Анализ временных рядов

РЕФЕРАТ
АНАЛИЗВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

План
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
1.1 ВРЕМЕННОЙ РЯД И ЕГО ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
1.2 АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА ИВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ
1.3 МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕННОГО РЯДА
1.4 МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
1.5 ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕНДА К ЛИНЕЙНОМУ ВИДУ
1.6 ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ УРАВНЕНИЯ РЕГРЕССИИ
1.7 АДДИТИВНАЯ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛИВРЕМЕННОГО РЯДА
1.8 СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
1.9 ПРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ КСТАЦИОНАРНОМУ ВРЕМЕННОМУ РЯДУ
1.10 АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ОСТАТКОВ. КРИТЕРИЙ ДАРБИНА- УОТСОНА
/>Введение
Почти в каждой областивстречаются явления, которые интересно и важно изучать в их развитии иизменении во времени. В повседневной жизни могут представлять интерес,например, метеорологические условия, цены на тот или иной товар, те или иныехарактеристики состояния здоровья индивидуума и т. д. Все они изменяются вовремени. С течением времени изменяются деловая активность, режим протеканиятого или иного производственного процесса, глубина сна человека, восприятиетелевизионной программы. Совокупность измерений какой-либо одной характеристики подобного рода втечение некоторого периода времени представляют собой временной ряд.
Совокупность существующихметодов анализа таких рядов наблюдений называется анализом временных рядов.
Основной чертой,выделяющей анализ временных рядов среди других видов статистического анализа,является существенность порядка, в котором производятся наблюдения. Если вомногих задачах наблюдения статистически независимы, то во временных рядах они,как правило, зависимы, и характер этой зависимости может определятьсяположением наблюдений в последовательности. Природа ряда и структурапорождающего ряд процесса могут предопределять порядок образования последовательности.
Цель работысостоит в получении модели для дискретного временного ряда во временнойобласти, обладающей максимальной простотой и минимальным числом параметров ипри этом адекватно описывающей наблюдения.
Получение такой модели важно по следующим причинам:
1)        она может помочьпонять природу системы, генерирующей временные ряды;
2)        управлятьпроцессом, порождающим ряд;
3)        ее можноиспользовать для оптимального прогнозирования будущих значений временных рядов;
Временные ряды лучшевсего описываются нестационарными моделями,в которых тренды идругие псевдоустойчивые характеристики, возможно меняющиеся во времени,рассматриваются скорее как статистические, а не детерминированные явления.Кроме того, временные ряды, связанные с экономикой, часто обладают заметными сезонными,или периодическими, компонентами; эти компоненты могут меняться во времени идолжны описываться циклическими статистическими (возможно, нестационарными)моделями.
Пусть наблюдаемымвременным рядом является y1, y2,… ., yn. Мы будем понимать эту запись следующим образом. Имеется Т чисел,представляющих собой наблюдение некоторой переменной в Т равноотстоящих моментоввремени. Эти моменты для удобства пронумерованы целыми числами 1, 2,… ., Т.Достаточно общей математической (статистической или вероятностной) модельюслужит модель вида:
yt =f(t) + ut, t = 1, 2,… ., T.
В этой модели наблюдаемыйряд рассматривается как сумма некоторой полностью детерминированнойпоследовательности {f(t)}, которую можно назватьматематической составляющей, и случайной последовательности {ut}, подчиняющейся некоторомувероятностному закону. ( И иногда для этих двух составляющих используютсясоответственно термины сигнал и шум). Эти компоненты наблюдаемого ряданенаблюдаемы; они являются теоретическими величинами. Точный смысл указанногоразложения зависит не только от самих данных, но частично и оттого, чтопонимается под повторением эксперимента, результатом которого являются этиданные. Здесь используется так называемая «частотная» интерпретация.Полагается, что, по крайней мере, принципиально можно повторять всю ситуациюцеликом, получая новые совокупности наблюдений. Случайные составляющие, кромевсего прочего, могут включать в себя ошибки наблюдений.
В данной работерассмотрена модель временного ряда, в которой на тренд накладывается случайнаясоставляющая, образующая случайный стационарный процесс. В такой моделипредполагается, что течение времени никак не отражается на случайнойсоставляющей. Точнее говоря, предполагается, что математическое ожидание (тоесть среднее значение) случайной составляющей тождественно равно нулю,дисперсия равна некоторой постоянной и что значения ut в различные моменты временинекоррелированны. Таким образом, всякая зависимость от времени включается всистематическую составляющую f(t). Последовательность f(t) может зависеть от некоторых неизвестных коэффициентов и отизвестных величин, меняющихся со временем. В этом случае её называют «функциейрегрессии». Методы статистических выводов для коэффициентов функции регрессииоказываются полезными во многих областях статистики. Своеобразие же методов,относящихся именно к временным рядам, состоит в том, что здесь исследуются темодели, в которых упомянутые выше величины, меняющиеся со временем, являютсяизвестными функциями t.

