САМОСТІЙНАРОБОТА
здисципліни «Економетрія»
натему: «Лагові моделі. Метод Койка, Ш. Альмона»
2006
У регресійномуаналізі, якщо регресійна модель включає не лише поточні, а й попередні(лагові, або затримані) значення незалежних змінних (х), вона має назвудистрибутивно-лагова модель. Ця модель має вигляд:
/>. (1.1)
/>. (1.2)
В економіці рідкотрапляється миттєва залежність змінної y (залежної змінної) від іншоїнезалежної змінної (змінних) х. Дуже часто значення у змінюється черезневеликий проміжок часу після зміни значення х. Такий проміжок часу називаєтьсячасовим лагом.
Оцінкапараметрів дистрибутивно-лагових моделей
Якщо припустити,що дистрибутивно-лагові моделі відіграють важливу роль в економіці, як можнаоцінити параметри такої моделі? Нехай ми маємо таку дистрибутивно-лагову модельз однією пояснювальною змінною:
/>, (1.3)
Де ми невизначаємо довжину лагу. Така модель має назву нескінченна (лагова) модель,тоді як модель типу (1.2) називається скінченною дистрибутивно-лаговою моделлю,оскільки в ній визначена довжина лагу k. Надалі будемо використовувати модель(1.3) як загальний випадок. Оцінити невідомі параметри α і βів моделі (1.3) можна за двома способами: послідовного оцінювання та апріорногооцінювання, припускаючи, що βі мають певну систематичну закономірність.
ПідхідКойка до дистрибутивно-лагових моделей
Койк запропонувавдосить цікавий метод оцінки дистрибутивно-лагових моделей. Припустимо, мипочинаємо з дистрибутивно-лагової моделі з невизначеним лaгом (/>). Припускаючи, що βімають той самий знак, Койк припустив також, що вони змінюються вгеометричній прогресії:
/> k = 0, 1, …, (1.4)
де λ такі,що 0 )– швидкість пристосування. Співвідношення (1.4)показує, що кожнийнаступний коефіцієнт βменший, ніж попередній (оскільки λ. Чимближче значення λдо 1, тим повільніший темп зменшення βк,а чим ближче він до 0, тим швидше спадає βк. Упопередньому випадку віддалені в минулому значення х досить сильновпливали на уt,тоді як унашому випадку їхній вплив на уt швидко зменшується. Це добре видно в табл. 1.1.
Таблиця 1.1λ βо
β1
β2
β3
β4
β5
β10 0.75 βо 0.75βо 0.56 βо 0.42 βо 0.32 βо 0.24 βо ... 0.06 βо 0.25 βо 0.25 βо 0.06 βо 0.02 βо 0.004 βо 0.001 βо …
Слід зазначити,що метод Койка має такі переваги:
— припускаючи, щоλ можуть бути від'ємними, Койк абстрагувався від зміни знака коефіцієнтапри βі;
— завдяки тому, щоλ
— сума βі,яка складає довгостроковий мультиплікатор, є скінченною, тобто
/>. (1.5)
як результат (1.4),модель з кінцевим лагом (1.5) можна записати таким чином:
/>. (1.6)
Як бачимо, модель(1.6) також незручна для оцінки, оскільки залишається дуже велика (фактичнонескінченна) кількість оцінюваних параметрів, крім того, параметр λвходить до моделі в нелінійній формі: тобто метод лінійної (за параметрами)регресії не можна застосувати до цієї моделі. Але Койк пропонує модифікованийметод, який полягає в тому, що в модель (1.6) вводиться затримка на один період.Виходячи з цього, модель записується таким чином:
/>. (1.7)
Далі помножуємо (1.7)на λ і отримаємо:
/>. (1.8)
Віднявши (1.8)від (1.6), маємо:
/>, (1.9)
або
/>, (1.10)
де />. Ця процедура відома як перетворенняКойка. Порівнюючи (1.10) з (1.3), бачимо надзвичайне спрощеннямоделі. Якщо раніше нам треба було оцінювати параметр αλ танескінченну кількість параметрів βі, тепер достатньооцінити лише три змінних: α,βо і λ, тобтонемає причин очікувати мультиколінеарність. Фактично ми позбулисьмультиколінеарності заміною хt-1, хt-2… на одну змінну, тобто уt-1.
