Содержание
1. Введение
2. Задание накурсовую работу
1.Обработка исходных данных методом площадей
2.Частотные характеристики
3.По заданному закону регулирования найти математическуюмодель ЗСАУ
4.Определение устойчивости ЗСАУ
5.Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР
6.Функциональная схема
7.Вывод
3. Заключение
4. Список литературы
5. Приложение
Введение
Управлениесостоянием сложных систем всегда связано с необходимостью получения информацииоб этом состоянии и его целенаправленных и хаотических изменениях.
Вданной работе было предложено смоделировать простую систему регулированиядавления. Данные системы используются во многих отраслях промышленности,поэтому исследования их классических моделей являются довольно оправданными.Также, зачастую, проектировщики сталкиваются с тем, что в системе уже внедренынекоторые функции контроля, но их адекватность и качество работы не всегдалегко определить. Поэтому было предложено определить объекты регулирования всистемах по имеющимся выходным характеристикам, используя метод площадей дляопределения их передаточных функций, а также внедрение новых регуляторов, сзаданными коэффициентами, с проверкой системы на устойчивость.
Подобныеисследования в настоящее время проводятся часто, в связи с тем, чтоутрачивается та или иная документация по системам, и проектировщикам длямодернизации необходимо знать, с чем они имеют дело изначально.
Задание накурсовую работу.
1. По экспериментальным данным найтиматематическую модель объекта (системы) методом площадей в виде звена 2-го или3-го порядка. Оценить точность аппроксимации.
2. Найти и построить частотныехарактеристики объекта (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ) и провести подробный анализ этиххарактеристик.
3. По заданному закону регулированиянайти математическую модель ЗСАУ.
4. Определить устойчивость ЗСАУ поодному из критериев. Если система неустойчива, то добиться ее устойчивости.
5. Найти переходную функцию ЗСАУ ипостроить ее. Найти по кривой основные ПКР.
6. Привести структурную схему САУ всоответствии с требованиями ГОСТ.
7. Дать выводы по работе.t 0.25 0.3 0.35 0,5 0,75 1 1.25 1,5 1.75 2 2.25 2,5 s 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.16 0.19 0.21 0.25 0.29 0.35 0.4 t 2.7 3 3,2 4,25 4.5 4.75 5 5,25 5.5 5.75 6 s 0.45 0.5 0.55 0.6 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 РегуляторПИД: Кп = 1; Ки = 0,5; Тд= 15сек; К=2
Объект регулирования АПЗ-2
1.Обработка исходных данных Методом площадей.
Данныйметод был разработан М.П. Симою. Метод служит для определения передаточнойфункции объекта по экспериментальной кривой разгона.
Воснове метода лежит предположение, что исследуемый объект может быть описанлинейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
/> (2)
W(p) = Sbipi / Sajpj[-], b0= 0, a0 = 1
Задачасостоит в том, чтобы определить неизвестные коэффициенты
а1¸аnи b1¸bm.
/>Коэффициенты aiбудут определяться по следующим формулам:
а1= F1+ b1
а2= F2+ b2+ F1b1
а3= F3+ b3+ b2F1+ b1F2
…………….
аi= Fi+ bi+ SbjFi-j
Всистеме уравнений, приведенной выше i= m + n.Составляющие элементы системы определяются из следующих формул:
F1= Dt{S(1-s)– 0.5}
F2= F12DQ{S[1- s]*[1 — Q]– 0.5}
F3= F13DQ{S[1- s]*[1 – 2*Q+ Q2/2]– 0.5}
ит.д.
Длянахождения передаточной функции данного объекта по его кривой переходногопроцесса, воспользуемся методом площадей (Симою).
Поисходной кривой значения Yiдля каждого значения времени заносим в таблицу Exсelи находим значения, необходимые для вычисления значений Fi.
Исходяиз полученных данных, имеем:
F1= 3,2875, F2= 5,31953, F3= 7,30796. F4= -7,61321
Пополученным значениям видно, что разница между F3и F4существенная, при этом F4является числом отрицательным, что дает нам основание говорить о том, чтозначение коэффициента а4 = 0.