/>Глава 1. Анализ временных рядов/>1.1 Временной ряд и его основныеэлементыВременной ряд –это совокупность значенийкакого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодоввремени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большогочисла факторов, которые условно можно подразделить на три группы:
·         факторы,формирующие тенденцию ряда;
·         факторы,формирующие циклические колебания ряда;
·         случайныефакторы.При различных сочетаниях в изучаемомпроцессе или явлении этих факторов зависимость уровней ряда от времени можетпринимать различные формы. Во-первых, большинство временных рядовэкономических показателей имеют тенденцию, характеризующую долговременноесовокупное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя.Очевидно, что эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленноевлияние на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют еговозрастающую или убывающую тенденцию.
Во-вторых, изучаемый показатель может бытьподвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер,поскольку деятельность ряда отраслей экономики и сельского хозяйства зависит отвремени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежуткивремени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикойвременного ряда.
Некоторые временные ряды несодержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровеньобразуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой(положительной илиотрицательной) случайной компоненты.
В большинстве случаевфактический уровень временного ряда можно представить как сумму илипроизведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которойвременной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивноймоделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен какпроизведение перечисленных компонент, называется мультипликативной модельювременного ряда. Основная задача статистического исследования отдельноговременного ряда – выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленныхвыше компонент с тем чтобы использовать полученную информацию дляпрогнозирования будущих значений ряда. [5, стр.76]
 />1.2 Автокорреляция уровней временногоряда и выявление его структуры
При наличии во временномряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровняряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательнымиуровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.
Количественно её можноизмерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходноговременного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов вовремени.
Одна из рабочих формул длярасчёта коэффициента автокорреляции имеет вид:
/> (1.2.1)

В качестве переменной х мырассмотрим ряд y2, y3, …, yn; в качестве переменной у – ряд y1, y2,… ,yn– 1.Тогда приведённая выше формула примет вид:
/> (1.2.2)
где
/> />
Аналогично можно определитькоэффициенты автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициентавтокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями уtи yt– 1 иопределяется по формуле
/> (1.2.3)
где
/> />
Число периодов, по которымрассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличениемлага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции,уменьшается. Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечениястатистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило– максимальный лаг должен быть не больше (n/4).
Отметим два важных свойствакоэффициента автокорреляции.
Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентомкорреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущегои предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судитьо наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временныхрядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядкаили экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда можетприближаться к нулю.
Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать выводо возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временныхрядов экономических данных содержит положительную автокорреляцию уровней,однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.
Последовательностькоэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т. д. Порядков называютавтокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости еёзначений от величины лага (порядка коэффициента корреляции) называется коррелограммой.
Анализ автокорреляционнойфункции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляциянаиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при котором связь между текущим ипредыдущими уровнями ряда наиболее тесная, то есть при помощи анализаавтокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.
Если наиболее высокимоказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержиттолько тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляциипорядка τ, ряд содержит циклические колебания с периодичностью в τмоментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не являетсязначимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этогоряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержитсильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провестидополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции уровней иавтокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления вовременном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической,сезонной компоненты./> 1.3Моделирование тенденции временного ряда
Одним из наиболеераспространенных способов моделирования тенденции временного ряда являетсяпостроение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда отвремени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниваниемвременного ряда.
Пусть имеются следующиефактические уровни ряда:
 у1, у2,… ., уn.
Характер изменения этихуровней, то есть движения динамического ряда, может быть различным. Нашейзадачей является нахождение такой простой математической формулы, котораядавала бы возможность вычислить теоретические уровни. Основное требование,предъявляемое к этой формуле, состоит в том, что уровни, исчисленные по ней,должны воспроизводить общую тенденцию фактических уровней.
Поскольку зависимость отвремени может принимать разные формы, для ее формализации можно использоватьразличные виды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующиефункции:
·          линейный тренд: yt = a0+ a1t;
·          гипербола: yt =a0+ a1/t;
·         экспоненциальный тренд: yt = e a+ bt;
·         тренд в форме степенной функции: yt = atb;
·         парабола второго и более порядков:
yt =a0+ a1t + a2 t 2 +… +ak tk .
Аналитическое выравниваниеесть не что иное, как удобный способ описания эмпирических данных.
Общие соображения привыборе типа линии, по которой производится аналитическое выравнивание, могутбыть сведены к следующим:
1)        Если абсолютные приросты уровнейряда по своей величине колеблются около постоянной величины, то математическойфункцией, уравнение которой можно принять за основу аналитическоговыравнивания, следует считать прямую линию:
yt = a0+ a1t,
где ytсчитаетсякак у, выровненный по t.
2) Если приросты приростовуровней, то есть ускорения, колеблются около постоянной величины, то за основуаналитического выравнивания, следует принять параболу второго порядка:
yt = a0 + a1t + a2 t 2 .
Показатели а0, а1и а2 представляют собой в каждом отдельном случае выравниванияпостоянные величины, называемые параметрами: а0 –начальныйуровень; а1 – начальная скорость ряда и а2 – ускорениеили вторая скорость.
3) Если уровни изменяются сприблизительно постоянным относительным приростом, то выравнивание производитсяпо показательной (экспонентной функции):
yt = a0a1t.
В этих же целях можноиспользовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можноопределить путём сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка,рассчитанным по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной рядимеет линейную тенденцию, то его соседние уровни yt и y t–1 тесно коррелируют. В этомслучае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда долженбыть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, вформе экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмамуровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент,рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция визучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значенияуказанных коэффициентов.
При обработке информации накомпьютере выбор вида уравнения тенденции обычно осуществляетсяэкспериментальным методом, то есть путём сравнения величины остаточнойдисперсии Dост,рассчитанной при разных моделях. Имеют место отклонения фактических данных оттеоретических (у – уt). Величина этих отклонений и лежит в основе расчётаостаточной дисперсии:
/> (1.3.1)