Зазначимо деякіособливості трансформації Койка.
1. Трансформація Койкапереводить дистрибутивно-лагову модель в авторегресивну, оскільки середнезалежних змінних залишається уt-1.
2. Поява уt-1може спричинити ряд статистичнихпроблем: уt-1, як і уt, — стохастична; це означає,що в модель мивводимо стохастичну змінну.
3. У початковіймоделі (1.3) помилка дорівнювала εt, а в перетвореній />. Тепер статистичнівластивості υtзалежать від статистичних властивостей εt.
4. Наявністьлагового значення у порушує одне з припущень d-тесту Дарбіна-Уотсона.Отже, нам потрібно розробити альтернативу для тестування серійної кореляції прилаговому у. Цією альтернативою є h-тестДарбіна.
ПідхідШ. Альмона до дистрибутивно-лагових моделей: поліноміальний лаг Альмона
Хочадистрибутивно-лагова модель Койка широко використовується на практиці, вонабазується на припущенні, що коефіцієнти βспадають у геометричнійпрогресії в міру зростання довжини лагу. Це припущення може бути занадто строгиму деяких ситуаціях, і схема дистрибутивно-лагових моделей Койка не спрацює. Ускладніших випадках параметри βіможна виразити якфункцію від і, тривалості лагу (часу) і підібрати відповідні криві, яківідображатимуть цю функціональну залежність. Саме цей підхід і запропонований Ш.Альманом.Щоб проілюструвати його метод, повернемося до скінченної дистрибутивно-лаговоїмоделі:
/>. (1.11)
ЇЇ можна записатив більш компактному вигляді:
/>. (1.12)
Відповідно до теоремиВеєрштрассаАльмон припустив, що βі можнаапроксимувати поліномом відповідного ступеня від і, тривалості лагу. Наприклад:
/>. (1.13)
Щоб пояснити, як працюєсхема Альмона, припустимо, що βізмінюються такимчином, що можна обрати поліноміальну апроксимацію другого ступеня (виглядзалежності краще за все обирати за зовнішнім виглядом графіка залежностівеличини параметра від лагу). Підставляючи (1.13) до (1.12), отримаємо:
/>. (1.14)
Визначаючи
/> (1.15)
можна переписати(1.14) як
/>. (1.16)
У моделі Альмона узалежить від штучно створених змінних Z, а не від початкових зміннихх. Зауважимо, що (1.16) можна оцінити за звичайним методом найменшихквадратів. Оцінки αі аі, отримані таким чином,матимуть усі бажані статистичні властивості, якщо випадкова величина εtзадовольнятиме припущенням класичноїмоделі лінійної регресії. З цього боку модель Альмона має чітку перевагу передмоделлю Койка
Передзастосуванням методу Альмона потрібно вирішити такі практичні проблеми.
1. Максимальнатривалість лагу k має бути визначена заздалегідь. Це найголовнішийнедолік методу Альмона. Дослідник повинен визначити найпридатнішу тривалістьлагу. На практиці, звичайно, припускають, що k достатньо мала.
2. Визначивши k,треба також визначити ступінь полінома т. В загальному випадкуступінь полінома має бути принаймні на одиницю більший за кількість точокекстремума кривої, що показує залежність βівід і. Тобтозаздалегідь потрібно знати кількість точок екстремуму, таким чином, вибір т євеликою мірою суб'єктивним. Але в деяких випадках теорія може допомогти знайтипотрібний вигляд кривої. На практиці припускають, що за допомогою поліноманизького ступеня (скажімо, т дорівнює 2 або 3) можна отримати добрірезультати. Якщо ми обрали певне значення т і хочемо з'ясувати, чи небуде кращим поліном вищого ступеня, потрібно діяти таким чином.
Переваги методуАльмона:
1) по-перше, вінзабезпечує гнучкий спосіб залучення до моделі цілого ряду лагових структур, утой час як модель Койка досить суворо вимагає від коефіцієнтів βіщоб вони спадали в геометричній прогресії.
