Решение контрольной работы по эконометрике
Используя данные Федеральнойслужбы государственной статистики России (за двенадцать месяцев) из периода2004 — 2005гг., следует:1. Оценить влияние факторов (X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8) на изучаемый показатель (Y)и друг на друга с помощью коэффициентов линейной корреляции
Таблица 1. в% к предыдущему периоду индексы цен платных услуг индексы цен производителей добыча полезных ископаемых обрабатывающие производства производство и распределение электроэнергии газа и воды индексы тарифов на грузовые перевозки железнодорожный транспорт автомобильный транспорт трубопроводный транспорт
Y
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8 ицпу пр дпи оп прэгв гп жт ат тт июл.04 101,3 101,2 102,9 100,7 100,1 102,1 100 101,3 105 авг.04 101 101,8 103,9 101,4 100,2 100,2 100 100,4 100 сен.04 100,6 103,1 105 103,1 100 100,3 100 101,9 100,6 окт.04 101,2 101,8 103,6 101,4 99,9 95,4 100 101,5 87,4 ноя.04 100,8 102 104,5 101,5 100 100,7 100 101,9 101,1 дек.04 101 100,1 100,8 99,8 99,9 102,1 100 100,6 105,8 янв.05 108,8 100,5 95,7 100,9 104,9 113,9 108,8 103,2 122,6 фев.05 102,2 101,3 98,4 100,9 106,3 100,1 100 100,8 100,1 мар.05 101,2 102,5 109,6 101 100,3 100 100 100,3 99,9 апр.05 100,8 102,5 108,9 101,1 100,3 103,5 100 101 107,7 май.05 100,8 102,7 109,7 101 100,1 100,3 100 100,5 100 июн.05 100,9 100,1 99,3 100,3 100,1 101,7 100 100,6 103,7
Коэффициент линейной корреляции,с помощью которого можно оценить влияние факторов (X1,X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8) на изучаемый показатель (Y)и друг на друга, вычисляется по формуле:
/>,
где /> -среднее квадратическое отклонение фактора />.
/> -среднее квадратическое отклонение изучаемого показателя />. Если />=0, то факторы не могутвлиять на изучаемый показатель, так как связь между ними будет отсутствовать. Чемближе /> к 1, тем сильнее связьмежду факторами и изучаемым показателем. Рассмотрим сначала как влияет X1 на изучаемый показатель Y.Произведем предварительные расчеты в таблице:
Таблица 2.
/>
/>
/>
/>
/> июл.04 101,3 101,2 10251,56 10261,69 10241,44 авг.04 101 101,8 10281,8 10201 10363,24 сен.04 100,6 103,1 10371,86 10120,36 10629,61 окт.04 101,2 101,8 10281,6 10241,44 10363,24 ноя.04 100,8 102 10281,6 10160,64 10404 дек.04 101 100,1 10110,1 10201 10020,01 янв.05 108,8 100,5 10934,4 11837,44 10100,25 фев.05 102,2 101,3 10352,86 10444,84 10261,69 мар.05 101,2 102,5 10373 10241,44 10506,25 апр.05 100,8 102,5 10332 10160,64 10506,25 май.05 100,8 102,7 10352,16 10160,64 10547,29 июн.05 100,9 100,1 10100,09 10180,81 10020,01 Сумма 1220,6 1219,6 124023,03 124211,94 123963,3 Среднее значение 101,71667 101,6333 10336,96666 10350,995 10330,27
/>
Из таблицы находим среднееквадратическое отклонение фактора />:
/>=/>=0,9679876;
среднее квадратическоеотклонение изучаемого показателя />:
/>=/>=2,1718655.
Полученные значения подставляемв формулу:
/>=/>=-0,41056
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,3 ≤ />=/> ≤0,7. Это говорит отом, что связь между изучаемым показателем (Y) ифактором />умеренная.
Аналогично оценивается влияниеостальных факторов на изучаемый показатель (Y).
/>=/>
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,3 ≤ />=/> ≤0,7. Это говорит отом, что связь между изучаемым показателем (Y) ифактором Х2 умеренная.