Чем меньше величинаостаточной дисперсии, тем лучше данное уравнение подходит к исходным данным.
 
1.4 Метод наименьших квадратов
Для нахожденияаналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровнейвременного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов – методнаименьших квадратов — основан на требовании о том, чтобы суммаквадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей:
/>/>/>(у1 – у1)2 + (у2– у2)2 +… + (уn – yn)2 = S.
S должно быть наименьшим (минимальным)
Принцип, положенный воснову метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическомвиде следующим образом:
∑ (y – yt)2= min. (1.4.1)
Из курса математическогоанализа известно, что при нахождении минимума функции нужно найти частныепроизводные и приравнять их к нулю. Найдём минимум функции, используя уравнениепараболы.
Имеем:
∑ (y – yt )2 = S; (1.4.2)
заменяем:
yt =a0 + a1 t + a2 t 2
и получаем:
∑( y — a0 — a1 t — a2 t 2 )2 = S.
Находим частные производныефункции S сначала по параметру а0, а затем по а1и а2, и приравниваем их к нулю.
/>;
/>; (1.4.3)
/>.
Преобразовывая, получаем:
/> />;
 />; (1.4.4)
 />.
 
Полученная системаназывается системой нормальных уравнений для нахождения параметров а0, а1 и а2 при выравнивании по параболе второго порядка.
При выравнивании попоказательной функции yt = a0a1tпараметры а0и а1определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решениясистемы нормальных уравнений:
/> />; (1.4.5)
 />.
1.5 Приведениеуравнения тренда к линейному виду
Если тренд представляетсобой нелинейную функцию, то методы линейного регрессионного анализа для оценкиего параметров неприменимы. Но к некоторым нелинейным функциям мы можемприменить такие преобразования, которые приведут нас к линейному уравнению.
Если наш тренд представленстепенной линией регрессии, то есть он имеет вид:
yt = a0ta1,(1.5.1)
то логарифмируя обе частиравенства, получим:
ln yt= ln a0+ a1 ln t.
Отсюда видно, что, введяновые переменные
z = ln yt, x = ln t,
мы получим уравнение вида
z = b0+a1x,
где b0= ln a0.Это обычное линейноеуравнение.
Если линия тренда –парабола второго порядка
yt = a0 + a1 t + a2 t 2 ,
то заменой вида:

х1 = t, x2 = t2,
мы получим линейнуюфункцию двух переменных:
yt = a0 + a1 х1 + a2 х2 .
Оценку параметров такойфункции можно провести методами линейного регрессионного анализа длямножественной регрессии. [5, c.29]
Далее приведём основныепонятия регрессионного анализа, которые используются для оценки параметров.
 