2) по-друге, навідміну від методу Койка, в моделі Альмона не потрібно турбуватися про те, щосеред пояснювальних змінних є залежні, а отже, ми позбавляємось проблем, якіможуть виникнути у зв'язку з цим.
3) нарешті, якщообрано поліном досить низького ступеня, кількість оцінюваних коефіцієнтів (аі)буде набагато менша, ніж початкова кількість їх (βі).
Тепер повернемосьдо проблем, пов'язаних із застосуванням методу Альмона. По-перше, ступіньполінома, як і максимальне значення лагу, обирається дуже суб'єктивно.По-друге, з причин, зазначених вище, змінні Z можуть бутимультиколінеарними. Для ілюстрації методу Альмона розглянемо ілюстративнийприклад
Додатковівластивості методу Альмона.
1.Стандартні помилки коефіцієнтіва отримані безпосередньо з методу найменших квадратів, але стандартніпомилки деяких оцінених коефіцієнтів β, що є нашою головною метою,не можна отримати таким чином. Ці стандартні помилки можна легко обчислити зоцінених коефіцієнтів а, використовуючи відому формулу із статистики.
2. Оцінкикоефіцієнтів β, називаються необмеженими оцінкамивтому сенсі, що на них не накладається жодних попередніх обмежень. Однак удеяких ситуаціях на βі можуть бути накладені так званікінцеві точкові обмеження, якщо припустити, що β0 і βі(поточний і k-ий лаговий коефіцієнт) дорівнюють нулеві. Через психологічні,інституціональні і технологічні причини значення пояснювальної змінної впоточному періоді може й не мати жодного впливу на поточне значення залежної змінної,що, таким чином, виправдовує нульове значення β. З тихсамих причин після певного часу k пояснювальна змінна може й не впливатина залежну змінну, тобто і βі теж дорівнюватиме нулеві.Також інколи при оцінці коефіцієнтів βі на суму їх накладається такеобмеження: вона повинна дорівнювати одиниці.
Висновки
Хоча в емпіричнійеконометриці модель Койка досить популярна, вона не має теоретичного підґрунтя.Це ускладнення подолане за допомогою моделі адаптивних очікувань і моделічасткових пристосувань. У цих моделях враховується, яким чином економічніагенти формують свої очікування щодо невизначених економічних подій і як вонипристосовуються, якщо їхні очікування не збігаються із дійсністю.
Альтернативоюпідходу Койка до дистрибутивно-лагових моделей є поліноміальнадистрибутивно-лагова модель Ш. Альмона. Базуючись на теоремі Веєрштрассе,Альмон припустив, що лагові коефіцієнти βі можнаапроксимувати поліномом відповідного ступеня від і, тривалості лагу.Хоча метод Альмона уникає певних проблем, пов’язаних з моделлю Койка, йогопрактична слабкість полягає в тому, що як ступінь поліному, так і максимальнудовжину лагу дослідник повинен визначити перед початком самого дослідження.
Незважаючи напроблеми, що трапляються при оцінюванні, дистрибутивно-лагові моделі виявилисядуже корисними в емпіричній економіці, тому що вони перетворюють моделі, які бу будь-якому іншому випадку залишилися статистичними, на динамічні, задопомогою фактору часу. Такі моделі допомагають розрізняти короткостроковий ідовгостроковий вплив на залежну змінну при одиничній зміні значення незалежноїзмінної (змінних). Таким чином, для оцінювання коротко- і довгостроковоїеластичності за ціною, доходом, нормою затрат та іншими схожими показникамитакі моделі виявились дуже корисними.
ПЕРЕЛІКЛІТЕРАТУРИ
1. Догарти Введение в эконометрику
2.Корольов О.А. Економетрія
3. Кулейнич В.И. Эконометрия
4. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І.Економетрика
5. Магнус Я.Э. Катышев П.К., Береснецкий А.А. Экономика.Начальный курс
6. Наконечний С.І., Терещенко Т.О.Економетрія