Министерство образования Республики Беларусь
Белорусский Государственный Университет
Экономический факультет
Кафедра Экономической и институциональной экономики
Курсовойпроект
По дисциплине«Эконометрика и прогнозирование»
На тему«Построение эконометрической модели и исследованиепроблемы гетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри иПарка»
Выполнила
Студентка третьего курса
Отделения «Экономическая теория»
Волкова Ольга Александровна
Научный руководитель:
Абакумова Юлия Георгиевна
Минск, 2008 г.
Содержание
Введение
Теоретический раздел
Аналитический раздел
Построение базовой регрессионноймодели и оценка её качества
Исследование проблемыгетероскедастичности с помощью тестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка
Устранение гетероскедастичности вмодели
Заключение
Список использованных источников
Введение
Вся история развитиячеловечества неразрывно связана с изменениями динамики численности ивоспроизводства населения. Современные очень высокие темпы роста численностинаселения мира в решающей степени определяются темпами его увеличения вразвивающихся странах.
Современный «взрыв»населения в развивающихся странах имеет существенные особенности. Главнаяособенность заключается в том, что если в Европе быстрый рост населения былобусловлен в первую очередь социально-экономическими изменениями, т.е. следовалза экономическим ростом и изменениями в социальной сфере, то в развивающихсястранах мы наблюдаем прямо противоположную картину: быстрый рост населениязначительно опережает их экономическое и социальное развитие, усугубляя темсамым и без того ложные проблемы занятости, социальной сферы, обеспеченияпродовольствием, экологии.
Наряду с наблюдаемым вовторой половине XX века демографическим взрывом проявился и демографическийкризис, затронувший в первую очередь развитые страны мира.
Суть современногодемографического кризиса заключается не только в резком ухудшении развитиянародонаселения, что выражается в резком уменьшении темпов роста численностинаселения в развитых странах, а в некоторых из них и снижении этого показателяза нулевую отметку, но и в определенном кризисе института семьи, в некоторомухудшении качества развития населения, в демографическом старении.
Наблюдаемая в развитыхстранах мира тенденция к резкому падению рождаемости значительно ниже уровня,обеспечивающего простое воспроизводств населения, ведет к значительномудемографическому старению, сокращению трудовых ресурсов и увеличению«экономической нагрузки» на экономически активное население, на старениенаселения или увеличение доли пожилых и старых людей.
Итак, изменение показателяобщей численности населения происходит под воздействием целого ряда прямых икосвенных факторов. В своей работе я бы хотела рассмотреть влияние показателейрождаемости, смертности и численности пожилого населения в разных странах мирана общую численность населения этих стран.
Такой выбор обусловлен, впервую очередь, целью моей работы – проверка регрессионной модели нагетероскедастичность (т.к. эта проблема в большей степени присущапространственным данным и редко встречается во временных рядах).
Таким образом построеннаямною модедь содержит следующие объясняющие переменные:
X1 – численность рожденныхдетей за 2007г. (чел.),
X2 – численность умершихза 2007г. (чел),
Х3 – численность населенияв возрасте от 65 лет и старше (чел.), и объясняемую переменную:
Y – общая численность населения наначало 2008г. (чел.).