1.6 Оценка параметров уравнения регрессии
Уравнение регрессиивсегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейнойрегрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициенткорреляции ryt. Существуют разные модификацииформулы линейного коэффициента корреляции. Некоторые из них приведены ниже:
/> , (1.6.1)
или
/>

/>. (1.6.2)
Как известно, линейныйкоэффициент корреляции находится в пределах:

 -1 ≤ ryt ≤ 1.
Следует иметь в виду, чтовеличина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связирассматриваемых признаков в её линейной форме. Поэтому близость абсолютнойвеличины линейного коэффициента корреляции к нулю ещё не означает отсутствиясвязи между признаками.
Для оценки качестваподбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициентакорреляции ryt2, называемый коэффициентом детерминации.Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признакауt, объясняемую регрессией, в общей дисперсиирезультативного признака:
/> (1.6.3)
где
/> 
общая дисперсиярезультативного признака у;
/>
остаточная дисперсия,определяемая, исходя из уравнения регрессии
уt = f(t).
Соответственно величина 1– r2 характеризует долю дисперсии у, вызванную влияниемостальных, не учтённых в модели факторов.
Уравнение нелинейнойрегрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателемкорреляции, а именно индексом корреляции R:
/> (1.6.4)
Иначе, индекс корреляцииможно выразить как
/>
Величина данногопоказателя находится в границах:
0 ≤ R ≤ 1,
чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем болеенадёжно найденное уравнение регрессии.
Парабола второго порядка,как и полином более высокого порядка, при лианеризации принимает вид уравнениямножественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменнойуравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парнойрегрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициенткорреляции, величина которого в этом случае совпадёт с индексом корреляции.
Иначе обстоит дело, когдапреобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. Вэтом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениямпризнаков даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает синдексом корреляции. Так, для степенной функции ух = ахb после перехода к логарифмическилинейному уравнению lny = lna + blnx может быть найден линейный коэффициент корреляции не дляфактических значений переменных х и у, а для их логарифмов, то есть rlnylnx. Соответственно квадрат его значениябудет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей,но не для у, а для его логарифмов:
/>.
Между тем при расчётеиндекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не ихлогарифмов. С этой целью определяются теоретические значения результативногопризнака, то есть />, как антилогарифмрассчитанной по уравнению величины /> иостаточная сумма квадратов как />.Индекс корреляции определяется по формуле
/>
В знаменателе расчёта R2yx участвует общая сумма квадратов отклоненийфактических значений у от их средней величины, а в расчёте r2lnxlny участвует ./> Соответственно различаютсячислители и знаменатели рассматриваемых показателей:
/> — в индексе корреляции и
/> — в коэффициенте корреляции.
Вследствие близостирезультатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристикитесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициенткорреляции.
Несмотря на близостьзначений R/> и r /> или R/> и r />в нелинейных функциях спреобразованием значения признака у, следует помнить, что если при линейнойзависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризуетрегрессию, как следует помнить, что если при линейной зависимости признаководин и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию как />, так и />, так как/>/>,то при криволинейной зависимости /> дляфункции y=j(x) не равен /> для регрессии x=f(y).
Поскольку в расчётеиндекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратовотклонений, то /> имеет тот жесмысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину /> для нелинейных связейназывают индексом детерминации.
Оценка существенностииндекса корреляции проводится, так же как и оценка надёжности коэффициентакорреляции.
Индекс корреляциииспользуется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессиипо F-критерию Фишера:
/>
где /> — индекс детерминации;
n – число наблюдений;
m – число параметров при переменных х.
Величина m характеризует число степеней свободыдля факторной суммы квадратов, а ( n – m — 1) – число степеней свободы дляостаточной суммы квадратов.
Для степенной функции /> m = 1 и формула F –критерия примет тот же вид, что и при линейной зависимости:
/>
Для параболы второйстепени y = a0+ a1 x + a2 x2 +εm = 2 и
/> (1.6.5)
Расчёт F-критерия можно вести и в таблицедисперсионного анализа результатов регрессии, как это было показано длялинейной функции.
Индекс детерминации можносравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применениялинейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величинакоэффициента детерминации меньше индекса детерминации. Близость этихпоказателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессиии можно использовать линейную функцию.
Практически, есливеличина разности между индексом детерминации и коэффициентом детерминации непревышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным. Впротивном случае проводится оценка существенности различия R2/>, вычисленных по одним и тем жеисходным данным, через t –критерий Стьюдента:

