Задание 1
Значения цены, спроса и предложения на определенный вид товараприведены в таблице:
Цена
Х
Спрос
У1
Предложение
У2 8,6 2220 1101,93 9,6 1825 1102,93 10,6 1869 1252,93 11,6 1625 1286,93 12,6 1375 1328,93 13,6 1377 1411,93 14,6 1145 1573,93 15,6 1045 1620,93 16,6 1005 1748,93 17,6 1025 1838,93 18,6 795 1906,93
На основе статистических данных оценить параметры регрессии спросаи предложения на цену, если допустит, что стохастическая зависимость междуспросом и ценой можно описать квадратичной функцией, а предложением и ценой –линейной функцией.
Оценить адекватность эконометрических моделей статистическимданным с надежностью Р=0.95 и найти:
– точку равновесной цены: 1) графически, 2) аналитически, развязавуравнение У1=У2, 3) с помощью «паутинообразной» модели с точностью 0,01,предварительно проверив сходимость этого итерационного метода; 4) с помощьюпроцедуры «Подбор параметра». Сравнить результаты, полученные всеми способами;
– значение коэффициента эластичности спроса и предложения в точкеравновесия.
Построить доверительные зоны регрессий спроса и предложения.
Сделать выводы.Супермаркет Х Y X? Y? XY 20 340 3 115600 9 1020 ? 5084 38 1349608 77,3 9899,9 ?/n 254,2 1,9 67460,4 3,865 495
Начнемс того, что найдем уравнение регрессии. Для этого найдем:
Значениедисперсии.
Для этого нампонадобится средняя арифметическая простая, которая находится по формуле:Хср=? Х/n Хср= 149,6/11=13,6?2ср=??2/n? ср= 16175,27/11=1470,5
Теперь найдемзначение дисперсии по формуле Dх?=? Х?/n – (х)? Dy?=?y?/n – (y)
Dх?= 194,96–13,6?=10D?y=2236173,39–1470,48?=73865,5
S=vD Sx=v10=3,2Sy=v73865,5=271,8
Теперь найдемкоэффициент корреляции (вон показывает степень тесноты связи Х и?). Численноезначение коэффициента корреляции количественно измеряет тесноту корреляционнойсвязи. Чем больше коэффициент корреляции тем плотнее точки корреляционного поляприлегают к линии регрессии. Знак коэффициента корреляции отражает характервлияния Х и?.
r=?X?/n-? ср*Xср/Sx*Syr=0,99
В нашемслучае очень сильная теснота корреляционной связи между ценой и предложением.Это значит, что 99% изменения предложения объясняется изменением цены.
Теперьвычислим коэффициент регрессии.
Вонопределяется по формуле: b1= r*(Sy/Sx) b1=0,99* (271,8/3,2)=85,182
B0=? ср-b*Xсрb0=1470,5–85,182*13,6=312,01
Уравнениерегрессии будет иметь следующий вид:
У=b1х+b0=85,182x + 312,01
Строимточечную диаграмму по выходным данным Y( ). С помощью функции «Добавит линиютренда» строим линейный тип линии тренда (рис. 3.1). При этом включаем опциювывода уравнения линии тренда и коэффициента детерминации R2.
/>
Рис. 1.1.
Получилилинейное уравнение регрессии
У=b1х+b0=85,182x + 312,01.
Уравнениелинейной регрессии появилось на графике таким способом:
- После построения в MSExcel обычной точечной диаграммы за диапазонами Х и В с помощью мастерадиаграмм (вкладка Стандартные / Точечная), выделяем ряд построенных точекправой кнопкой мыши, и в появившемся контекстном меню изберем команду (Добавитлинию тренда).
- Тип линии тренда выберемЛинейная, а на вкладке Параметры ставим галочке напротив полей Показыватьуравнение на диаграмме и Поместить на диаграмму величину достоверностиаппроксимации R2 (то есть коэффициент детерминации R2). Таким образом, построенточечный график функции В(Х) в виде корреляционного поля и к нему прибавленалиния линейного тренда. Дальше в работе избирал соответствующий тип линиитренда аналогично выстраиваются нелинейные тренды.