Статистические данные постранам взяты за период 2007г, влияющие на общую численность населения начала2008г. (Таблица 1)Страны Общая численность населения на начало года X1- численность рожненных детей за 2007г. X2 — смертность за 2007г. X3 — численность населения старше 65 лет за 2007г. Бельгия 10666866 120663 374.0553 1824034.086 Болгария 7640238 75349 693.2108 1321761.174 Чехия 10381130 114632 355.3592 1484501.59 Дания 5475791 64082 256.328 837796.023 Германия 82221808 682700 2594.26 16279917.98 Эстония 1340935 15775 78.875 229299.885 Ирландия 4419859 70623 261.3051 490604.349 Греция 11214992 110048 418.1824 2085988.512 Испания 45283259 488335 1806.8395 7562304.253 Франция 63753140 816500 3102.7 10328008.68 Италия 59618114 563236 2140.2968 11864004.69 Кипр 794580 8529 52.8798 97733.34 Латвия 2270894 23273 202.4751 388322.874 Литва 3366357 32346 190.8414 525151.692 Люксембург 483799 5477 9.8586 67731.86 Венгрия 10045000 97600 575.84 1597155 Мальта 410584 3871 25.1615 56660.592 Нидерланды 16404282 180882 741.6162 2378620.89 Австрия 8331930 76250 282.125 1408096.17 Польша 38115641 387873 2327.238 5107495.894 Португалия 10617575 102492 348.4728 1836840.475 Румыния 21528627 214728 2576.736 3207765.423 Словения 2025866 19636 60.8716 322112.694 Словакия 5400998 54424 331.9864 642718.762 Финляндия 5300484 58729 158.5683 874579.86 Швеция 9182927 103421 258.5525 1597829.298 Великобритания 61185981 770651 3467.9295 9789756.96 Турция 70586256 1361000 29533.7 4658692.896 Исландия 314321 4508 6.3112 36775.557 Норвегия 4737171 58459 181.2229 691626.966 Швейцария 7591414 74440 290.316 1229809.068
Табл. 1
Теоретический раздел
Припрактическом проведении регрессионного анализ модели с помощью МНК необходимообращать внимание на проблемы, связанные с выполнимостью свойств случайныхотклонений модели, т.к. свойства оценок коэффициентов регрессии напрямуюзависят от свойств случайного члена в уравнении регрессии. Для получениякачественных оценок необходимо следить за выполнимостью предпосылок МНК(условий Гаусса-Маркова), т.к. при их нарушении МНК может давать оценки сплохими статистическими свойствами.
Однойиз ключевых предпосылок МНК является условие постоянства дисперсий случайныхотклонений: т.е. D( εi ) = D( εj ) = σ2 для любых наблюдений i и j. Выполнимость данной предпосылкиназывается гомоскедастичностью (постоянством дисперсии отклонений).Невыполнимость данной предпосылки называется гетероскедастичностью (непостоянствомдисперсий отклонений).
Наличиегетероскедастичности может привести к снижению эффективности оценок, полученныхпо МНК, к смещению дисперсий, к ненадежности интервальных оценок, получаемых наоснове соответствующих t- и F-статистик. Таким образом,статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок,могут быть ошибочными и приводить к неверным заключения по построенной модели.Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, аследовательно можно признать статистически значимыми коэффициенты, которыетаковыми не являются. Причиной гетероскедастичности могут быть выбросы (резковыделяющиеся наблюдения), ошибки спецификации модели, ошибки в преобразованииданных, ассиметрия распределения какой-либо из объясняющих переменных. Чащевсего, появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть и попытатьсяустранить этот недостаток еще на этапе спецификации. Однако обычно приходитьсярешать эту проблему уже после построения уравнения регрессии. Не существуеткакого-либо однозначного метода определения гетероскедастичности. Существуетдовольно большое количество тестов и критериев, наиболее популярными инаглядными из которых являются: графический анализ отклонений, тест ранговойкорреляции Спирмена, тест Парка, тест Глейзера, тест Голдфельда-Квандта и тестУайта. Моя работа посвящена исследованию поледних двух тестов.
Тест Уайта
Алгоритм этого тестазаключается в том, что сперва оценивается исходная модель и определяютсяостатки εi, затем строится вспомогательноуравнение регрессии и определяется его коэффициент детерминации, произведение n*R^2 сравнивается со значением χ^2- распределения иделается вывод о наличии или об отсутствии гетероскедастичности.
Тест Парка
Парк в свою очередь предложилследующую функциональную зависимость:
/>
Алгоритм теста:
1) Оцениваем исходноеуравнение и определяем ei.