Исходяиз приведенных выше формул нахождения аi, получаем коэффициенты b1,a1,a2,а3:
b1= 1,042; a1= 4,32927; a2= 8,74435, а3 = 12,8497.
Передаточнаяфункция имеет вид:
W(p)= (1,042 + 1)/(12,8497р3 + 8,74435р2 + 4,32927р + 1).
Построимданную передаточную функцию в пакете VisSim,получим характеристику и найдем все ошибки (среднеквадратическое отклонение,абсолютную и относительную (приведенную) ошибки). График полученной характеристикиприведен в приложении.№ t Уэ Ур
hi = Уэ – Ур
Dhi2 1 0,25 0,05 0,06 0,01 0,0001 2 0,5 0,11 0,13 0,02 0,0004 3 1 0,16 0,18 0,02 0,0004 4 1,5 0,21 0,24 0,03 0,0009 5 2 0,29 0,3 0,01 0,0001 6 3 0,5 0,518 0,018 0,000324 7 4,25 0,6 0,73 0,13 0,0169 8 4,5 0,7 0,8 0,1 0,01 9 5 0,8 0,85 0,05 0,0025 10 5,5 0,9 0,94 0,04 0,0016 11 5,75 0,95 0,953 0,003 0,000009
Произведемвсе необходимые вычисления.
d=√ ∑0,033233⁄11=0,001
абсолютнаяошибка D= max {|Yр– Yэ|} = 0,003
относительнаяошибка D= D*100%/ (|Ymax — Ymin|)= 0,0101 %.
Судяпо полученным значениям ошибок, можно сделать вывод, что полученная переходнаяхарактеристика модели является достаточно адекватной относительно исходнымэкспериментальным данным.
2. Частотныехарактеристики.
Для построения частотныххарактеристик необходимо полученную передаточную функцию представить вчастотном виде путем замены p = jw. После произведенной замены,необходимо выделить реальную и мнимую части данной передаточной функции звена.
Производя простыематематические преобразования и вычисления, получаем функцию звена в виде:
W(jw) = Re + jIm
W(jw)=/>/>
По полученному выражениюполучаем значения для построения АЧХ, ФЧХ и АФЧХ. Для этого вновь воспользуемсяпрограммой MSExcel для удобства проведения громоздкихрасчетов (Таблица значений АЧХ и ФЧХ приведена в приложении). График АФЧХ –есть зависимость Im(Re). По полученным значениям и по видуграфика можно видеть, как меняется данная зависимость.
По полученным графикамможно сделать вывод, что данное звено является фильтром низких частот. Онопропускает амплитуду сигнала на более низких частотах. На высоких частотах этопропускание стремится к нулю. Об этом говорит график АЧХ. График ФЧХ показываетто, что с увеличением частоты подаваемого на вход сигнала, происходит снижениерассогласования фаз выходного и входного значений сигнала. АФЧХ, в своюочередь, имеет интересный вид. График пересекает единичную окружность дважды, истремится к нулю. Если в случае замкнутой системы это говорит о ее устойчивостипо Ляпунову, то в случае разомкнутой это также говорит об устойчивости. Данноеутверждение подтверждает и вид переходной характеристики, построенной припомощи пакета VisSim30 (графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ и графикпереходной характеристики полученного звена приведены в приложении).
3.По заданному закону регулированиянайти математическую модель ЗСАУ.
Используя заданныйПИД–регулятор, необходимо найти математическую модель замкнутой системыавтоматического управления (ЗСАУ). ПИД – закон имеет следующие заданныепараметры и вид передаточной функции:
ПИД – Кп= 0,8 Ки = 0,1 Тд = Кд= 10
/>
Составим структурнуюсхему данной САУ:
/>
ПИД W(P)
Описание работы системы:управляющий сигнал подается на вход регулятора. Регулятор преобразует входнойсигнал и преобразованный по своему закону сигнал подает на вход объектарегулирования. Выходной сигнал вновь подается на вход системы, но только на,так называемое, устройство сравнения, и с учетом полученной разности выходногосигнала подается на вход регулятора.
