Министерствообразования РФ
Всероссийскийзаочный финансово-экономический институт
Факультетучетно-статистический
КОНТРОЛЬНАЯРАБОТА
подисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»
Вариант№ 5
Исполнитель:
Специальность: БУАиА
Группа:
№ зачетной книжки:
Преподаватель: Орлова И.В.
Москва2007
Задача 1
Решить графическим методом типовую задачуоптимизации
Продукция двух видов (краска для внутренних (I)и наружных (E) работ) поступает воптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – Аи В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 8 тоннсоответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведеныв таблице.Исходный продукт Расход исходных продуктов на тонну краски, т Максимально возможный запас, т Краска Е Краска I А 1 2 6 В 2 1 8
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос накраску I никогда не превышаетспроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краскуI не превышает 2 т в сутки. Оптовыецены одной тонны красок равны 3000 ден.ед. для краски Е и 2000 ден.ед. длякраски I. Какое количествокраски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализациипродукции был максимальным?
Построить экономико-математическую модель задачи,дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическимметодом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение
Введем следующие переменные:
Х1 – количество краски Е (т);
Х2 – количество краски I(т).
Цена краски Е составляет 3000(ден. ед.),а цена краски I –2000 (ден. ед.). Необходимо максимизировать целевую функцию:
/>
Введены следующие ограничения:
Х1+2Х2≤6;
2Х1+Х2≤8;
Х2≤2;
Х2-Х1≤1.
Первое ограничение по продукту А Х1+2Х2≤6.Прямая Х1+2Х2=6 проходит через точки (0;3) и (6;0).
Второе ограничение по продукту В 2Х1+Х2≤8.Прямая 2Х1+Х2=8 проходит через точки (0;8) и (4;0).
Третье ограничение Х2≤2. Прямая Х2=2проходит параллельно оси Х1 через точку Х2=2.
Четвертое ограничение Х2-Х1≤1.Прямая Х2-Х1=1 проходит через точки (0;1) и (-1;0).
Решением каждого неравенствасистемы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую ирасположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая изкоторых определяется соответствующим неравенством системы, называется областьюдопустимых решений.
Решением неравенств будет являться полуплоскость,лежащая ниже пересекающихся прямых Х1+2Х2=6, 2Х1+Х2=8,Х2=2, Х2-Х1=1.
При максимизации функции линия уровня перемещаетсяпо направлению вектору – градиенту.
После решения системы уравнений
Х1+2Х2=6
2Х1+Х2=8
Находим, что Х1=3,33, Х2 =1,33
/>(ден.ед.)
Ответ:
Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден.ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I.
При решении задачи на минимум – решений не будет.
Задача 2
Использовать аппарат теории двойственности дляэкономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования
На основании информации, приведенной в таблице,решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки отреализации готовой продукции.Вид ресурсов Нормы расхода ресурсов на ед. продукции Запасы ресурсов I вид II вид III вид Труд 1 4 3 200 Сырье 1 1 2 80 Оборудование 1 1 2 140 Цена изделия 40 60 80
Требуется:
1. Сформулироватьпрямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовойпродукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулироватьдвойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремдвойственности.
3. Пояснитьнулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. Наоснове свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
· проанализироватьиспользование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
· определить,как изменяется выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличениизапасов сырья на 18 единиц;
· оценитьцелесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70 единиц, наизготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.
Решение
1) Сформулировать прямуюоптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции,получить оптимальный план выпуска продукции.
Х1 — норма расхода ресурса первого вида
Х2 — норма расхода ресурсавторого вида
Х3 — норма расхода ресурсатретьего вида.
Целевая функция имеет вид
/>, где />
Ограничения:
1) потруду
/>
2) по сырью
/>
3) по оборудованию
/>
/>
Оптимальныйплан найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1) и (рис.2.2).
/> Рис. 2.1
/>
Рис. 2.2
Полученноерешение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4000ед.) предприятие может получить при выпуске 40 единиц изделия 1 вида и 40единиц изделия 2 вида. При этом ресурс «труд» и «сырье» будут использованыполностью, из 140 единиц оборудования будет использовано только 80 единиц.
Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчетарис. 2.3
Microsoft Excel 10.0 Отчет по результатам
Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5
Отчет создан: 06.12.2007 18:42:36 Целевая ячейка (Максимум)
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат $D$3 4000 4000 Изменяемые ячейки
Ячейка
Имя
Исходное значение
Результат $A$2 х1 40 40 $B$2 х2 40 40 $C$2 х3 Ограничения
Ячейка
Имя
Значение
Формула
Статус
Разница $D$4 200 $D$4Вотчете по результатам содержатся оптимальные значения переменных />, которыесоответственно равны 40; 40; 0; значение целевой функции – 4000, а также недоиспользованныйресурс «оборудование» в размере 60 единиц.
Оптимальныйплан />
2) Сформулировать двойственную задачу инайти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Число неизвестных в двойственной задаче равно числуфункциональных ограничений в исходной задаче. Исходная задача содержит 3ограничения: труд, сырье и оборудование. Следовательно, в двойственной задаче 3неизвестных:
/>двойственная оценка ресурса труд
/> двойственнаяоценка ресурса сырья
/> двойственнаяоценка ресурса оборудования
Целевая функциядвойственной задачи формулируется на минимум. Коэффициентами при неизвестных вцелевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системеограничений исходной задачи:
/>
Необходимо найти такие«цены» на типы сырья/>, чтобы общая стоимость используемых типов сырья быламинимальной.
Ограничения. Числоограничений в системе двойственной задачи равно числу переменных в исходнойзадаче. В исходной задаче 3 переменных, следовательно, в двойственной задаче 3ограничения. В правых частях ограничений двойственной задачи стоят коэффициентыпри неизвестных в целевой функции исходной задачи. Левая часть определяетстоимость типа сырья, затраченного на производство единицы продукции.
Каждое ограничениесоответствует определенной норме расхода сырья на единицу продукции:
/>
/>
/>
/>
Найдем оптимальный план двойственной задачи,используя теоремы двойственности.
Воспользуемся первым соотношением второй теоремыдвойственности
/>тогда
/>
/>
/>
/>
Подставим оптимальные значения вектора />в полученные выражения
/>
/>
/>
И получим
/> ,
/>,
/>, так как 80
В задаче />и />, поэтому первое и второеограничения двойственной задачи обращаются в равенства
/>
/>
/>
Решая систему уравнений получим, y1= 6,67, y2= 33,33, y3= 0.
Проверяем выполнение первой теоремы двойственности
/>
/>
Это означает, что оптимальный план двойственнойзадачи определен, верно.
Решение двойственной задачи можно найти, выбравкоманду Поиск решений – Отчет по устойчивости (рис.2.4).
Microsoft Excel 10.0 Отчет по устойчивости
Рабочий лист: [Контр.раб 2.5.xls]кр 2.5
Отчет создан: 06.12.2007 19:04:27 Изменяемые ячейки
Результ.
Нормир.
Целевой
Допустимое
Допустимое
Ячейка
Имя
значение
стоимость
Коэффициент
Увеличение
Уменьшение $A$2 х1 40 40 20 4.000000003 $B$2 х2 40 60 100 20 $C$2 х3 -6.666666672 80 6.666666672 1E+30 Ограничения
Результ.
Теневая
Ограничение
Допустимое
Допустимое
Ячейка
Имя
значение
Цена
Правая часть
Увеличение
Уменьшение $D$4 200 6.666666667 200 120 120 $D$5 80 33.33333333 80 60 30 $D$6 80 140 1E+30 60
Рис2.4
3) Пояснить нулевые значения переменных воптимальном плане.
Подставим в ограничения двойственной задачиоптимальные значения вектора />: />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Затраты на 3 изделия превышают цену (/>). Это же видно и в отчетепо устойчивости (рис. 2.4) значения /> (нормир.стоимость) равно -6.67. Т.е. стоимость нормы расходов на единицу изделия большечем цена изделия. Эти изделия не войдут в оптимальный план из-за ихубыточности.