/>=/>/>
Коэффициент линейной корреляцииравен />=/>
/>=/>/>
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,3 ≤ />=/> ≤0,7. Это говорит отом, что связь между изучаемым показателем (Y) ифактором Х4 умеренная.
/>
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,7 =/> Это говорит о том, чтосвязь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х5близка к линейной (тесная).
/>
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,7 =/> Это говорит о том, чтосвязь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х6близка к линейной (тесная).
/>
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,7 =/> Это говорит о том, чтосвязь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х7близка к линейной (тесная).
/>
Коэффициент линейной корреляцииравен 0,7 =/> Это говорит о том, чтосвязь между изучаемым показателем (Y) и фактором Х8близка к линейной (тесная).
Влияние факторов друг на другарассчитывается аналогично. Все полученные данные представим в таблице.
Таблица 3. Y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 Y 1 X1 -0,41056 1 X2 -0,62049 0,817335 1 X3 -0,14167 0,750202 0,304572 1 X4 0,684791 -0,31544 -0,63666 -0,13627 1 X5 0,863179 -0,39974 -0,4795 -0,21126 0,494364 1 X6 0,984045 -0,36981 -0,55741 -0,09167 0,560132 0,89804 1 X7 0,719717 -0,08272 -0,45151 0,36154 0,360766 0,610648 0,762909 1 X8 0,752448 -0,40384 -0,42926 -0,26069 0,440197 0,978356 0,790727 0,493109 1
Из свойств корреляции известно,что если />> 0, то связь прямая (/>); если />). Факторы (Х1), (Х3), (Х2)имеют обратную связь с ицпу, то есть если индекс цен платных услуг растет, онипадают, и наоборот. Факторы (Х4), (Х5), (Х6), (Х7), (Х8) имеют прямую связь синдексом цен платных услуг (вместе с ним растут или падают).
Самая сильная связь наблюдаетсямежду индексом цен платных услуг и железнодорожным транспортом. Самая слабаясвязь наблюдается между обрабатывающим производством и производством ираспределением электроэнергии, газа и воды.
2. Используя процедуру выбора факторов, предложить и построить линейныерегрессионные модели изучаемого показателя. Оценить качество моделей
При процедуре выбора факторовдолжны выполняться следующие условия:
Факторы должны бытьколичественно измеримы или допускать кодировку. В нашем случае это условиевыполняется.
Факторы должны «объяснять»поведение изучаемого показателя согласно принятым положениям экономическойтеории. Это должно подтверждаться индексами корреляции факторов с показателями.Это условие тоже выполняется, так как для всех факторов индексы корреляциирассчитаны.
Факторы не должны находиться вточной функциональной связи (допустим, коллинеарной). Включение в модельфакторов с индексами корреляции, близкими по модулю к единице может привести кнежелательным последствиям:
1) факторы будут дублироватьдруг друга, и будет затруднена экономическая интерпретация параметров модели;
2) система уравнений дляопределения параметров может оказаться плохо обусловленной и повлечьненадежность полученных уравнений регрессии т нежелательность их использованиядля анализа и прогноза.
При наличии корреляции ≥0,7между факторами один из них следует исключить. Оставить рекомендуется тот,который при достаточно тесной связи с показателем имеет более слабую связь сдругими факторами.
Рассмотрим таблицу 3, используяметод исключения, отберем факторы для построения регрессионных моделей. Так каксвязь между факторами должна быть слабой, исключим все факторы, коэффициенткорреляции которых больше или равен по модулю 0,3. Для построения моделиоставляем факторы сильно или умеренно влияющие на данный показатель, то естькоэффициент корреляции должен быть больше или равен 0,3.
Следующее необходимое условиепри построении регриссионных моделей: Число включаемых факторов должно в 6 разменьше объема наблюдений, по которым строится регрессия. N-числонаблюдений в нашем случае равно 12. Тогда m ≤ />, тоесть m=1 или m=2.
Число параметров при факторах влинейной модели совпадают с их количеством: m=p.
Итак, можно предложить следующиерегрессионные модели:
1. />
2. />.