Выборочныйкоэффициент детерминации равняется R2 = 0,99813, а коэффициент корреляциисоставляет r = v0,9813 = 0,9911.
С помощьюфункции СРЗНАЧ определим средние значения величин: Xcp = 13,6, Y2cp = 1470,5.Тогда определим средний коэффициент эластичности для этой модели:
/>, A =85,182*13,6/1470,5 = 0,78
то есть приросте показателя на 1% показатель Y растет на 0,78%.
Вычислимтеоретические значения зависимой переменной. Средняя погрешность аппроксимацииMAPE, которая характеризует точность аппроксимации выборки построеннымуравнениям регрессии находится по формуле
MAPE =.
Объясним, какрассчитывается средняя погрешность аппроксимации MAPE при построении уравнениялинейной регрессии (таблица 3.1).
Таблица 3.1 B C D E F 1 Y2 X Y^ 100*|Y-Y^|/Y 2 1101,93 8,6 1044,570 5,21 3 1102,93 9,6 1129,752 2,43 4 1252,93 10,6 1214,933 3,03 5 1286,93 11,6 1300,115 1,02 6 1328,93 12,6 1385,297 4,24 7 1411,93 13,6 1470,479 4,15 8 1573,93 14,6 1555,661 1,16 9 1620,93 15,6 1640,842 1,23 10 1748,93 16,6 1726,024 1,31 11 1838,93 17,6 1811,206 1,51 12 1906,93 18,6 1896,388 0,55 13 1470,479 13,6 MAPE= 2,35
Столбец Е(Y^) рассчитывается путем подставления соответствующего Хt из диапазона С2: С13то есть (0,65:0,89) в формулу линейной регрессии У=b1х+b0=85,182x + 312,01. Тоесть Y^ – это точки, что принадлежат линии тренда (точки на прямой, котораяявляется линией тренда). Диапазон F2:F13 рассчитывается соответственно заформулой 100*|Y-Y^|/Y – это значения, которые стоят под знаком?, а следузначения MAPE – это среднее значение столбца диапазона F2:F13. Длявыразительности наведем таблицу 3.1 в режиме формул (таблица 3.2).
Таблица 3.2
/>
Такимобразом, используя функции Excel, получим, что для этой регрессии MAPE = 2,35%– значение в амбарчике H13. Дальше, при расчете MAPE нелинейной функциирегрессии будем использовать данный алгоритм.
Проверимлинейную модель на адекватность с помощью критерия Фишера. Определимнаблюдаемое значение критерия
/>.
Табличноезначение критерия при надежности Р=0,95 и степенях свободы k1 = 1, k2 = n – 2 =9 равняется 5,12, поскольку наблюдаемое значение больше критического, то эталинейная модель является адекватной.
Используяt-статистику, с надежностью Р=0,95 оценим значимость коэффициента корреляции.Вычислим наблюдаемое значение t-статистики
/>.
Табличноезначение -критерия при и количества степеней свободы n – 2 = 10, tтабл = 2,26.Поскольку расчетное значение -критерію больше табличного, то линейныйкоэффициент корреляции является статистически значимым.
С помощьюфункции ЛИНЕЙН найдем стандартные погрешности параметров (вторая строкарезультатов): S(b0)= 53,2; S(b1)= 3,8. (Таблица 1.3)
Таблица 1.3 ЛИНИЙ b1, b0 85,18181818 312,006061 S1, S0 3,809489866 53,1911746 0,982317878 39,9542668 499,9886736 9 798153,6364 14367,0909
Вычислимt-статистики:
/>; />.
Поскольку первое и второе значение больше табличного, то параметрыуравнения регрессии есть значимыми с надежностью Р=0,95.
Построим квадратичную линию регрессии (квадратичный тренд),возведем расчеты к вспомогательной таблице 1.4.