4) На основе свойствдвойственных оценок и теорем двойственности:
- проанализировать использование ресурсов воптимальном плане исходной задачи;
- определить, как изменятся выручка от реализациипродукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
- оценить целесообразность включения в план изделиячетвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по двеединицы каждого вида ресурсов.
Проанализировать использование ресурсов воптимальном плане исходной задачи;
/>
/>
/>
Запасы сырья по первому и второму виду былииспользованы полностью, а по третьему виду – оборудование — былонедоиспользовано 60.
Определить, как изменятся выручка и план выпускапродукции при увеличении запасов сырья на 18 единиц
Из теоремы об оценках известно, что колебаниевеличины />приводит к увеличению илиуменьшению />. Оно определяется:
/>
/>
/>
/>
Израсчетов видно, если мы увеличим запасы сырья на 18 единицы, то выручкавозрастет на 600 единиц, т. е общая выручка составит после изменения запасов 4600единиц.
/>При этом структура плана не изменилась– изделия, которые были убыточны, не вошли и в новый план выпуска, так как ценына них не изменились.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Решим систему уравнений:
/>
/>
И получим
/>
/>
Новый оптимальный план />
Изменение общей стоимости продукции на 600 ед.получено за счет увеличения плана выпуска 1 вида продукции на 24 ед по цене 40ед (40*(64-40)=960 ед.) и уменьшения на 6 ед. плана выпуска продукции 2 вида по цене 60 (60*(34-40)=-360 ед.)
Оценить целесообразность включения в план изделиячетвертого вида ценой 70 единиц, на изготовление которого расходуется по две единицыкаждого вида ресурсов.
Для оценки целесообразности включения в план изделиячетвертого вида воспользуемся вторым свойством двойственной оценки.
/>,подставим />, />, />
/>
т.к. 80>70, то включение в план изделиячетвертого вида невыгодно.
Задача 3
Используя балансовый метод планирования и модельЛеонтьева, построить баланс производства и распределения продукции предприятий.
Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускаетпродукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группыспециализируется на выпуске одного вида: первое предприятие специализируется навыпуске продукции первого вида; второе предприятие – продукции второго вида;третье предприятие – продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукциипотребляется предприятиями холдинга (идет на внутренне потребление), остальнаячасть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечнымпродуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки aij(i=1,2,3; j=1,2,3)элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямыхматериальных затрат) и элементов yi вектораконечной продукции Y.
Требуется:
1. Проверитьпродуктивность технологической матрицы А=(aij)(матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построитьбаланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятийхолдинга.Предприятие (виды продукции) Коэффициенты прямых затрат aij Конечный продукт Y 1 2 3 1 0,2 0,3 120 2 0,3 0,1 0,2 250 3 0,1 0,3 180
Решение
1) Проверитьпродуктивность технологической матрицы A=(аij)(матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
1.1. Для решенияданной экономической задачи будет выбрана среда табличного процессора MS Excel. (рис. 3.1)
Рис. 3.1
Исходныеданные
/>
1.2. Найдем разность междуединичной матрицей Е и матрицей А.
Для этого воспользуемся правилом вычитания матрицодинаковой размерности. /> (рис.3.2)
/>
/> 0,8 -0,3 -0,1 E-A -0,3 0,9 -0,2 -0,1 0,7
1.3. Найдем обратнуюматрицу />. Воспользуемся встроеннымифункциями MS Excel (математические,обратная матрица) (рис. 3.2).
Рис 3.2
/>
1.4. Чтобы определитьВаловую продукцию (матрицу/>), надоматрицу />=/> умножить на Конечныйпродукт (матрицу />). Воспользуемсяопять встроенными функциями MS Excel(математические, умножение матриц) (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Определение валовой продукции (матрица/>)
/>
1.5. Матрица /> (матрица коэффициентовпрямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существует неотрицательный вектор/>.
2) Построить баланс (заполнитьтаблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.