3. />.
Используя инструмент РЕГРЕССИЯ,оценим 1 модель.
1 этап. Оценка значимости моделив целом.
Таблица 4. ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика Множественный R 0,985324602 R-квадрат 0,970864572 Нормированный R-квадрат 0,963580715 Стандартная ошибка 0,453164887 Наблюдения 11 Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F Регрессия 2 54,74441 27,3722 133,289901 0,00000072 Остаток 8 1,642867 0, 205358 Итого 10 56,38727
Модель линейной регрессии с двумя фактором Х1 и X6 значима в целом согласно F-критерию (F=133,2899) с приемлемым уровнем значимости 0,00000072 ≤ 0,05
Итак, получаем модель
/>
Коэф-ты
Станд. ошибка
t-стат.
P-Значение
Y-пересечение 27,18887556 17,92439 1,516864 0,16777466 Х1 -0,1220023 0,146648 -0,83194 0,42957614 Х6 0,86279739 0,058131 14,84242 0,000000418
Согласно критерию Стьюдента 2параметра модели a=27,18 и />=-0,122незначимы с приемлемыми уровнями />>0,05и />>0,05. Следовательно,эта модель неудачна и не может быть использована к анализу и прогнозу индексацен платных услуг. Следует изменить спецификацию модели (необходимо убратьфактор Х1).
Используя инструмент РЕГРЕССИЯ,оценим 2 модель.
1 этап. Оценка значимости моделив целом.
Таблица 5. ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика Множественный R 0,984045 R-квадрат 0,968344 Нормированный R-квадрат 0,964827 Стандартная ошибка 0,445346 Наблюдения 11 Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F Регрессия 1 54,60227273 54,60227 275,3055768 0,0000000468 Остаток 9 1,785 0, 198333 Итого 10 56,38727273
Модель линейной регрессии с фактором X6 значима в целом согласно F-критерию (F=275,306) с приемлемым уровнем значимости 0,0000000468 ≤ 0,05
Итак, получаем модель
/>
2 этап. Оценка параметров модели.
Коэф-ты
Станд. ошибка
t-стат.
P-Значение
Y-пересечение 12,98182 5,351909883 2,425642 0,038255004 X6 0,880682 0,05307763 16,59233 0,0000000468
Согласно критерию Стьюдента 2параметра модели a=12,98 и b=0,88значимы с приемлемыми уровнями />
3 этап. Проверка наличиянеобходимых свойств у остатка модели.
Таблица 6. ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение
Предсказанное Y
Остатки
Стандартные остатки 1 101,05 -0,05 -0,118345267 2 101,05 -0,45 -1,065107404 3 101,05 0,15 0,355035801 4 101,05 -0,25 -0,591726335 5 101,05 -0,05 -0,118345267 6 108,8 0,00000000000132 0,000000000003128 7 101,05 1,15 2,721941143 8 101,05 0,15 0,355035801 9 101,05 -0,25 -0,591726335 10 101,05 -0,25 -0,591726335 11 101,05 -0,15 -0,355035801
График 1.
/>
Проверяем случайность остатковПервое, что требуется, это чтобы график остатков располагался в горизонтальнойполосе, симметричной относительно оси абсцисс. Согласно предпосылкам МНК возмущениедолжно быть случайной величиной с нулевым математическим ожиданием. Это имеетместо для получения однофакторной регрессии. График остатка (возмущения, ошибки)располагается в горизонтальной полосе. Имеется большое количество локальных экстремумов(максимумов и минимумов). />-значитостатки случайные.
Согласно следующей предпосылкеостатки должны быть равноизменчивы. Для проверки этой предпосылки используем в Microsoft Excelинструмент «Среднее значение».
/> />
/>-0,000000000000006/>.
Проверка на гомоскедастичностьпо методу Гольдфельда-Квандта невозможна, так как недостаточно наблюдений (должнобыть n>12m) /
Проверим отсутствиеавтокорреляции остатков. Для этого чаще всего используют критерий ДарбинаУотсона (d-критерий):
/>.