2) Оцениваем уравнение
/>
Проверяем статистическуюзначимость коэффициента β уравнения на основе статистики
/>
Если β значим, тогетероскедастичность. Если нет, то гомоскедастичность.
Тест Бреуша-Пагана-Годфри
1) Оценивается исходная модель иопределяются остатки
/>
Строится оценка:
/>
2) Оценивается регрессия
/>
/> />
Если />
При установлении присутствиягетероскедастичности возникает необходимость преобразования модели с цельюустранения данного недостатка. Сначала можно попробовать устранить возможнуюпричину гетероскедастичности, скорректировав исходные данные, затем попробоватьизменить спецификацию модели, а в случае, если не помогут эти меры,использовать метод взвешенных наименьших квадратов.
Далее в работе проведемдовольно полный анализ базовой модели, включая непосредственно тесты наобнаружение гетероскедастичности.
Аналитический раздел
1. Построение базовой регрессионноймодели и оценка её качества
По данным Таблицы 1 построимисходную модель с помощью пакета Eviews3.1.Получим следующее уравнение построенной модели:
/>
Где:
Population – общая численность населения наначало 2008г. (чел.),
Birth – численность рожденных детей за2007г. (чел.),
Mortality – численность умерших за 2007г.(чел),
Old – численность населения в возрастеот 65 лет и старше (чел.).
/>
Проверим на значимостькоэффициенты уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику:
/>
/>
Используем в данномслучае уровень значимости />. Тогда критическое значение t-статистики соответственно:
/>
Значения t-статистик рассматриваемых переменныхбольше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод оих значимости. По анализу исследованных t-статистик и коэффициента детерминации R-квадрат делаем предварительный выводоб адекватности построенной модели.
Продолжая оценивать общеекачество модели, используем критерий Фишера:
/>
/>
Н0: R-квадрат=0
Н1: R-квадрат>0
Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1,согласно которой модель адекватна. Поскольку значение F-наблюдаемого велико, можно сделать предположение о наличиимультиколлинеарности, что будет проверено мною в дальнейшем.
Оценим такжераспределение остатков в модели:
/>
P (J-B) = 0,06,следовательно присутствует нормальное распределение остатков.
Проверим модель наприсутствие автокорреляции. Для этого будем использовать тесты Бреуша-Годфри иДарбина-Уотсона.
1) Первоначальновоспользуемся тестом Бреуша-Годфри и оценим модель наприсутствие автокорреляции по трем лагам:
Запишем значение /> распределениядля последующего сравнения с Obs* R-squared:
/>
Приведем результаты тестас lag = 1:
/>
с lag = 2:
/>
с lag = 3:
/>
Сделаем выводы оботсутствии серийной корреляции, так как во всех трех случаях Obs* R-squared меньше
/>
а P-вероятность статистики Бреуша-Годфрибольше уровня значимости
(/>)
2) Воспользуемся такжетестом Дарбина-Уотсона:
Приведем значениестатистики:
/>
Значения критическихточек
/>при уровне значимости />:
/>
/>
Делаем вывод оботсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики D-W в данном случае близко к 2.
Выполним проверкурегрессионной модели на мультиколлинеарность.
Построим корреляционнуюматрицу коэффициентов:
/>
Найдем частныекоэффициенты корреляции:
/>
Делаем вывод о наличии высокойзависимости (коллинеарности) между переменными в каждом из трех случаев.Следовательно в модели присутствует мультиколлинеарность. Эта проблемаоказывает определенное влияние на качество модели, однако ее устранение неявляется обязательным этапом, поэтому перейдем к дальнейшему исследованиюкачества регрессионной модели.2. Исследование проблемы гетероскедастичности с помощьютестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Парка
Переходим непосредственнок основной теме курсвой — проверяем модель на наличие гетероскедастичности. Дляэтого первоначально проведем тест Вайта и оценим его результаты:
/>
/>
/>
/>
/>
Т.к. значение P- вероятности в обоих случаях тестаУайта (no cross terms/ cross terms) меньшеуровня значимости
(/>) и Obs*
R-squared превышает
/>
то принимаем гипотезу оналичии гетероскедастичности в модели.
