, Кi не зависят от последовательности запускадеталей в производство. Период возобновления заказов τц*одинаков для всех одновременно заказываемых N продуктов.
Для удельных издержек работы системы с учетом интенсивности поступленияи потерь от дефицита (т.е. с учетом неудовлетворенных требований) справедливаформула:
Lуд = 1/ τц·∑i Кi+0,5· τц·∑i[(1-ni / li)/(1+ Si / di)]
Взяв частную производную и приравняв к нулю ∂Lуд/∂ τц=0, получим:
τц* = √2·∑i Кi / [∑i(Si·ni·(1-ni / li)/(1+ Si / di))]
Тогда можно найти оптимальные размеры партии запуска деталей в производствоиз формулы:
qi* = ni · τц*
Оптимальная величина удельных издержек, с учетом (4-24), составит:
Lуд* = √2·∑i Кi · [∑i(Si·ni·(1-ni / li)/(1+ Si / di))] (4-27)
Минимизация издержек от переналадок достигается из условия:
∑i=1N(ni/ li)≤1 (4-28)
В общем случае ограничение по ресурсам можно отразить в формуле:
∑iaij· qi≤ Aj, j=1,n (4-29)
где aij– расход соответствующего ресурса наединицу продукции;
Aj–величина ограничения по виду ресурса (норматив).
Если условие (4-29) не выполняется, то рассчитывается новоезначение оптимального периода выпуска деталей или партии поставки из условия:
τ*= min{ƒ/(∑i ƒi·ni), A/(∑iαi ·ni)} (4-30),
где, например, первое ограничение относится к складским площадям,а второе – к оборотным средствам. И, далее, все параметры системы пересчитываютсязаново./> 1.3Определение оптимальных параметров системы управления движением запасов
Применим рассмотренную в 4.1 модель управления запасами к конкретномупримеру, который заключается в следующем: на одном и том же оборудованиипроизводится три типа полуфабрикатов.
Объект моделирования – склад готовой продукции, система управления движением запасов сучетом ограничений на складские помещения и оборотные средства.
Проблемная ситуация – определение оптимальных значений партии поставкиполуфабрикатов, их максимального уровня запаса, времени производства,бездефицитной и дефицитной работы системы управления запасами для каждого видаполуфабрикатов при заданных условиях.
Наблюдаемые параметры:
· стоимость переналадокоборудования Ki [ден. ед.], которая не зависит от очередности выпускаполуфабрикатов, отправляемых затем в неподалеку расположенные склады общейплощадью F = 300 м²;
· стоимость содержанияединицы запаса полуфабрикатов Si
[ден. ед./ (ед. п/фабр.: ед. врем.)];
· скорость поступления li [ ед. п/фабр.: (ед. врем.) ];
· скорость расходованияVi [ ед. п/фабр.: (ед. врем.) ];
· нормативы по складскимпомещениям fi [ м/(ед. п/фабр.) ];
· нормативы по оборотнымсредствам ai [ ден. ед./ед. п/фабр.];
· потери от дефицита di [ ден.ед./(ед. п/фабр.: ед. врем.)]; величина оборотных средств не должна превышать значения;
· А0= 20000[ ден. ед.].
Ненаблюдаемые параметры:
1) партии поставкиполуфабрикатов qi* ;
2) максимальный уровеньзапасов полуфабрикатов Yi* ;
3) времени производстваполуфабрикатов τпрi*;
4) времени формированиязапасов τi1*;
5) времени ликвидациидефицита τi4*;
6) времени расходованиязапаса τi2*;
7) времени бездефицитнойработы Hi* ;
8) времени работы приналичие дефицита Ni* для каждого вида полуфабрикатов.
Адекватность– соответствие расчетных и фактических параметров системы управления движениемзапасов.
Математический аппарат – дифференциальное исчисление, частные производные,алгебраические уравнения.
Результат моделирования – организация системы оптимального управления запасами;оптимальные значения партии поставки полуфабрикатов qi*, максимальный уровень запасов полуфабрикатов Yi*; времени производства полуфабрикатов τпрi*; времени формирования запасов τi1*;времени ликвидации дефицита τi4*; времени расходования запаса τi2*;времени бездефицитной работы Hi*; времени работы при наличие дефицита Ni* для каждого вида полуфабрикатов (табл. 1.1.).
Таблица 1.1
Исходные данныепо полуфабрикатамI Vi
li Ki Si di fi
ai
1 49 245 52 6 18 1,5 50
2 178 685 78 8 32 1,4 50
3 266 1520 43 10 20 2 100
Для решения данной задачи следует использовать модель с учетомнеудовлетворенных требований многопродуктового производства.
В связи с этим предварительно рассчитываются вспомогательныеданные:
Vi/li, Аi=1- Vi/li, Mi= Si/ di, Bi=1- Si / di, Ri=Si· Vi · Аi / Bi
Тогда оптимальное время возобновления поставок:
τц*=√2·∑i Кi / [∑i(Si· Vi· Аi / Bi)]
Подставив числовые значения исходных данных, получим значениявспомогательных данных (табл. 1.2.).
Таблица 1.2
Значениявспомогательных данных
i
Аi
Mi
Bi
R i
1 0,8 0,33 0,67 351,05
2 0,74 0,25 0,75 1405,01
3 0,825 0,5 0,5 4389
Требуемые оптимальные параметры управления запасами вычислим последующим формулам:
/>qi*= Vi ·τц*
τпрi*=qi*/li
τi1*=τпрi*/ Bi
τi4*=τпрi* — τi1*
τi2*= τц*· Аi / Bi (4-31)
Hi* = τi1*+τi2*
Ni* = Hi*+ Mi
Yi* = qi·(1+ Vi)/li
Подставив числовые данные, получим (табл.1.3.):
Таблица 1.3
Оптимальныепараметры системы управления запасами
I
qi*
τпрi*
τi1*
τi4*
τi2*
Hi*
Ni*
Yi*
1 11,61 0,05 0,07 0,02 0,28 0,35 0,68 2,37
2 42,19 0,06 0,08 0,02 0,23 0,31 0,56 11,02
3 63,04 0,04 0,08 0,04 0,39 0,47 0,97 11,07
Выполним проверку ограничений:
· по складскимпомещениям
τF=F/∑ifi· Vi, τF= 0,35ед. врем.
· по оборотным средствам
τA=А0/∑iai· Vi, τA= 0,53 ед. врем.
Поскольку τц*
/>/>/>Заключение
Системы управления материальными запасами играют важную роль в экономическойсистеме, так как они обеспечивают надежность функционирования экономическихобъектов – предприятий, отраслей, транспорта.
В данном разделе рассмотрены математические модели управления запасамив условиях детерминированного спроса, которые применяются для управленияпоставками ресурсов и очередностью запуска деталей (полуфабрикатов) впроизводство с учетом переналадок на одном и том же технологическом оборудовании.
В качестве примера были рассчитаны оптимальные партии поставки длямногопродуктовой модели при заданных исходных условиях.
В результате вычислений получены следующие параметры системы управлениязапасами:
1) партии поставкиполуфабрикатов qi*;
2) максимальный уровеньзапасов полуфабрикатов Yi*;
3) времени производстваполуфабрикатов τпрi*;
4) времени формированиязапасов τi1*;
5) времени ликвидациидефицита τi4*;
6) времени расходованиязапаса τi2*;
7) времени бездефицитнойработы Hi*;
8) времени работы приналичие дефицита Ni* для каждого вида полуфабрикатов.
Кроме того, установлены точные соответствия междупродолжительностью цикла поставок τц* и основнымихарактеристиками системы управления запасами.