/>находитсяв Microsoft Excelпри помощи инструмента «СУММКВРАЗН»
/>=3,215
/>,берется из таблицы 4.1 «SS»/ «остаток»
/>1,785
d=/>.
Критерий Дарбина Уотсона (d-критерий): n=12, m=1,/>, dl=0,97,du=1,33
I dl II du III IV 4-du V 4-dl VI
/> 0 0,97 1,33 2 2,67 3,03 4
d=1,801/>III,IV. Значит нет оснований отклонить предположение оботсутствии автокорреляции соседних остатков по d-критериюс уровнем значимости />.
Следующее необходимое условие: остаткидолжны иметь распределение Гаусса. можно ограничиться критерием размахов (RS — критерий).
/>.
/>-стандартная ошибка модели
/>=0,445346.
/>находитсяв Microsoft Excelпри помощи функции «МАКС».
/>=1,15.
/> находитсяв Microsoft Excelпри помощи функции «МИН».
/>=-0,45.
RS=3,59
Критерий размахов, RS — критерий: n=12, α=0,05, a=2,8, b=3,91.
Если a
2,8
Вывод: Все предпосылкирегрессионного анализа выполняются с уровнем α =0,05.Значит модель успешно прошла проверку оценки ее качества.
Используя инструмент РЕГРЕССИЯ,оценим 3 модель.
1 этап. Оценка значимости моделив целом.
Таблица 7. ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика Множественный R 0,863178866 R-квадрат 0,745077754 Нормированный R-квадрат 0,71675306 Стандартная ошибка 1,263784889 Наблюдения 11 Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F
Значимость F Регрессия 1 42,01290252 42,0129 26,30488273 0,000620555 Остаток 9 14,37437021 1,597152 Итого 10 56,38727273
Модель линейной регрессии с фактором X5 значима в целом согласно F-критерию (F=26,304) с приемлемым уровнем значимости 0,0000000468 ≤ 0,05
Итак, получаем модель
/>
Коэф-ты
Станд. ошибка
t-стат.
P-Значение
Нижние 95% Y-пересечение 55,68196551 8,991138974 6, 192982 0,00016021 35,34258057 Х5 0,453226954 0,088368512 5,128829 0,000620555 0,253323338
Согласно критерию Стьюдента 2параметра модели a=55,68 и b=0,453значимы с приемлемыми уровнями />
3 этап. Проверка наличиянеобходимых свойств у остатка модели.
Таблица 8. ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение
Предсказанное 101,3
Остатки
Стандартные остатки 1 101,0953062 -0,095306249 -0,079492648 2 101,1406289 -0,540628945 -0,450925589 3 98,91981687 2,280183127 1,901845857 4 101,3219197 -0,521919726 -0,43532068 5 101,9564375 -0,956437461 -0,797741462 6 107,3045155 1,495484488 1,247347611 7 101,0499836 1,150016446 0,959201034 8 101,0046609 0, 195339141 0,162927675 9 102,5909552 -1,790955196 -1,493792616 10 101,1406289 -0,340628945 -0,284110403 11 101,7751467 -0,87514668 -0,729938779
График 2.
/>
Проверяем случайность остатков. Согласнопредпосылкам МНК возмущение должно быть случайной величиной с нулевымматематическим ожиданием. Это имеет место для получения однофакторной регрессии.График остатка (возмущения, ошибки) располагается в горизонтальной полосе. Имеетсябольшое количество локальных экстремумов (максимумов и минимумов). />-значит остатки случайные.
Согласно следующей предпосылкеостатки должны быть равно изменчивы. Для проверки этой предпосылки используем вMicrosoft Excelинструмент «Среднее значение».
/> />
/>-0,0000000000000026/>.
Проверка на гомоскедастичностьпо методу Гольдфельда-Квандта невозможна, так как недостаточно наблюдений (должнобыть n>12m) /
Проверим отсутствиеавтокорреляции остатков. Для этого чаще всего используют критерий ДарбинаУотсона (d-критерий):
/>.
/>находитсяв Microsoft Excelпри помощи инструмента «СУММКВРАЗН»
/>=29,573
/>,берется из таблицы 4.1 «SS»/ «остаток»
/>14,374
d=/>.