/> (1.6.6)
m |R — r| — ошибка разности между R2/>и r2/>, определяемая по формуле
/> 
Если tфакт >tтабл, то различия между рассматриваемыми показателями корреляциисущественны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функцииневозможна. Практически, если величина t
 
1.7 Аддитивная и мультипликативная модели временногоряда
Существуетнесколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные илициклические колебания.
Простейшийподход- расчет значений сезонной компоненты методом скользящей средней ипостроение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда. Общий видаддитивной модели следующий:
 Y= T + S + E.
Эта модель предполагает,что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведениетрендовой, сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной моделивыглядит так:
 Y = T∙S∙E.
Эта модель предполагает,что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведениетрендовой, сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моделейосуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитудаколебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, вкоторой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различныхциклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строятмультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда взависимость от значений сезонной компоненты.
Построение аддитивной имультипликативной моделей сводится к расчету значений трендовой, циклической ислучайной компонент для каждого уровня ряда.
Процесс построения моделивключает в себя следующие шаги.
1.        Выравниваниеисходного ряда методом скользящей средней.
2.        Расчет значенийсезонной компоненты.
3.        Устранениесезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ваддитивной или мультипликативной модели.
4.        Аналитическоевыравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученногоуравнения тренда.
5.        Расчет полученныхпо модели значений или
6.        Расчет абсолютныхи относительных ошибок.
Если полученные значенияошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и вдальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходногоряда и других временных рядов.[5, c. 67]

/>1.8 Стационарные временные ряды
После удаления тенденции(тренда) из временного ряда мы получим стационарный временной ряд. Егоможно рассматривать как выборку Т последовательных наблюдений через равныепромежутки времени из существенно более продолжительной (генеральнойпоследовательности случайных величин. При этом статистические выводы делаютсяотносительно вероятностной структуры генеральной последовательности. Такуюпоследовательность удобно считать простирающейся неограниченно в будущее и,возможно, в прошлое. Последовательность случайных величин у1, у2,… или… ., у-1, у0, у1,… называетсяслучайным процессом с дискретным параметром времени.
Несмотря на полнуюпроизвольность вероятностных моделей последовательностей случайных величин,полезно отличать случайные процессы от множества случайных величин этогопроцесса, учитывая понятие времени. Грубо говоря, в случайном процессенаблюдения, разделённые небольшими промежутками времени, близки по значениям вотличие от наблюдений, далеко отстоящих друг от друга во времени. Более того,модель значительно упрощается после расширения конечной последовательностинаблюдений до бесконечной.
Одним из таких упрощенийявляется свойство стационарности. Будем считать, что поведение множестваслучайных величин с вероятностной точки зрения не зависит от времени.
Случайный процесс y(t) с непрерывным параметром времени можно определить для 0 ≤t
Наблюдение процесса,часто называемое реализацией, есть точка в соответствующембесконечномерном пространстве, где определена вероятностная мера. Вероятностьопределяется на некоторых множествах, называемых измеримыми. Этот классмножеств включает вместе с любым множеством его дополнение, а также объединениеи пересечение счётного числа множеств этого класса; вероятностная мера на этомклассе множеств определяется таким образом, что вероятность объединениянепересекающихся множеств равна сумме вероятностей отдельных множеств.
Практически мыинтересуемся вероятностями, которые связаны с конечным числом случайныхвеличин. Эти вероятности включают в себя функцию совместного распределения.[24, c. 88] /> 1.9Применение быстрого преобразования Фурье к стационарному временному ряду
 Одно из назначенийпреобразования Фурье- выделять частоты циклических составляющих временногоряда, содержащего случайную компоненту.
Пусть число данных N представимо в виде N = N1 N2. Тогда можно записать
 t = t1 + (t2-1)N1, t1 = 1,… ., N1, t2= 1,… ., N2 ;
 j = j1 + j2N2, j1 = 0,… ., N2 – 1, j2= 0,… ., N1 — 1;
Отметим, что aN– j = aj и bN– j = — bj. Искомые коэффициенты являютсясоответственно действительной и мнимой частями суммы:
/>
 (1.9.1)