2.1. Для распределенияпродукции предприятий холдинга необходимо найти />(рис. 3.4)
Рис. 3.4
Распределение продукции предприятий холдинга
/>
2.2. Построим межотраслевой баланс производства (рис. 3.5)
Рис 3.5
/>
Условно чистая продукция– это разность между валовым продуктом и суммой продуктов, которые потребляеткаждая отрасль.
Ответ:
1) Матрица /> (матрицакоэффициентов прямых материальных затрат) продуктивна, т.к. существуетнеотрицательный вектор />.
2) Межотраслевой баланс Предприятие (виды продукции) Коэффициенты прямых затрат aij Конечный продукт Y Валовой продукт 1 2 3 1 72,82 140,35 0,00 120 364,08 2 109,23 46,78 61,83 250 467,84 3 36,41 0,00 92,75 180 309,15 Условно чистая продукция 145,63 280,70 154,57 Валовой продукт 364,08 467,84 309,15 1141,07
Задача 4
Исследовать динамику экономического показателя наоснове анализа одномерного временного ряда.
В течение девяти последовательных недельфиксировался спрос Y(t)(млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t)этого показателя приведен в таблице. Номер наблюдения ( t = 1,2,…,9) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 10 12 15 18 20 23 26
Требуется:
1. Проверитьналичие аномальных наблюдений.
2. Построитьлинейную модель Y(t)= a+ a1t,параметры которой оценить МНК (Y(t))– расчетные,смоделированные значения временного ряда).
3. Оценитьадекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточнойкомпоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (прииспользовании R/S–критериявзять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценитьточность моделей на основе использования средней относительной ошибкиаппроксимации.
5. Подвум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели(доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p= 70%)
6. Фактическиезначения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представитьграфически.
Решение
1). Наличие аномальных наблюдений приводит кискажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в отсутствиианомальных данных. Для этого воспользуемся методом Ирвина и найдемхарактеристическое число (/>) (таблица4.1).
/>; />, />
Расчетные значения сравниваются с табличнымизначениями критерия Ирвина, и если они оказываются больше табличных, тосоответствующее значение />уровняряда считается аномальным.
Таблица 4.1 t Y
/>
/>
/>
/>
/>
/> 1 5 -4 16 -10,11 102,23 - - 2 7 -3 9 -8,11 65,79 2 0,28 3 10 -2 4 -5,11 26,12 3 0,42 4 12 -1 1 -3,11 9,68 2 0,28 5 15 -0,11 0,01 3 0,42 6 18 1 1 2,89 8,35 3 0,42 7 20 2 4 4,89 23,90 2 0,28 8 23 3 9 7,89 62,23 3 0,42 9 26 4 16 10,89 118,57 3 0,42 Сумма 45 136 60 416,89 Среднее 5 15,11
/> /> Всеполученные значения сравнили с табличными значениями, />не превышает их, то есть,аномальных наблюдений нет.
2) Построить линейную модель />, параметры которойоценить МНК (/> — расчетные,смоделированные значения временного ряда).
Для этого воспользуемся Анализом данных в Excel(рис. 4.2).
Рис 4.1
/>
Результат регрессионного анализасодержится в таблице 4.2 и 4.3.
Таблица 4.2
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
Y-пересечение а0 1,944 0,249 7,810
t a1 2,633 0,044 59,516
Во втором столбце табл. 4.3 содержатся коэффициентыуравнения регрессии а0, а1, в третьем столбце –стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом – t– статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнениярегрессии.
Уравнение регрессии зависимости />(спрос на кредитныересурсы) от />(время) имеет вид /> (рис. 4.5).
Таблица 4.3
Вывод остатковВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение
Предсказанное Y
Остатки 1 4,58 0,42 2 7,21 -0,21 3 9,84 0,16 4 12,48 -0,48 5 15,11 -0,11 6 17,74 0,26 7 20,38 -0,38 8 23,01 -0,01 9 25,64 0,36
Рис. 4.4
/>
3) Оценить адекватность построенных моделей,используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности исоответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критериявзять табулированные границы 2,7—3,7).
Модель является адекватной, если математическоеожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальномузакону распределения.