Критерий Дарбина Уотсона (d-критерий): n=12, m=1,/>, dl=0,97,du=1,33
/> I dl II du III IV4-du V 4-dl VI
0 0,97 1,33 2 2,67 3,03 4
d=2,057/>III,IV. Значит нет оснований отклонить предположение оботсутствии автокорреляции соседних остатков по d-критериюс уровнем значимости />. Следующеенеобходимое условие: остатки должны иметь распределение Гаусса. можноограничиться критерием размахов (RS — критерий).
/>.
/>-стандартная ошибка модели
/>=1,263784889.
/>находитсяв Microsoft Excelпри помощи функции «МАКС».
/>=.2,280183127
/> находитсяв Microsoft Excelпри помощи функции «МИН».
/>=-1,790955196
RS=3,22138
Критерий размахов, RS — критерий: n=12, α=0,05, a=2,8, b=3,91.
Если a
2,8
Вывод: Все предпосылкирегрессионного анализа выполняются с уровнем α =0,05.Значит модель успешно прошла проверку оценки ее качества.3. Предложить модели тренда изучаемого показателя. Оценить качество моделей
Линейный тренд у показателясвязан с ситуацией, когда наибольшим является коэффициент автокорреляциипервого порядка.
/>>0,7,при это />, где a,b/>R.
При выборе модели тренда нельзявыбирать функцию тренда с числом параметров при факторе время больше шестойчасти n, то есть m>/>.
Существует несколько видовтренда (линейный, полиномиальный, степенной, логарифмический, гиперболический).Из них необходимо выбрать наилучший вид тренда.
Построим графики основных типовтренда. Для выявления наилучшего уравнения тренда определим параметры трендов. Результатырасчетов представим в таблице 9. Согласно, данным этой таблицы наилучшеймоделью тренда является полиномиальный тренд, для которого значениекоэффициента детерминации наиболее высокое.
График 3. Линейный тренд.
/>
График 4. Полиномиальный тренд.
/>
График 5. Степенной тренд.
/>
График 6. Экспоненциальный тренд.
/>
Таблица 9. Тип тренда Уравнение
/> Линейный
/>/> 0,0016 Полиномиальный
/> 0,1371 Степенной
/> 0,0125 Экспоненциальный
/> 0,0016
Итак, рассмотрим модель тренда/>. Но у показателя Y явно нет никакой тенденции (тренда), так как для /> />=0.1371
4. Используя значимые в целом ипо параметрам модели (с приемлемым уровнем значимости), для которых выполняютсявсе предпосылки метода наименьших квадратов (свойств остатков), получитпрогнозы изучаемого показателя на два следующих месяца.
Модели />, /> значимы в целом и попараметрам и для них выполняются все предпосылки МНК. По этим моделям можностроить прогнозы изучаемого показателя. Различают точечный и доверительныйпрогнозы показателя. Точечный прогноз получают путем подстановки в уравнениерегрессии значения фактора x, и он имеет нулевуювероятность. Этот прогноз полезен при формировании доверительного прогноза.
Пусть в модели /> Х5 в последующих два будетувеличиваться на столько на сколько и в прошлом месяце 1,7% (в% к предыдущемупериоду). Значит Х5 в следующем периоде уменьшится на 1%.
/>1,017*101,69/>103,41
/>55,68+0,453*103,41=102,52.
Доверительная вероятность равна95%
/>
где />
/>
/>=1,59,/>=0,55, тогда
102,52-5,12*0,55≤/>≤102,52+5,12*0,55
99,704≤/>≤105,33.
4. Сравнить полученные прогнозы показателей с фактическими данными
Получили, что в последующих двухмесяцах изучаемый показатель будет колебаться в интервале от 99,704 до 105,33.
В июле />0,99*101,69/>100,67
/>55,68+0,453*100,67=101/>100,9 (как и фактическиеданные).
В августе/>0,98*101,69/>99,65
/>55,68+0,453*99,65/>100,82 (как и фактическиеданные)