Дополнительно можноиспользовать графический анализ ряда остатков, который подтверждает вывод оналичии гетероскедастичности, т.к. график имеет выбросы и не укладывается вполосу постоянной ширины, параллельную оси ОХ (-1000000,1000000).
/>
Таким образом, в этоймодели мы имеем две проблемы – мультиколлинеарность и гетероскедастичность, всвязи с чем нельзя доверять статистическим выводам и оценкам качестварегрессионной модели. Продолжим дальнейший анализ модели спомощью теста Парка. Данный тест не предполагает особой свободы выбора и мыстроим три регрессионные модели натуральных логарифмов остатков базовой моделина натуральные логарифмы каждой объясняющей переменной отдельно.
Представим вспомогательнуюмодель 1 теста Парка:
Запишем уравнениевспомогательной модели 1:
/>
/>
Где:
POPUL2=ln(population^2)
BIRTH2=ln(birth).
Оценим значимость коэффициентов уравнениярегрессии. Для этого оценим t-статистику:
/>
Найдемкритическое значение t-статистикина уровне значимости
(/>)
/>
/>
Послепроведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности попеременной Birth в следствие того, что коэффициент /> при даннойпеременной является значимым.
Представимвспомогательную модель 2 теста Парка:
/>
Где:
POPUL2=ln(population^2)
MORTALITY2=ln(mortality).
Запишем уравнениевспомогательной модели 2:
/>
Оценим значимость коэффициентов уравнениярегрессии. Для этого оценим t-статистику.Найдемкритическое значение t-статистикина уровне значимости (/>)
/>/>
Послепроведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности попеременной Mortality в следствие того, что коэффициент /> при даннойпеременной является значимым.
Представимвспомогательную модель 3 теста Парка:
/>
Где:
POPUL2=ln(population^2)
OLD2=ln(old).
Запишем уравнениевспомогательной модели 2:
/>
Оценим значимость коэффициентов уравнениярегрессии. Для этого оценим t-статистику.Найдемкритическое значение t-статистикина уровне значимости (/>)
/>
Послепроведенного теста можно сделать вывод о наличии гетероскедастичности попеременной Old в следствие того, что коэффициент /> при даннойпеременной является значимым.
Оценив каждуюпеременную по тесту парка в отдельности подтверждаем выводы сделанные ранее потесту Вайта о гетероскедастичности исходной модели.
Теперь используемтест Бреуша-Пагана для окончательного подтвержения гетероскедастичности. Дляначала строим временной ряд квадратов остатков, деленных на величину
/>
а затем строимдля него саму регрессионную модель.
/>
Находимнеобходимые для анализа параметры вспомогательной регрессии:
/>
/>
/>
Делаем вывод обочевидном присутствии в модели гетероскедастичности, так как
/>>>/>
Устранениегетероскедастичности в модели
После проведениятестов Вайта, Бреуша-Пагана-Годфри и Паркабыло выявлено очевидное наличие проблемы гетероскедастичности остатков вбазовой модели регрессии. Приступим к ее устранению при помощи веса, выбранногосоответственно тесту Бреуша-Пагана. Предпологаем форму выявленной гетероскедастичности:
/>
Вес: />
Оцененная спомощью метода взвешанных наименьших квадратов базовая регрессия выглядитследующим образом:
/>
Получим следующее уравнениепостроенной модели-NEW:
/>
Где переменные,скорректированные на вес:
PopulationNEW – общая численность населения наначало 2008г. (чел.),
cNEW – константа базовой модели, деленнаяна вес,
BirthNEW – численность рожденных детей за2007г. (чел.),
MortalityNEW – численность умерших за 2007г.(чел),
OldNEW – численность населения в возрастеот 65 лет и старше (чел.).
Проверим на значимостькоэффициенты уравнения регрессии. Для этого оценим t-статистику. Используем в данном случае уровень значимости />. Тогдакритическое значение t-статистикисоответственно:
/>
Если значения t-статистик рассматриваемых переменныхбольше критического значения (критерий Стьюдента), следовательно делаем вывод оих значимости. Лишь одна переменная, являющаяся в прошлой базовой моделиконстантой в данном случае незначима, что логично, ведь она не имеет реальногосмысла, т.е. не описывает реальным образом объясняемую переменную. По анализуисследованных t-статистик и коэффициентадетерминации R-квадрат делаем предварительный выводоб адекватности построенной модели.
Продолжая оценивать общеекачество модели, используем критерий Фишера:
/>
/>
Н0: R-квадрат=0
Н1: R-квадрат>0
Так как F-наблюдаемое больше F-критического, принимаем гипотезу Н1,согласно которой модель адекватна.
Проверим модель наприсутствие автокорреляции. Для этого будем использовать тесты Бреуша-Годфри иДарбина-Уотсона.
1) Первоначальновоспользуемся тестом Бреуша-Годфри и оценим модель наприсутствие автокорреляции по трем лагам:
Запишем значение /> распределениядля последующего сравнения с Obs* R-squared:
/>
Приведем результаты тестас lag = 1:
/>
с lag = 2:
/>
с lag = 3:
/>
Сделаем выводы оботсутствии серийной корреляции, так как во всех трех случаях Obs* R-squared меньше
/>
а P-вероятность статистики Бреуша-Годфрибольше уровня значимости
(/>)
2) Воспользуемся такжетестом Дарбина-Уотсона:
Приведем значение статистики:
/>
Значения критическихточек
/>при уровне значимости />:
/>
/>
Делаем вывод оботсутствии автокорреляции, т.к. значение статистики D-W в данном случае близко к 2. Проверим скорректированную модель на наличие гетероскедастичностис помощью теста Вайта/>/>/>
/>
/>
Т.к. значение P- вероятности в обоих случаях тестаУайта (no cross terms/ cross terms) большеуровня значимости
(/>)
и Obs* R-squared превышает
/>
то принимаем гипотезу оботсутствии гетероскедастичности в модели (гомоскедастичность).
Заключение
В моей курсовой работе япостроила регрессионную модель по реальным данным. Я разбиралась с модельюзависимости общей численности населения от показателей рождаемости, смертностии численности пожилого населения, их влиянием друг на друга и на объясняемуюпеременную. Так как целью моей работы являлось проверить, как работают напрактике тесты Уайта и Бреуша-Пагана-Годфри и Парка, то я использовала пространственныеданные, которые позволяют наиболее наглядно проиллюстрировать проблемугетероскедастичности и способы ее устранения.
В работе достаточнонаглядно продемонстрирована работа тестов для выявления гетероскедастичности,также удалось решить задачу с выбором веса для ВНК.
В ходе курсовойработы мне удалось скорректировать модель с помощью метода взвешенныхнаименьших квадратов, правильно подобрав вес при помощи теста Бреуша-Пагана,поскольку тест Вайта, к примеру, не дает нам точного ответа на вопрос о веседля ВНК. Построенная в конце моего исследования модель-NEW значима и является качественной, остатки ее в своюочередь гомоскедастичны.
Список использованныхисточников:
1. Бородич С.А. Вводный курсэконометрики: Учеб. пособие. – Мн.; БГУ, 2000. – 209, 227, 245 с.
2. Бородич С.А. Эконометрика: Учеб.пособие. – Мн.; Новое знание, 2006. – 237, 238 с.
3. Доугерти К. Введение в эконометрику:Пер. с англ. – М.; ИНФРА-М, 1997.
4. Данные Eurostat epp.eurostat.ec.europa.eu/potal.