3.1. Проверим независимость (отсутствиеавтокорреляции) с помощью d– критерия Дарбина – Уотсона по формуле:
/>
Таблица 4.2
Наблюдение
/>
/>
/>
/>
/> 1 0,42 0,18 - - - 2 -0,21 0,04 -0,63 0,42 0,18 3 0,16 0,02 0,37 -0,21 0,04 4 -0,48 0,23 -0,63 0,16 0,02 5 -0,11 0,01 0,37 -0,48 0,23 6 0,26 0,07 0,37 -0,11 0,01 7 -0,38 0,14 -0,63 0,26 0,07 8 -0,01 0,00 0,37 -0,38 0,14 9 0,36 0,13 0,37 -0,01 0,00
Сумма 0,00 0,82 0,70
/>, />
Т.к. расчетное значение dпопадает в интервал от 0 до d1,т.е. в интервал от 0 до 1,08, то свойство независимости не выполняется,уровни ряда остатков содержат автокорреляцию. Следовательно, модель по этомукритерию неадекватна.
3.2. Проверку случайности уровней ряда остатковпроведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 √(16n-29)/90]
Количество поворотных точек равно 6 (рис.4.5).
Рис. 4.5
/>
Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно,свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.
3.3. Соответствие ряда остатков нормальному законураспределения определим при помощи RS – критерия:
/>, где
/> - максимальный уровень рядаостатков, />
/> — минимальный уровень рядаостатков, />
/> — среднеквадратическоеотклонение,
/>, />
/>
Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7),следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этомукритерию адекватна.
3.4. Проверка равенства нулю математическогоожидания уровней ряда остатков.
В нашем случае />, поэтому гипотеза о равенствематематического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.
В таблице 4.3 собраны данные анализа ряда остатков.
Таблица 4.3Проверяемое свойство Используемые статистики Граница Вывод наименование значение нижняя верхняя Независимость d-критерий 0,85 1,08 1,36 неадекватна Случайность Критерий поворотных точек 6>2 2 адекватна Нормальность RS-критерий 2,81 2,7 3,7 адекватна Среднее=0? t-статистика Стьюдента -2,179 2,179 адекватна Вывод: модель статистики неадекватна
4) Оценить точность модели на основе использованиясредней относительной ошибки аппроксимации.
Для оценки точности полученной модели будемиспользовать показатель относительной ошибки аппроксимации, который вычисляетсяпо формуле:
/>,где />
Расчет относительной ошибки аппроксимации
Таблица 4.4 t Y Предсказанное Y
/>
/> 1 5 4,58 0,42 0,08 2 7 7,21 -0,21 0,03 3 10 9,84 0,16 0,02 4 12 12,48 -0,48 0,04 5 15 15,11 -0,11 0,01 6 18 17,74 0,26 0,01 7 20 20,38 -0,38 0,02 8 23 23,01 -0,01 0,00 9 26 25,64 0,36 0,01 Сумма 45 136 0,00 0,23 Среднее 5 15,11
/>
Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит15%, точность модели считается приемлемой.
5) По построенной моделиосуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервалпрогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).
/>
/>
Воспользуемся функцией Excel СТЬЮДРАСПОБР. (рис. 4.10)
t = 1,12
Рис. 4.6
/>
Для построения интервального прогнозарассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости />, следовательно,доверительная вероятность равна 70 %, а критерий Стьюдента при /> равен 1,12.
Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:
/>,где
/>/>/> /> (находим из таблицы 4.1)
/>,
/>.
Вычисляем верхнюю и нижнюю границы прогноза (таб.4.11).
Таблица 4.5
Таблица прогнозаn +k U (k) Прогноз Формула Верхняя граница Нижняя граница 10 U(1) =0.84 28.24 Прогноз + U(1) 29.сен 27.40 11 U(2) =1.02 30.87 Прогноз — U(2) 31.89 29.85
6) Фактические значения показателя, результатымоделирования и прогнозирования представить графически.
Преобразуем график подбора (рис. 4.5), дополнив егоданными прогноза.
Рис. 4.7
/>