Задание:
1. По одному иззаданных в приложении временных рядов вычислить члены рядов скользящих среднихс периодом 3.
Решение:
Одним из важнейшихзаданий экономического анализа является изучение взаимосвязи между различнымиэкономическими явлениями. Среди многих способов изучения взаимосвязи, которыерассматриваются эконометрией, является метод сглаживания ряда динамики с использованиемскользящей средней. Суть его заключается в расчете новых значений рядадинамики, исчисленных как средние величины из его исходных значений. Цельюданного метода является определение вида функциональной зависимости междупризнаком и фактором, использование полученных расчетов для определенияпрогнозного результата. В таблице 1 приведен расчет скользящих средних спериодом 3.
Таблица 1 – Расчетскользящих средних с различными интервалами сглаживания№ п/п Месяц Значение показателя (масса прибыли), тыс. грн. Скользящая средняя с периодом 3 1 январь 6377 2 ферваль 6505 6135.33 3 март 5524 6060.33 4 апрель 6152 6062.67 5 май 6512 6015.33 6 июнь 5382 5840.67 7 июль 5628 5716.33 8 август 6139 6010.67 9 сентябрь 6265 6262.67 10 октябрь 6384 6349.00 11 ноябрь 6398 6442.33 12 декабрь 6545 6450.00 13 январь 6407 6404.00 14 февраль 6260 6402.67 15 март 6541 Итого 93019 80152.00
Для определения того,какая из скользящих средних наиболее точно отображает тенденцию, найдемвариацию ряда с учетом полученных средних. Минимум среднеквадратическогоотклонения осредненных данных и фактических уровней позволяет это сделать поприводимым ниже формулам:
/> = 608,98, /> = 1002,97, /> = 1478,8
Из расчетов видно, что минимальноеотклонение фактических данных от средней обеспечивается при использовании 2-хдневной скользящей средней. Это можно увидеть и при сравнении фактических исредних значений ряда динамики в таблице 1.
Задание:
Сгладить тенденцию ряда(тренд) по одной из аналитических кривых (прямая, степенная, экспонента,гипербола, логарифмическая) по методу наименьших квадратов.
Решение:
Между фактором ипризнаком, которые находятся в стохастической зависимости существуетзависимость, которая называется регрессионной зависимостью. Расчет параметровуравнения регрессии заключается в поиске параметров математического уравнения,наиболее точно описывающего эмпирические значения.
Зависимость результативногопоказателя от определяющих его факторов можно выразить уравнением парнойрегрессии. При прямолинейной форме она имеет следующий вид: Yх =а+bх
Если связь междурезультативным и факторным показателем носит криволинейный характер, то можетбыть использована степенная, логарифмическая, параболическая, гиперболическая идругие функции.
Наиболее распространеннойформой криволинейной зависимости является парабола второго порядка, описываемаяуравнением: Yх = а+bх +сх2
Метод наименьшихквадратов сводится к тому, чтобы определить параметры уравнения регрессии,путем решения системы уравнений:
/>
Для определениязначений, требуемых для расчета параметров уравнения регрессии по методу МНКрассчитаем исходные значения в таблице 2. Полученные расчетные параметрыподставляем в систему уравнений, решаем ее и получаем значения а, b, с дляуравнения регрессии.
/>=> />
Таким образом,полученное уравнениерегрессии имеет вид: y = 7.9367x2 — 98.544x + 6333.5
Таким образом,используя тот или инойтип математического уравнения, можно определить степень зависимости междуизучаемыми явлениями, узнать, на сколько единиц в абсолютном измененииизменяется величина результативного показателя с изменением факторного наединицу.
Коэффициент а в уравнениирегрессии — постоянная величина результативного показателя, которая не связанас изменением данного фактора. В полученном уравнении регрессии она равна 6333,5тыс. грн. Параметры b и c показывают среднее изменение результативного показателяс повышением или понижением величины факторного показателя на единицу.
Таблица 2 — Расчетныезначения для определенияпараметров уравнения регрессии
Xi
Yi
Xi2
Xi3
Xi4
Xi*Yi
Xi2*Yi 1 6377 1 1 1 6377 6377 2 6505 4 8 16 13010 26020 3 5524 9 27 81 16572 49716 4 6152 16 64 256 24608 98432 5 6512 25 125 625 32560 162800 6 5382 36 216 1296 32292 193752 7 5628 49 343 2401 39396 275772 8 6139 64 512 4096 49112 392896 9 6265 81 729 6561 56385 507465 10 6384 100 1000 10000 63840 638400 11 6398 121 1331 14641 70378 774158 12 6545 144 1728 20736 78540 942480 13 6407 169 2197 28561 83291 1082783 14 6260 196 2744 38416 87640 1226960 15 6541 225 3375 50625 98115 1471725 120 93019 1240 14400 178312 752116 7849736
Задание 3: Рассчитаем теоретические значенияуравнения регрессии и отобразим на графике эмпирическую, теоретическую исглаженную по методу средних линии трендов.