С учетом структурысистемы определим передаточную функцию ЗСАУ. Для удобства сначала определим WРСАУ(P) с учетом передаточной функции имеющегося регулятора, апотом запишем передаточную функцию ЗСАУ .
/>
передаточная функциязамкнутой системы будет иметь вид:
/>
(График переходнойхарактеристики приведен в приложении)
4.Определение устойчивости ЗСАУ.
Составление математической модели системы являетсяважным этапом математического моделирования. Но также не маловажным условиемполученной модели является ее устойчивость. Для избежания неблагоприятныхпоследствий во время эксплуатации систем, на стадии моделирования обязательнойстадией исследования является исследование модели системы на устойчивость. Дляопределения устойчивости имеются несколько критериев, названных в честь ихсоздателей: Найквиста, Михайлова, Рауса, Гурвица, Ляпунова. Позднее критерийГурвица стали называть критерием Рауса – Гурвица, т.к. их способы несколькоразличаются, но принцип определения идентичен, в обоих случаях для нахожденияустойчивости определяется матрица коэффициентов.
В связи с тем, что критерии Найквиста, Михайлова иЛяпунова являются корневыми методами, а мы имеем дело с передаточной функцией4-го порядка, то для упрощения определения устойчивости воспользуемся критериемРауса – Гурвица, который не требует нахождения корней.
Теорема Гурвицаутверждает, что для того, чтобы действительные части всех корнейхарактеристического уравнения (знаменателя передаточной функции)
/>
c действительнымикоэффициентами и b0>0 были отрицательными, необходимо идостаточно, чтобы были положительными все определители D1, D2, ..., Dm, составленные из коэффициентов уравнения по следующейсхеме:
309808математическая модель метод площадь
/> и т. д.
При составлении определителей по указанной схеме,коэффициенты с индексом, превышающим степень характеристического уравнения,заменяют нулями.
Согласно критерию Рауса – Гурвица, найдем определителихарактеристического уравнения ЗСАУ:
/>
Характеристическоеуравнение имеет вид:
/>
D1 = b1 = 72,4 > 0;
/>
/>
D4 = 0,1*D3 > 0
Так как все определители положительны, то согласнокритерию устойчивости Гурвица, замкнутая система автоматического управленияявляется устойчивой.
5. Нахождениепереходной функции ЗСАУ и основных ПКР.
Нахождение переходной характеристики ЗСАУ возможнопровести двумя способами: решение ДУ классическим методом или методом обратногопреобразования Лапласа.
Решим одним из способов (обратным преобразованиемЛапласа) полученную передаточную функцию ЗСАУ.
/>
Для начала найдем все возможные корни данногоуравнения, воспользовавшись численным методом нахождения корней.
р1= -4,048, р2 = -0,1878.
Для нахождения оставшихся 2 комплексных корнейразделим характеристическое уравнение на квадратный трехчлен, полученный путемумножения двух найденных корней. Разделив, получим корни:
р3,4,= -0,071 ± j0,054
Перепишем исходное уравнение в виде и произведемнеобходимые вычисления:
/>
Составим систему уравнений и определим неизвестныекоэффициенты А, В, С и D.
/>
Решая полученную систему, получаем коэффициенты:
А = 1, В = -0,8108, С = 0,0029, D = -0,192, Е = -0,0788
Заменяя буквенные значения коэффициентов численными, ипроизводя обратное преобразование Лапласа, получим:
/>
Подставимразличные значения t в полученноеуравнение и получим переходную характеристику. Для этого снова воспользуемсяпакетом MS Excel. График будет иметь вид:
/>
Как показали исследования, график переходной функциипостроенный в пакете VisSim30аналогичен приведенному выше. Можно сделать вывод, что полученная переходнаяфункция найдена верно.
Для нахождения основных показателей качестварегулирования (ПКР), воспользуемся графиком, полученным при помощи пакета VisSim30.