 />
Для их отыскания вычислимсначала величины
 />
 />
Для каждой пары ( j1, t1 ), j1 = 0,… ., N2 – 1 и t1 = 0,… ., N1. Поскольку
/> и /> ,
то существует около N1N2/2 = N/2 такихпар. После этого находятся действительная и мнимая части суммы (1.9.1):
 /> 
 /> 
для j = 0,1,… ., [N/2]. Число операций умноженияприближённо равно N2N в первых суммах и 2N1N во вторых суммах, так что число операций умножения в целомсоставляет примерно N (N2 + 2N1). В то же время число произведений вопределении коэффициентов aj и bj, j=0,1,… ., [N/2]примерно равно N2. [20, c.98], [21, c.78]

/>1.10 Автокорреляция остатков.Критерий Дарбина- Уотсона
Для каждого момента(периода) времени t = 1: N значение компоненты et для аддитивной модели определяетсякак
 />,
где /> — сумма циклической и трендовой компонент, адля мультипликативной модели:
 />
где /> — произведение циклической и трендовой компонент.
 Ошибки измерений намнеизвестны, а известны лишь эмпирические остатки.
Рассматриваяпоследовательность остатков как временной ряд, можно построить график ихзависимости от времени. В соответствии с предпосылками метода наименьшихквадратов остатки etдолжныбыть случайными. Однако при моделировании временных рядов частовстречаются ситуация, когда остатки содержат тенденцию или циклическиеколебания. Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатковзависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляцииостатков.
Автокорреляция остатковможет быть вызвана следующими причинами, имеющими различную природу. Во-первых,иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения взначениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причинуавтокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может невключать фактор, существенное воздействие на результат, влияние которогоотражается в остатках, вследствие чего последние могут оказатьсяавтокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве такихсущественных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включённых вмодель.
Либо модель не учитываетнесколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результатсущественно в виду совпадения тенденций их изменения или фаз циклическихколебаний.
Существует два наиболеераспространённых метода определения автокорреляции остатков. Первый метод – этопостроение графика зависимости остатков от времени и визуальное определениеналичия или отсутствия автокорреляции. Второй метод – использование критерияДарбина – Уотсона.
Дж. Дарбин и Г. Уотсонпостроили таблицы, дающие нижние и верхние пределы порогов значимости. Этитаблицы достаточны для большинства конкретных ситуаций. Рассмотрим логическиеоснования критерия .
Выражение
 /> (1.10.1)
представляет собой«отношение фон Неймана», применённое к остаткам оценки. Этот критерий имеетэффективность аналогичную таковой для критерия r1, первого коэффициента автокорреляции остатков. Из предыдущейглавы известно, что этот критерий будет особенно мощным, если ошибки следуютавторегрессинному процессу первого порядка. Таким образом, он, по-видимому,хорошо приспособлен для экономических моделей.
Значение d в выборке зависит одновременно отпоследовательности zt и отзначений et( для t = 1,2,… ,N).Однако Дарбин и Уотсон показали, что для заданных значений etзначение d обязательно заключено между двумя границами dU и dL, не зависящими от значений, принимаемых zt, и являющимися функциями лишь чиселN, именно dL £ d £ dU.
Для некоторых значенийпоследовательности zt границы dU и dLмогут достигаться. Интервал [dL ,dU]является, следовательно, наименьшим из возможных, если не принимать во вниманиеточные значения zt.
Границы dU и dLпредставляют случайные величины, распределение которыхможно определить с помощью точных гипотез относительно распределения et.
Для практическогоиспользования таблицы полученное значение d* следует сравнить с d1 и d2.
а) Если d*
б) Если d* > d2, то вероятность столь малого значения наверняка больше a. Гипотеза независимости неотбрасывается.
в) Если d1 £ d* £ d2, то приведённые таблицы оставляютвопрос открытым. Возможно, что гипотезу независимости при уровне значимости a следует отбросить. Однако этогонельзя узнать без изучения закона распределения вероятностей dдля последовательности переменных zt. Практически в этом случае частодовольствуются указанием на то, что значение d* попадает в область неопределённости критерия.
В настоящее время принятоприводить значение d* вместе с регрессиями для временныхрядов и указывать на расположение этого значения относительно d1 и d2 .
Есть несколькосущественных ограничений на применение критерия Дарбина – Уотсона.
Во-первых, он неприменимк моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значениярезультативного признака, то есть к моделям авторегрессии. Для тестирования наавтокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.
Во-вторых, методикарасчёта и использования критерия Дарбина — Уотсона направлена только навыявление автокорреляции остатков первого порядка. При проверке остатков наавтокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.
В-третьих, критерийДарбина – Уотсона даёт достоверные результаты только для больших выборок.