Решение:
/>/>/>/>
Рисунок 1 – Эмпирическая,теоретическая и сглаженная по методу средних (период 3) линии регрессий
Задание 4:
Вычислить корреляционныймомент и коэффициент корреляции и оценить тесноту связи элементов ряда.
Решение:
Регрессионный анализ недает ответа на вопрос: тесная связь или нет, решающее или второстепенноевоздействие оказывает данный фактор на величину результативного показателя. Дляизмерения тесноты связи между факторным и результативным показателямиисчисляется коэффициент корреляции по приводимой ниже формуле:
/>
В числителе даннойформуле находится корреляционный момент (ковариация или смешанная дисперсия).Для линейной зависимости критерием тесноты связи является коэффициенткорреляции, для криволинейной зависимости целесообразно использоватькорреляционный момент.
/>, где />, />
Среднее значениепоказателя Y определяем, как />. Поусловию задачи получаем, что /> =6201,267 тыс. грн. /> = 2040023/15 =136001,5. /> = 1553647/15 = 103576,5,тогда как /> = 0,4882
Коэффициент корреляцииможет принимать значения от -1 до 1. Чем ближе его величина к 1, тем болеетесная связь между изучаемыми явлениями, и наоборот. Считается, что есликоэффициент корреляции находится в диапазоне от 0 до 0,3 — то связь слабая, от0,3 до 0,6 — связь средняя, от 0,6 до 1 — связь сильная. По результатамподсчетов получаем, что между признаком и фактором связь средняя по силе,близка к слабой.
Коэффициент детерминации,полученный по данным формулам, составляет 0,2384. Он показывает, что показательY на 23,84% зависит от периодавремени, а на долю других факторов приходиться 76,16% изменения уровня Y.
Задание 5:
Оценить качествоаппроксимации ряда динамики по имеющимся данным.
Решение:
Чтобы убедиться внадежности показателей связи и правомерности их использования для практическойцели, необходимо дать им статистическую оценку. Для этого используются,критерий Стьюдента (t), критерийФишера (F- отношение), средняя ошибкааппроксимации (ε).
Надежность коэффициентакорреляции, которая зависит от объема исследуемой выборки данных, проверяетсяпо критерию Стьюдента:
/>,
где /> - среднеквадратическаяошибка коэффициента корреляции, которая определяется по формуле:
/>,
/> = 0,76166076/3,741657=0,2035, />
Если расчетное значение t выше табличного, то можно сделатьзаключение о то, что величина коэффициента корреляции является значимой. Табличныезначения t находят по таблице значенийкритериев Стьюдента. При этом учитывается количество степеней свободы (V = 14) и уровень доверительнойвероятности (принимаем 0,05). Табличное значение — 2,145 при числе степенейсвободы 14 и уровне значимости 0,05. Получаем, что tтабл.
Надежность уравнениясвязи (регрессионной зависимости) оценивается с помощью критерия Фишера (F-критерия), расчетная величинакоторого сравнивается с табличным значением. Если Fрасч.> Fтабл., то гипотеза об отсутствии связимежду исследуемыми показателями отвергается.
Критерий Фишерарассчитывается по формуле:
/>, />
Таким образом, полученноезначение 4,0696 больше табличного 3,57. Значимость гипотезы Н0 оботсутствии связи между исследуемыми показателями отвергается и уравнениерегрессии считается значимым.
Для оценки точности уравнениярегрессии рассчитывается средняя ошибка аппроксимации. Чем меньше теоретическаялиния регрессии (рассчитанная по уравнению) отклоняется от фактической, темменьше ее величина. А это свидетельствует о правильности подбора формыуравнения связи.
Список литературы:
1. Елейко В. Основы эконометрии: в 2хчастях. – Львов: ООО «МАРКА Лтд», 1995. – 192с.
2. Замков О.О., Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. – М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Из-во «ДИС», 1997.- 368с.
3. Савицкая Г.В. Экономический анализ:Учебник/ Г.В.Савицкая. – 9е изд., испр. –М.: Новое знание, 2004.- 640с.