Основными ПКР являются:
· Время переходногопроцесса tп/п
· Вид переходногопроцесса (апериодический, колебательный, монотонный)
· Абсолютноеперерегулирование sабс
· Статическаяошибка eст
· Степеньзатухания y(определяется в случае колебательного процесса)
1. Время переходногопроцесса.
Временем переходного процесса считается то время,когда график переходной функции попадает в область значений от 0,95Yуст до 1,05Yуст, т.е. ±5%от установившегося значения и не выходит из этой области. Судя по графикупереходного процесса, и по значениям, полученным в результате расчета припостроении графика, видно, что время переходного процесса равно 40 секундам (tрег= tп/п= 40 сек).
2. По графику видно,что переходной процесс является колебательным. Колебания данного процессанастолько малы, что изменения значений относительно Yуст = 1 составляют тысячные доли.
3. Абсолютноеперерегулирование sабс = Ymax – Yуст = 0,006218572.
4. Статическаяошибка. Система является статической если eст >0. Если eст = 0, то система являетсяастатической. Судя по полученным значениям и по виду переходнойхарактеристики, данная система является астатической, т.к. eст = 0.
5. Т.к. переходнойпроцесс является колебательным и имеет А1 и А3 (первая итретья амплитуды переходного процесса), то можно найти и степень затухания. />
/>
6. Функциональнаясхема
Системы Автоматического Управления в общем виде выглядит следующимобразом:
/>
7. Вывод
Математическая модель объекта регулирования системы,полученная в работе, является достаточно адекватной исходным данным. Об этомговорят значения полученных абсолютной и относительной погрешностей (D = 0,0001 и D = 0,0101 %). По частотнымхарактеристикам самого объекта можно определить его некоторые свойства (полосапропускания сигнала, устойчивость, отставание выходного сигнала от входного).
При получении математической модели всей системы былиспользован ПИД – регулятор. Сигнал измененный по заданному закону подается наобъект регулирования и объект работает с измененным сигналом. Полученнаязамкнутая система является устойчивой.
Показатели качества регулирования, определенные вработе, говорят о том, что переходной процесс имеет: малое перерегулирование,что очень важно в системах подобного рода (контроль температуры и прочее);низкую степень колебательности, что также является показателем качества;система является астатической, т.е. система достигает необходимого выходногозначения; что касается времени регулирования, то оно составляет 40 сек. Такоевремя переходного процесса является негативным в системах реального времени,что же касается систем контроля температуры, то этот показатель являетсядовольно адекватным, т.к. невозможно достигнуть мгновенного изменениятемпературы в реальных системах.
Заключение
В данной курсовой работе было проведено математическоемоделирование системы контроля температуры. Нужно заметить, что данный подходне только возможен, но и с успехом применяется во всех отраслях техническогопроизводства и контроля. Этот классический подход к разработке подобных системоснован на простых линейных звеньях. В реальных же системах процессы гораздосложнее и линейностью не отличаются. Подобная методика расчета позволяетусвоить азы теории управления и углубиться в ее математическую моделирующуюсторону. Это дает возможность получить теоретический навык в работе с подобнымисистемами, а главное, что подобные исследования позволяют более смело подходитьк различного рода разработкам.
При исследовании системы были получены различныепоказатели системы, в частности основные ПКР. Были сделаны выводы о качестверегулирования, а по виду переходных характеристик (построенных по исходнымданным и полученным в результате исследования) можно было судить обадекватности полученных моделей (об этом говорят различного рода погрешности).
Система, расчет которой был проведен, вряд ли будетработать в реальной среде, в виду того, что приведенные методики расчетов былиприменены, в данном случае, для систем, на которые не оказываются внешниевоздействия. В свою очередь, ход расчета системы, его последовательность вполнереально могут и применяются в настоящее время в исследованиях систем.
Список литературы
1. Курс лекций«Моделирование систем управления», Магомедов М.Я.
2. Курс лекций«Идентификация и диагностика систем», Омаров О.М.-С.
3. Курс лекций«Теория автоматического управления», Омаров М.-С.М.