Таблица 1.4 Цена Спрос N Х У1 t^2 t^3 t^4 yt Y*t^2 1 8,6 2220 74,0 636,1 5470,08 19092,00 164191,20 2 9,6 1825 92,2 884,7 8493,47 17520,00 168192,00 3 10,6 1869 112,4 1191,0 12624,77 19811,40 210000,84 4 11,6 1625 134,6 1560,9 18106,39 18850,00 218660,00 5 12,6 1375 158,8 2000,4 25204,74 17325,00 218295,00 6 13,6 1377 185,0 2515,5 34210,20 18727,20 254689,92 7 14,6 1145 213,2 3112,1 45437,19 16717,00 244068,20 8 15,6 1045 243,4 3796,4 59224,09 16302,00 254311,20 9 16,6 1005 275,6 4574,3 75933,31 16683,00 276937,80 10 17,6 1025 309,8 5451,8 95951,26 18040,00 317504,00 11 18,6 795 346,0 6434,9 119688,32 14787,00 275038,20 ? 149,6 15306,0 2144,6 32158,0 500343,8 193854,6 2601888,4
По даннымтаблицы система имеет вид:
/>
Развязав этусистему методом Гауса, одержимо такие значения коэффициентов кривой тренда: a0= 103,167; a1 = 0,919; a2 = 0,0045.
Такимобразом, уравнение параболы, которая является моделью тренда, имеет вид:
Y1x = 4583,9 – 351,37*x + 4583,9*x2
Построим оба ряду на одном корреляционном поле (рис. 1.2)
/>
Рис. 1.2.
Коэффициент детерминации очень большой 0,9696 – связь оченьсильная. Коэффициент кореляции также очень большой 0,9847 – модель адекватная.
Найдем точкуравновесной цены.
Графически –Х = 12,9; В = 1409.
Паутинообразнымметодом: Х = 12,871; В = 1408,40. (рис. 1.3):
/>
Рис. 1.3.
МетодомПоиска решения (рис. 1.4, рис. 1.5):
/>
Рис. 1.4.Поиск решения b b1 b0 8,1364 -351,37 4583,9 1408,73517 85,182 312,01 1408,73517 12,87508118 12,87508 0,0000000 Целевой амбарчик Зминюеми амбарчика
Рис. 1.5.
МетодомПоиска решения: Х = 12,875; В = 1408,735.
За 3-яметодами видим, что 3-й метод – метод Поиска решения точнее всего, то естьточка равновесия имеет координаты Х = 12,875; В = 1408,735.
Построимточечную графику статистических данных, линии регрессии и ее доверительнойзоны.
/>
Рис. 1.6.
Выводы
1. Врезультате расчетов получены модели Y1 = 8,1364X2 – 351,37Х +4583,9 и Y2 =85,182X + 312,01. Анализируя параметры моделей возможно сделать следующиевыводы, что поскольку коэффициент регрессии положительный b1, то этосвидетельствует о том, что направление связи между X и Y прямой, то есть приросте Х значения Y тоже будут увеличиваться, и наоборот поскольку коэффициентрегрессии відємний b1, то это свидетельствует о том, что направление связимежду X и Y обратной, то есть при росте Х значения Y будут понижаться.
2. Линейныйкоэффициент корреляции 0,9911 и коэффициент детерминации R2=0,9823. Значениекоэффициенту корреляции свидетельствует о том, что между факторами существует оченьсильная прямая связь. Значение коэффициенту детерминации показывает, что на98,23% вариация Y2 зависит от X и на 1,77% от факторов, которые не вошли вмодель.
3. Расчеты закритерием Фишера F=499 и Fкр.=5,11 подтвердили адекватность модели данным задачи.
4. Покритерию Стьюдента, была проведенная проверка значимости параметров модели снадежностью 95%. Поскольку первое значение t – статистики больше, чемкритическое значение, то можно сделать вывод, что полученные параметры являютсязначимыми и для генеральной совокупности параметры уравнения линии регрессииотличаются от 0.
6. Покритерию Стьюдента была проведенная проверка значимости линейного коэффициентакорреляции с надежностью 95%. Поскольку значение tr – статистики больше, чемкритическое значение, то можно сделать вывод, что в генеральной совокупностимежду факторами существует связь, то есть и коэффициент регрессии статистическизначим и модель является адекватной.
Задание №2
Производственная фирма выпускает продукцию с применением трударабочих и основных средств производства.
Х1
(основные средства предприятия) Х2
В
(объем выпущенной продукции) 50+N 90+K 152+10*N/K 60+N 100+K 172+10*N/K 70+N 110+K 192+10*N/K 80+N 120+K 213+10*N/K 90+N 130+K 232+10*N/K 100+N 140+K 253+10*N/K 110+N 150+K 275+10*N/K 120+N 160+K 293+10*N/K 130+N 170+K 314+10*N/K 140+N 180+K 334+10*N/K 150+N 190+K 354+10*N/K
Построить производственную мультипликативную регрессию, оценив еепараметры.
Проверить адекватность построенной модели выходным данным.
Сделать экономический анализ параметров производственной функции.
Определить прогнозное значение выпуска при.
Построить интервал доверия прогноза с надежностью 0,95.
Оценить эффективность и масштаб производства.
На основе построенной регрессии развязать задачу оптимальноговыпуска продукции: определить, какая комбинация факторов производства являетсяоптимальной, а также найти максимальный объем выпуска, если на расходыпроизводства существует ограничение в 160 тыс. грн., стоимость аренды единицыфондов составляет (4+K) тыс. грн., стоимость труда одного человека – (1+K) тыс.грн.
Построить изокванту максимального выпуска и изокосту. Найтиграфическое решение задачи о комбинации ресурсов и сравнить с аналитическим.
Определить предельную норму замены единицы фондов трудом.
Производственная фирма выпускает продукцию согласно варианта 14 сприменением труда рабочих и основных средств производства (табл. 2.1).
Таблица 2.1В
Х1
Х2
292 64 91 312 74 101 332 84 111 353 94 121 372 104 131 393 114 141 415 124 151 433 134 161 454 144 171 474 154 181 494 164 191
Найдем точечные оценки параметров множественной линейной регрессиис помощью функции Excel ЛИНЕЙН.
Но согласно этого задания связь в модели полный функциональный R2= 1, R = 1, коэффициенты детерминации и корреляции равняются 1 (также и вмодели множественной линейной регрессии) – нет смысла бедствовать множественнуюлинейную регрессию (рис. 2.1)
/>
Рис. 2.1.
Задание №3 (оценивается в 10 баллов)
Значения объемов производства некоторой фирмы и соответствующихрасходов производства приведены в таблице:Объем производства Y Расходы производства C Цена p. 20+N/5 190+N-K 16 30+N/5 210+N-K 16 25+N/5 100+N-K 14 35+N/5 230+N-K 14 40+N/5 240+N-K 13 50+N/5 400+N-K 12 60+N/5 375+N-K 15 55+N/5 330+N-K 12 55+N/5 280+N-K 12 70+N/5 470+N-K 13 65+N/5 400+N-K 13 75+N/5 550+N-K 12 70+N/5 600+N-K 12
Построить квадратичную зависимость расходов производства отобъемов производства и оценить статистическое качество модели, что построено.
1. Для условий совершенной рыночной конкуренции (если значениецены на продукцию фирмы) необходимо сделать следующее:
Построить функции маржинальных расходов и дохода и построить ихграфику. Графически определить оптимальный объем производства.
Аналитически определить оптимальный объем производства фирмы, закоторого прибыль фирмы будет максимальной, и определить соответствующий данномуобъему производства прибыль. Определить объем производства, за которого прибыльфирмы будет неотъемлемой.
2. Для условий монополии фирмы на рынке (значение цены напродукцию фирмы для этого случая приведено в таблице) необходимо сделатьследующее:
Построить линейную зависимость цены от объемов производства иоценить статистическое качество модели, что построено.
Построить функции маржинальных расходов и дохода и построить ихграфику. Графически определить оптимальный объем производства.
Аналитически определить оптимальный объем производства фирмы, закоторого прибыль фирмы будет максимальной, и определить соответствующий данномуобъему производства прибыль. Определить объем производства, за которого прибыльфирмы будет неотъемлемой.
Проанализировать и описать полученные результаты.
Расчетная таблица для варианта 14 выглядитследующим образом:
Объем производства Y Расходы производства C Цена, р 22,8 203 16 32,8 223 16 27,8 113 14 37,8 243 14 42,8 253 13 52,8 413 12 62,8 388 15 57,8 343 12 57,8 293 12 72,8 483 13 67,8 413 13 77,8 563 12 72,8 613 12
Корреляционноеполе с линией квадратичного тренда (рис. 3.1):
/>
Рис. 3.1.
Уравнениеквадратичного тренда: в = 0,0973х2 – 2,4947х + 179,58.
R = vR2 =v0,8696 = 0,932523 – сильная корреляция.
Графикобъемов производства и доходов (рис. 3.2):
/>
Рис. 3.2.
Следу,оптимальный объем производства №1 = 22,8 – минимальная расходная маржа.
Определимдоход (рис. 3.3)
/>
Рис. 3.3.N Объем производства Y Расходы производства C Цена, р р Доход для р=15 1 13,53333333 203 16 15
Доход (прибыль)будет при объеме производства В = 13,5333.N Объем производства Y Расходы производства C Цена, р р Доход для р=15 1 13,53333333 203 16 15 2 32,8 223 16 269 3 27,8 113 14 304 4 37,8 243 14 324 5 42,8 253 13 389 6 52,8 413 12 379 7 62,8 388 15 554 8 57,8 343 12 524 9 57,8 293 12 574 10 72,8 483 13
609 11 67,8 413 13 604 12 77,8 563 12 604 13 72,8 613 12 479 Максимальный доход
609
Максимальныйдоход будет при объеме производства 72,8.
Зависимостьцен от объема производства (рис. 3.4.)
/>
Рис. 3.4.
Графикаобъемов производства и доходов для цен р (рис. 3.5).
/>
Рис. 3.5.
Максимальный доход554 при объему производства 62,8 (рис. 3.6).N Объем производства Y Расходы производства C Цена, р Доход для р=15 Доход для р 1 13,53333333 203 16 161,8 2 32,8 223 16 269 301,8 3 27,8 113 14 304 276,2 4 37,8 243 14 324 286,2 5 42,8 253 13 389 303,4 6 52,8 413 12 379 220,6 7 62,8 388 15 554 554 8 57,8 343 12 524 350,6 9 57,8 293 12 574 400,6 10 72,8 483 13 609 463,4 11 67,8 413 13 604 468,4 12 77,8 563 12 604 370,6 13 72,8 613 12 479 260,6 Максимальный доход 609 554
Рис. 3.6.
Неотъемлемыйдоход для второго варианта при объеме производства Y=12, 68 (рис. 3.7 и3.8).
/>
Рис. 3.7.N Объем производства Y Расходы производства C Цена, р Доход для р 1 12,6875 203 16
Рис. 3.8.
Списокиспользованной литературы
1. Кулинич О.И.Економетрия: Практикум. – Хм.: Издательство «Подилля», 1998 – 157 с.
2. Лук’яненко И.Г.,Красникова Л.И. Економетрика: Учебник. – К.: Общество «Знания», КОО, 1998 –494 с.
3. Наконечный С.И.,Терещенко Т.О., Романюк Т.п. Економетрия: Учебник. – Вид. 2-ге,допов. но перероб. – К.: КНЕУ, 2000 – 296 с.
4. Толбатов Ю.А. Економетрика:Учебник для студентов экономических специальностей высших учебных заведений. –К.: Четвертая волна, 1997 – 320 с.
5. Гливенко С.В.,Соколов М.О., Телиженко О.М. Экономическое прогнозирование: Навч. пособие.– Сумы, ВТД «Университетская книга», 2004. – 207 с.
6. Грабовецкий Б.Е.Экономическое прогнозирование и планирование: Навч. пособие. – К.: Центручебной литературы, 2003. – 188 с.
7. Ерина А.М.,Кальян З.О. Теория статистики: Практикум. – К.: КНЕУ, 1997. –с. 187–190.
8. Гусаров В.М. Теориястатистики: Учебн. пособие для вузов. – М., 1998. – с. 143–155.
9. Статистика: Учебник /С.С. Герасименко но др. – К., 1998. – с. 138–144.