Контрольнаяработа по курсу «Теория игр»
1. Найдитерешение по доминированию в данной игре:
/>
2. Заполнитепропуски в таблице так, чтобы в этой игре в чистых стратегиях было бы 3равновесия по Нэшу. Найдите все равновесия в смешанных стратегиях (любымспособом).
стратегияигра равновесие a b A Ф ? ? И B ? О В ?
3. Двоебегут по лыжной трассе навстречу друг другу. У каждого лыжника 2 стратегии:«уступить» и «не уступить». Если один из игроков уступает другому, то егопотери — О секунд, второй – не теряет ничего; если же лыжники сталкиваются, тооба теряют В секунд.
a) Составьтеплатежную матрицу этой игры. Найдите равновесия в чистых стратегиях.
b) Нарисуйтелинии откликов игроков и найдите смешанные равновесия в этой игре.
c) Допустимтеперь, что у игроков теперь 3 стратегии: «не уступить», «уступить» и «уступитьпол-лыжни». Если оба уступили друг другу пол-лыжни, то потери каждого И секунд,если же один уступил пол-лыжни, а второй — нет, то лыжники столкнутся, и потерипри столкновении у уступившего – В+И секунд, у неуступившего — В секунд.Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и в смешанных стратегиях).
4. Профсоюззаключает с фирмой соглашение на несколько лет об уровне заработной платы w>0.Профсоюз максимизирует функцию совокупной прибыли членов профсоюза (зарплата завычетом издержек от работы): u(w,L)=wL-И*L2, фирма максимизируетсвою прибыль (выпуск за вычетом зарплаты): П(w,l)=Ф*L0.5-wL.
a) Найтиравновесный уровень заработной платы и занятости в статической игре.
b) Каковоравновесие в динамической игре, если профсоюз достаточно мощный, чтобы навязатьфирме любой уровень заработной платы, после чего фирма не может менять уровеньзаработной платы в течение срока контракта, но может нанимать любое количествотруда L>0.
c) Каковоравновесие в динамической игре, если фирма – монополист на рынке труда, и онаможет установить любую заработную плату, после чего профсоюз может толькорегулировать численность работающих на монополиста.
5. Вэтой игре с нулевой суммой найдите равновесие в осторожных стратегиях.Существует ли в этой игре равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? c1 c2 c3 c4 c5 s1 5 2 3 6 4 s2 4 1 1 5 s3 6 4 9 -3
6. Накорабле 50 пиратов делят 100 кусков золота по следующему правилу: первым дележпредлагает капитан. Если хотя бы половина команды (включая капитана) согласна,то на этом игра и заканчивается. Если нет, то капитана выбрасывают за борт идележ предлагает следующий по старшинству и т.д. Найдите совершенное подыгровоеравновесие в этой игре.
7. Приведитепример стратегического взаимодействия из вашей реальной жизни (укажите для этойигры – игроков; возможные стратегии участников; характер игры (с обоснованием):статическая или динамическая, с полной информацией или нет, с совершеннойинформацией или нет). Какое решение в этой игре было достигнуто в реальноммире? Попытайтесь объяснить — почему именно это решение реализовалось.
Пример должен бытьдействительно из реальный жизни, а не просто получаться из семейного споразаменой «муж» на «зять» и «театр» на «рыбалка» — такие примеры оцениваются в 0балов!
1. Найдитерешение по доминированию в данной игре a b c d A
2
5
6
2
4
1
3 B
1
4
4
3
1
2
2
1 C
1
1
1
5
1
1
5 D
3
2
1
2
4
4
Решение:
1. Висходной игре стратегия dстрого доминирует стратегию a.Больше строго или нестрого доминирующих стратегий у первого или второго игрока нет.Очевидно, что второй игрок не будет играть стратегию aи ее можно исключить.
Получаем: b c d A
6
2
4
1
3 B
4
3
1
2
2
1 C
1
1
5
1
1
5 D
1
2
4
4
2. Вполучившейся игре видим, что стратегия С первого игрока строго доминируетстратегию D. А также стратегия Встрого доминирует стратегию А. Рассмотрим оба варианта. В первом – вычеркиваемстратегию D, во втором – стратегиюА.
Получаем: