ГОУ ВПО«Российский Экономический Университет
им. Г.В. Плеханова»
Кафедраматематических методов в экономике
Междисциплинарнаякурсовая работа
Средстваэконометрического моделирования и прогноза курса акций British Petroleum
Москва, 2011 г.
/>/>/>/>Введение
В данной работе будетисследовано изменение во времени курса акций British Petroleum средствами эконометрическогомоделирования с целью дальнейшего прогноза.
British Petroleum – одна из крупнейших в мире нефтегазовыхкорпораций, относящаяся к «голубым фишкам». Компания была основана 1908 году иизначально специализировалась на добыче нефти. За более, чем вековую историю,сфера деятельности корпорации расширилась: в настоящее время British Petroleum занимается поиском месторождений идобычей нефти и газа, их транспортировкой и изготовлением из них топлива(керосин для авиации, дизельное топливо, бензин и газ). Кроме того, компаниявносит вклад в развитие химической промышленности и занимается спонсорством.
Актуальность исследованиязаключается в большой роли финансовых рынков в современной экономике, интересек ним больших групп людей и в занимаемом в мировой экономике месте British Petroleum.
Работа будет произведенапо следующему плану, каждый пункт которого представляет собой отдельную задачу:
· Исследованиеисходных данных и приведение ряда к стационарному в случае нестационарностиисходного ряда
· Идентификациямодели
· Рассмотрениеидентифицированной модели и близких к ней
· Выбор модели,наилучшим образом описывающей процесс
· Построениепрогноза по выбранной модели
· Возврат кисходному ряду
Для вычислений,построения графиков и проверки гипотез использовались компьютерные программы: MS Excel и Econometric Views.
/>/>/>/>/>/>Проверка исходного рядана стационарность
Исходные данныепредставлены в приложении 1 в виде таблицы. На рис. 1 показано изменение курсаакций British Petroleum за период с 1 января 2010 года по 31декабря 2010 года.
/>
Рис. 1. Изменение курсаакций British Petroleum в 2010 году
Как видно на графике,ближе к середине рассматриваемого периода произошло снижение курса акций, тоесть наблюдается явно выраженный тренд. Начиная с середины рассматриваемогопериода прослеживается тенденция к постепенному росту курса акций. Из-заналичия упомянутых тенденций можно сделать вывод о том, что ряд, скорее всего,не окажется стационарным, из-за чего потребуется его преобразование.
На практике для проверкигипотезы о стационарности ряда используются тесты на постоянствоматематического ожидания и на постоянство дисперсии. Эти тесты разделяются на параметрическиеи непараметрические, причём параметрические тесты можно применять только вслучае нормального распределения данных.
Поэтому исследуем законраспределения исходного ряда.
/>
Рис. 2. Гистограммараспределения исходного ряда
По полученной гистограмме,не похожей на колокол, и статистическим показателям видно (рис. 2), что данныераспределены не по нормальному закону: куртозис равен 1,87, что существенноменьше трёх. Поскольку закон распределения отличен от нормального, для проверкигипотезы о стационарности ряда провести параметрические тесты нельзя, ипридётся ограничиться непараметрическими тестами.
Сначала с помощью тестаДики – Фуллера проверим, не представляет ли собой исходный ряд процесс случайногоблуждания./>/>/>/>/>/> Тест Дики-Фуллера
Таблица 1. Тест Дики –Фуллера для исходного ряда
/>
Расчётное значение равно-1,407953. Все приведённые в таблице 1 критические значения меньше расчётного.Это значит, что нельзя отклонить гипотезу о том, что рассматриваемый процессимеет характер случайного блуждания.
Таблица 2. Коррелограммаисходного ряда
/>
В таблице 2 представленызначения автокорреляционной и частной корреляционной функций исходного ряда.Все значения коэффициентов автокорреляции исходного ряда выходят за пределыдоверительной трубки, постепенно уменьшаясь. Первый коэффициент частнойавтокорреляции выходит за пределы доверительной трубки, а последующие находятсяв её пределах (за исключением десятого). Подобный вид автокорреляционной ичастной корреляционной функций означает, что наилучшим образом процессописывается моделью авторегрессии первого порядка.
Если для исходного рядапостроить модель АR(1), то будутполучены результаты, представленные в таблице 3.
Таблица 3. Модель AR(1) для исходного ряда
/>
Процесс, в соответствии сданной моделью будет описываться следующим уравнением:
/>
/>
Коэффициент при /> равен0,998908, то есть почти единице. Данное обстоятельство является свидетельствомтого, что процесс может носить характер случайного блуждания, что подтверждаютрезультаты теста Дики – Фуллера.
Однако для полнотыпредставления об исходном процессе целесообразно провести и другие тесты./>/>/>/>/>/>/> Тест Вальда–Вольфовитца (на постоянствоматематического ожидания)
В ходе проведения теста вряду было выявлено девять серий, самая длинная из которых состоит из 157элементов.
Но, согласно тесту, длятого, чтобы математическое ожидание ряда было постоянным, длина самой длиннойсерии должна быть меньше />; и количество серий должно бытьбольше
/>.
Оба условия невыполняются. Тест Вальда–Вольфовитца позволяет отклонить гипотезу о постоянствематематического ожидания ряда./>/>/>/>/>/>Тест Манна–Уитни на постоянствоматематического ожидания
T1 = 150 – количество элементов в первой части ряда;
T2 = 215 – количество элементов во второй части ряда;
R1 = 43274 – сумма рангов, присвоенных элементам изпервой части ряда
/>
В соответствии с тестомМанна–Уитни гипотеза о постоянстве математического ожидания отклоняется./>/>/>/>/>/> Тест Сиджела–Тьюки на постоянство дисперсии
T1 = 150 – количество элементов в первой части ряда;
T2 = 215 – количество элементов во второй части ряда;
R1 = 23112 – сумма рангов, присвоенных элементам изпервой части ряда
/>
В соответствии с тестомСиджела–Тьюки гипотеза о постоянстве дисперсии отклоняется.
Итак, исходный ряд неявляется стационарным и для дальнейшего исследования должен быть преобразован./>/>/>/>/>/>Конечныеразности
Иные рассмотренныепреобразования исходного ряда и причины отказа от них представлены в приложении2.
Лучше всего изменениекурса акций описывает полином третьей степени (линейная функция />, коэффициентдетерминации равен 45,06%, то есть линейная функция описывает 45,06%изменчивости процесса; полином второй степени />, коэффициент детерминации равен68,77%, то есть полином второй степени описывает 68,77% изменчивости процесса).Коэффициент детерминации равен 72,49%, то есть полиномом третьей степениописано 72,49% изменчивости процесса во времени. На рис. 3 представлен график,демонстрирующий соответствие полинома третьей степени изменчивости процесса вовремени:
/>
Рис. 3. Полином третьейстепени в сравнении с динамикой исходного ряда
Поскольку наилучшимобразом ряд описан полиномом третьей степени, в качестве преобразованияисходного ряда следует избрать третьи конечные разности:
/>
/>
Рис. 4. График третьихконечных разностей
Как видно на графике(рис. 3), значения третьих конечных разностей колеблются около нуля. Наибольшиеотклонения значений от нуля наблюдаются ближе к середине рассматриваемого периода,но в его начале и конце они малы и примерно одинаковы. Вероятно, математическоеожидание полученного ряда окажется постоянным, а о постоянстве дисперсии пографику судить сложно.
Проверим, не образовал лиряд третьих конечных разностей процесс случайного блуждания. Для этого проведёмтест Дики – Фуллера./>/>/>/>/>/> Тест Дики–Фуллера
Таблица 4. ТестДики–Фуллера для ряда третьих конечных разностей
/>
Статистика Дики–Фуллераравна -13,27932. Все приведённые в таблице критические значения большерасчётного, максимальный уровень значимости, при котором можно отклонитьгипотезу случайного блуждания – 0, поэтому гипотеза о наличии у процессахарактера случайного блуждания отклоняется./>/>/>/>/>/> Закон распределения полученного ряда
Как видно из гистограммы,имеющей более вытянутую по вертикали форму, чем характерная для нормальногораспределения, и статистических показателей (рис. 5), распределение полученногоряда отлично от нормального: хотя коэффициент асимметрии равен 0,6, что близкок нулю и говорит о симметричности распределения относительно среднего значения,куртозис равен 11,918, что существенно больше трёх. Поскольку законраспределения не является нормальным, для проверки гипотезы о стационарностиполученного ряда параметрические тесты неприменимы, и необходимо провестинепараметрические тесты.
/>
Рис. 5. Гистограммараспределения ряда третьих конечных разностей
/>/>/>/>/>/>ТестВальда–Вольфовитца на постоянство математическогоожидания
При проведении теста вряду была обнаружена 271 серия, самая длинная из которых состоит из 4 элементов.
Согласно тесту, для того,чтобы математическое ожидание ряда было постоянным, длина самой длинной сериидолжна быть меньше />; и количество серий должно бытьбольше
/>.
Оба условия выполняются. Согласнотесту Вальда–Вольфовитца гипотеза о постоянстве математического ожидания рядане может быть отклонена./>/>/>/>/>/>Тест Манна – Уитни на постоянствоматематического ожидания
T1 = 150 – количество элементов в первой части ряда;
T2 = 212 – количество элементов во второй части ряда;
R1 = 26982 – сумма рангов, присвоенных элементам изпервой части ряда
/>, />
В соответствии с тестомМанна–Уитни гипотеза о постоянстве математического ожидания не может быть отклонена./>/>/>/>/>/>Тест Сиджела–Тьюки на постоянстводисперсии
T1 = 150 – количество элементов в первой части ряда;
T2 = 212 – количество элементов во второй части ряда;
R1 = 26479 – сумма рангов, присвоенных элементам изпервой части ряда
/>, />
Согласно тестуСиджела–Тьюки гипотеза о постоянстве дисперсии не может быть отклонена.
Итак, полученный рядможно рассматривать как стационарный./>/>/>/>/>/> Эконометрические модели для конечныхразностей/>/>/>/> Идентификация модели
Изучив вид автокорреляционнойи частной автокорреляционной функций ряда (таблица 5), полученного с помощьюконечных разностей, можно предположить, какая модель наилучшим образом будет описыватьпроцесс.
Таблица 5. Коррелограммаряда третьих конечных разностей
/>
Первые два коэффициентаавтокорреляции ряда выходят за пределы доверительной трубки. Коэффициентычастной корреляции, вплоть до одиннадцатого включительно также выходят запределы доверительной трубки, а их значения уменьшаются вплоть до шестоговключительно.
Таблица 6. Критическиезначения для Q-Stat при уровне значимости 0,05
t 1 2 3 4 5 6 Критическое значение 3,84146 5,99146 7,81473 9,48773 11,0705 12,5916 t 7 8 9 10 11 12 Критическое значение 14,0671 15,5073 16,919 18,307 19,6751 21,0261
Критические значения,представленные в таблице 6, представляют собой квантиль хи квадратраспределения уровня значимости 0,05 со степенями свободы, равными количествувключаемых лагов («t» в таблице). Всезначения Q-Stat (таблица 5) для ряда, полученного из исходного спомощью конечных разностей, превышают соответствующие критические значения(таблица 6). Это свидетельствует о наличии автокорреляции в полученном ряду,что позволит построить по нему модель, где в роли регрессоров выступаютпредыдущие значения ряда либо предыдущие значения ошибок модели.
Подобный видавтокорреляционной и частной автокорреляционной функций (таблица 5) характерендля моделей скользящего среднего второго порядка.
Поскольку ряд конечныхразностей имеет распределение, отличное от нормального, критерий Стьюдента дляопределения статистической значимости коэффициентов в моделях использован бытьне может.
/>/>/>/>/>/>МА(2)
Таблица 7. Модель МА(2)
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
S.D. = 2,258957 > 0,909794 = S.E, то есть модельснижает дисперсию процесса.
Таблица 8. Автокорреляцияостатков модели МА(2)
/>
Коэффициентыавтокорреляции и частной автокорреляции ошибки модели (таблица 8), за исключениемдесятого, находятся в пределах доверительной трубки.
Все значения Q-Stat (таблица 8), вплоть до девятого включительно, меньшекритических значений. В частности, девятое значение Q-Stat равно 16,094, что меньше критическогозначения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулюпервых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки.
Десятое значение Q-Stat равно 26,59, что превышает критическое значение (18,307). Отсюдаследует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентов автокорреляцииошибки.
/>Поскольку первые девять коэффициентов автокорреляции ошибкимодели статистически равны нулю, можно считать, что выход за пределыдоверительной трубки значения десятого коэффициента автокорреляции ошибкивызван наведённой корреляцией.
Исходя из видаавтокорреляционной и частной корреляционной функций ошибки модели, а такжезначений Q-Stat, можно сделать вывод об отсутствии автокорреляцииошибки модели.
Среднее значение ошибкимодели равно -0,026812, что близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибкиравно 0,9081.
Таким образом, ошибкамодели представляет собой «белый шум».
Таблица 9. Автокорреляцияквадратов остатков модели МА(2)
/>
Значения не всехкоэффициентов автокорреляции квадратов ошибки (таблица 9) находятся в пределахдоверительной трубки: в частности, первое, третье, четвёртое, девятое и десятоезначения коэффициентов автокорреляции квадратов ошибки выходят за пределыдоверительной трубки. Первое значение Q-Stat (9,0138) уже превышает критическое(3,84146). Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первогокоэффициента автокорреляции квадратов ошибки модели. Итак, квадраты остатковмодели коррелированны.
Нельзя утверждать, чтоименно МА(2) лучшим образом описывает процесс. Поэтому для сравнения далее будутрассмотрены близкие к МА(2) модели, содержащие один дополнительный регрессор: МА(3)и ARMA(1, 2)./>/>/>/>/> МА(3)
Таблица 10. Модель МА(3)
/>
Процесс в соответствии сданной моделью описывается уравнением:
/>
S.D.= 2,25896 > 0,90919 = S.D., то есть модельснизила дисперсию процесса.
Таблица 11. Автокорреляцияостатков модели МА(3)
/>
Все значениякоэффициентов автокорреляции и частной корреляции ошибки модели, за исключениемдесятого, находятся в пределах доверительной трубки. Все значения Q-Stat вплоть до девятого включительно меньше критических значений.
Девятое значение Q-Stat составляет 16,622, что меньше критического значения,равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезу о равенстве нулю первыхдевяти коэффициентов автокорреляции ошибки. Десятое значение Q-Stat равно 25,49, что превышает критическое значение (18,307).Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного из первых десяти коэффициентовкорреляции ошибки.
Поскольку первые девятькоэффициентов автокорреляции ошибки модели статистически равны нулю, можносчитать, что выход значения десятого коэффициента автокорреляции ошибки запределы доверительной трубки вызван наведённой корреляцией.
На основании значенийкоэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции ошибки, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод о некоррелированности ошибки модели.
Среднее значение ошибкиравно -0,043354, что близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибкиравно 0,9056.
Значит, ошибка моделипредставляет собой «белый шум».
Таблица 12.Автокорреляция квадратов остатков модели МА(3)
/>
Некоторые значения (вчастности, первое, третье, четвёртое, девятое и десятое) коэффициентовавтокорреляции и коэффициентов частной корреляции квадратов ошибки модели МА(3)выходят за пределы доверительной трубки (таблица 12). Первое значение Q-Stat (6,2798) уже превышает критическое (3,84146).Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первого коэффициентаавтокорреляции квадратов ошибки модели. Итак, квадраты остатков модели коррелированны.
Сравним модель МА(3) смоделью МА(2). Для этого можно применить критерий Акайке и критерий Шварца,оценивающие качество модели по её соответствию описываемому процессу и поколичеству включённых в неё регрессоров. Лучшая модель характеризуется меньшимизначениями критериев.
Значение критерия Акайкедля МА(3) равно 2,655727, а значение критерия Шварца для МА(3) 2,687979, в товремя как для МА(2) значение критерия Акайке равно 2,654312, а значениекритерия Шварца 2,675813. Кроме того, МА(2) включает в себя меньшее числорегрессоров.
Хотя среднеквадратическоеотклонение ошибки МА(3) меньше, чем среднеквадратическое отклонение ошибкиМА(2), разница (0,0025) несущественна, и не может служить основанием для выборамодели МА(3).
Модель МА(3) не избавилаквадраты остатков от автокорреляции, наблюдавшейся в модели МА(2).
По перечисленнымоснованиям модель МА(2) предпочтительнее модели МА(3)./>/> ARMA(1, 2)
Таблица 13. Модель ARMA(1, 2)
/>
Процесс в соответствии сданной моделью описывается уравнением:
/>
S.D.=2,262092>0,910195=S.E., то есть,модель снижает дисперсию процесса.
Таблица 14.Автокорреляция остатков модели ARMA(1,2)
/>
Все значениякоэффициентов автокорреляции и частной корреляции ошибки модели (таблица 14),за исключением десятого, находятся в пределах доверительной трубки. Все значенияQ-Stat (таблица 14) вплоть до девятого включительно меньшекритических значений. В частности, Q-Stat для 9 лага составляет 15,383, чтоменьше критического значения, равного 16,919. Поэтому нельзя отклонить гипотезуо равенстве нулю первых девяти коэффициентов автокорреляции ошибки. Q-Stat для 10 лага равна 25,49, что превышает критическоезначение (18,307). Отсюда следует вывод о неравенстве нулю хотя бы одного изпервых десяти коэффициентов корреляции ошибки.
Поскольку первые девятькоэффициентов автокорреляции ошибки модели статистически равны нулю, можносчитать, что выход значение десятого коэффициента автокорреляции ошибки запределы доверительной трубки вызван наведённой корреляцией.
На основании значенийкоэффициентов автокорреляции и частной автокорреляции ошибки, а также значений Q-Stat, можно сделать вывод о некоррелированности ошибки модели.
Среднее значение ошибкиравно -0,0402, что близко к нулю. Среднеквадратическое отклонение ошибки моделиравно 0,9068.
Значит, ошибка моделипредставляет собой «белый шум».
Таблица 15.Автокорреляция квадратов остатков модели ARMA(1, 2)
/>
Некоторые (в частности,первое, третье, четвёртое, девятое и десятое) значения коэффициентов корреляциии частной корреляции (таблица 15) квадратов ошибки модели ARMA(1, 2) выходят за пределыдоверительной трубки. Первое значение Q-Stat (7,2141) уже превышает критическое(3,84146). Следовательно, нельзя принять гипотезу о равенстве нулю первогокоэффициента автокорреляции квадратов ошибки модели.
Сравним модели МА(2) и ARMA(1, 2).
Значение критерия Акайкедля ARMA(1, 2) равно 2,65796, а значениекритерия Шварца для ARMA(1, 2) 2,690277,в то время как для МА(2) значение критерия Акайке равно 2,654312, а значениекритерия Шварца 2,675813. Кроме того МА(2) включает в себя меньшее числорегрессоров. Хотя среднеквадратическое отклонение ошибки ARMA(1, 2) меньше, чемсреднеквадратическое отклонение ошибки МА(2), разница (0,0013) несущественна, ине может служить основанием для выбора модели ARMA(1, 2). Модель ARMA(1, 2) не сняла коррелированность квадратов остатков.
По этим причинам модельМА(2) предпочтительнее модели ARMA(1,2).
Итог: модель МА(2)оказалась более предпочтительной, чем модели МА(3) и ARMA(1, 2). При этом она характеризуется коррелированнымиквадратами остатков, поэтому целесообразно рассмотреть соответствующую еймодель типа ARCH./>/>/>/>/>/> Модели типа ARCH: MA(2)ARCH(5)
Данная модель оказаласьлучшей (поскольку все коэффициенты в уравнении дисперсии положительны, изначение критериев Акайке (2,322696) и Шварца (2,408699) наименьшие: такжеположительные коэффициенты в модели дисперсии ошибки были у моделей MA(2)ARCH(7) и MA(2)ARCH(4), но MA(2)ARCH(7)характеризовалась значениями критерия Акайке 2,406429 и критерия Шварца 2,513933, а у MA(2)ARCH(4) – критерий Акайке равен 2,406429, критерий Шварца 2,513933)среди аналогичных моделей MA(2)ARCH – эти модели и причины отказа от нихрассмотрены в приложении 2.
Таблица 16. Модель MA(2)ARCH(5)
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
А уравнение,характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:
/>
/>
Поскольку всекоэффициенты в модели дисперсии ошибки положительны, дисперсия ошибки будетпринимать только положительные значения, что соответствует смыслу показателя.
S.E. = 0,965396
То есть модель снижаетдисперсию процесса.
/>
Рис. 6. Законраспределения ошибки модели MA(2)ARCH(5)
Гистограмма распределенияошибки (рис. 6) модели MA(2)ARCH(5) напоминает колокол нормальногораспределения, но, судя по статистическим показателям, распределение ошибкиотлично от нормального: куртозис равен 4,68, что значительно превышает 3. Поэтомунельзя использовать параметрические тесты для определения статистической значимостирегрессоров модели дисперсии ошибки.
Таблица 17. Автокорреляцияошибки модели MA(2)ARCH(5)
/>
Первый, третий и десятыйкоэффициенты автокорреляции ошибки и частной корреляции ошибки выходят запределы доверительной трубки. Уже первое значение Q-Stat (5,0945)превышает критическое (3,84146), что свидетельствует о невозможности принятьгипотезу о равенстве нулю первого коэффициента автокорреляции ошибки модели.Таким образом, ошибка данной модели коррелированна.
Таблица 18. Автокорреляцияквадратов ошибки модели MA(2)ARCH(5)
/>
Двенадцатое расчётноезначение Q-Stat равно 15,274, в то время как критическое значениесоставляет 21,0261. Поскольку расчётное значение меньше критического, нельзяотклонить гипотезу о равенстве нулю первых двенадцати коэффициентовавтокорреляции квадратов ошибки. Таким образом, квадраты ошибки модели можносчитать некоррелированными.
То есть данная модельизбавила модель МА(2) от автокорреляции квадратов ошибок. Более того, значениекритерия Акайке в данной модели составляет 2,322696, а значение критерия Шварца2,408699, в то время как для МА(2) значения критериев соответственно равны2,654312 и 2,675813.
Но при этом модель MA(2)ARCH(5) характеризуется автокоррелированной ошибкой, в товремя как ошибка модели МА(2) представляет собой «белый шум».
Итак, более «ценным» длянас является отсутствие автокорреляции в ряду ошибки, чем отсутствиеавтокорреляции в ряду квадратов ошибки. Согласно тесту Сиджела–Тьюки дисперсияисследуемого ряда признана постоянной, а модель MA(2)ARCH(5)задаёт уравнение её изменения во времени. То есть, MA(2)ARCH(5)не может быть адекватна процессу, и лучшей из рассмотренных моделей признаётсяМА(2)./>/>/>/>/>/> Соответствие модели МА(2) данным
В таблице 19 представленыданные, рассчитанные по модели МА(2), на последние десять временных периодов ифактические значения ряда конечных разностей.
Таблица 19. Рассчитанныепо модели МА(2) и фактические значения ряда конечных разностейДата МА(2) Конечные разности 22.12.2010 0,351424 0,35 23.12.2010 -0,207641 0,11 24.12.2010 -0,623400 -0,7175 25.12.2010 0,473950 0,3975 26.12.2010 0,081419 27.12.2010 0,079003 28.12.2010 0,135444 0,1475 29.12.2010 -0,230865 -0,4475 30.12.2010 0,530154 0,4 31.12.2010 0,025743 0,24
Полученные по моделизначения в конце периода близки к фактическим значениям конечных разностей. Дляоценки адекватности данным более наглядным будет использование графика.
Как видно на графике(рис. 7), значения, полученные по модели, близки к фактическим значениямконечных разностей третьего порядка, но «опаздывают» на один шаг – особенно заметныотличия в середине ряда, где фактические значения сильнее отклоняются от своегосреднего значения. Это связано с тем, что модель скользящего среднего строитсяпо ошибкам прошлых периодов, поэтому в случае резкого скачка в исходных данныхмодель не сможет его предугадать, и в следующем периоде будет полученозначение, близкое к «скачку». Следует отметить, что в конце периода фактическиезначения не сильно отклоняются от своего среднего, и данные, рассчитанные помодели, близки к фактическим. Это позволяет рассчитывать на адекватный прогнозпо модели.
/>
Рис. 7. Конечные разноститретьего порядка и модель МА(2)/>/>/> Прогноз по МА(2)
Прогноз по модели МА(2)считается как />, где i – номер прогнозируемого периода. Поскольку модельскользящего среднего строится по ошибкам, прогноз можно построить наограниченный период времени: будущие ошибки неизвестны и не могут быть использованыв расчётах. В частности, для модели МА(2) прогноз может быть построен на двапериода. Результаты представлены в таблице 20.
Таблица 20. Прогнозныезначения конечных разностейДата Прогноз 01.01.2011 -0,544291 02.01.2011 0,205299 />/>/>/>/>/> Возврат к исходномуряду
В соответствии с модельюМА(2) процесс описывается уравнением:
/>
С другой стороны:
/>
Объединим два уравнения водно и перенесём регрессоры в одну сторону:
/>
В соответствии сполученной моделью рассчитаны данные для исходного ряда. В таблице 21 представленырезультаты для последних десяти дней 2010 года.
Таблица 21.Смоделированный и фактический курс акций British Petroleum за 22-31 декабря 2010 годаДата Фактические данные Модель 22.12.2010 43,61 43,61142431 23.12.2010 44,00 43,68235904 24.12.2010 44,00 44,08660048 25.12.2010 44,00 44,08395011 26.12.2010 44,00 44,08141926 27.12.2010 43,97 44,07900268 28.12.2010 44,11 44,04544419 29.12.2010 43,95 44,18913526 30.12.2010 43,89 44,02015424 31.12.2010 44,17 43,95574309
/>/>
Более нагляднопредставление модели и фактических данных в виде графика – рис. 8.
/>
Рис. 8. Смоделированный ифактический курс акций British Petroleum за 2010год
В начальном периоде(примерно до середины января) модель заметно отклоняется от фактических данных,но в дальнейшем графики модели и фактических значений становятся почтинеразличимыми. Это свидетельствует о том, что построенная модель
/>
хорошо описывает процессизменения курса акций British Petroleum./>/>/>Прогнозкурса акций British Petroleum на 1 и 2 января 2011 года
С помощью Eviews был получен прогноз для модели МА(2)для конечных разностей. То есть, были рассчитаны значения />, где i – это номер прогнозируемого дня, а t равно 365.
Таким образом, прогноз напервое января, в соответствии с моделью для исходного ряда считается поформуле: />
Для прогноза на один деньдостаточно всей имеющейся информации. Такой прогноз является безусловным, и онокажется наиболее точным, поскольку зависит только от уже известных данных.
Прогноз на 01.01.2011будет обладать ошибкой. При подстановке полученного значения /> в формулу для расчёта /> (/>) в вычислениябудет включена и ошибка прогноза />. Более того, в силу стоящегоперед /> коэффициента,значение ошибки утроится, что повлечёт возрастание неточности прогноза для />.
После подстановки формулыдля расчёта /> всоответствующую формулу для /> и приведения подобных членов онапримет вид:
/>.
То есть, на утроеннуюошибку, «унаследованную» от прогноза на 01.01.2011, накладывается новая ошибка,вызванная появлением />.
Таким образом, прогноз на02.01.2011 характеризуется значительно большей ошибкой, чем прогноз на01.01.2011. То есть точность прогноза на 02.01.2011, по сравнению с прогнозомна 01.01.2011, уменьшится.
На момент написаниякурсовой работы курс акций British Petroleum на 1 и 2 января2011 года уже известен, поэтому можно сравнить получившиеся прогнозные иреальные значения.
Таблица 22. Апостериорноесравнение спрогнозированного и фактического курса акцийДата Прогноз Фактическое значение 01.01.2011 44,2457091 44,17 02.01.2011 44,3224263 45,15
Как видно из таблицы,прогноз оказался довольно-таки точным. Фактическая ошибка прогноза на первоеянваря составила -0,0757, а на второе января 0,82757. То есть, как и ожидалось,ошибка прогноза на первое января оказалась небольшой, а ошибка прогноза навторое января значительно её превысила.
/>/>/>/>/>/>Заключение
В данной работе послеисследования данных о курсе акций British Petroleum запериод с 01.01.2010 по 31.12.2010 и приведения ряда данных к стационарному спомощью конечных разностей третьего порядка было построено несколько моделей.Из них была выбрана лучшая (МА(2)), характеризующаяся наличием автокорреляцииквадратов остатков. Соответствующая ей модель типа ARCH избавила модель от коррелированности квадратов остатков,но сама характеризовалась коррелированной ошибкой. Кроме того, в силу выявленноготестом Сиджела – Тьюки постоянства дисперсии процесс предпочтительнее описыватьмоделью с постоянной дисперсией ошибки. По этим причинам лучшей из всехрассмотренных моделей была признана МА(2).
По ней был построенпрогноз на два дня, а именно на 01.01.2011 и 02.01.2011. При этом ошибка прогнозана 01.01.2011 ожидалась меньшей, чем ошибка прогноза на 02.01.2011. Вдальнейшем апостериорное сравнение прогноз с реальными данными подтвердило априорныепредположения относительно прогноза.
Итак, полученная модель /> хорошо описываетпроцесс и позволяет строить реалистичный прогноз на два дня, причём прогноз напервый день оказывается значительно более точным. Подобные модели(основывающиеся на длинных рядах и дающие адекватный прогноз на один временнойпериод) характерны для финансовой эконометрики, изучающей, помимо всего прочего,и курсы акций.
/>/>/>/>/>/>Список источников
1. www.bp.com
2. Тихомиров Н.П.,Дорохина Е.Ю. «Эконометрика», издательство «Экзамен», Москва, 2003
3. Магнус Я.Р.,Катышев П.К., Пересецкий А.А. «Эконометрика. Начальный курс», издательство«Дело», Москва, 2005
/>/>/>/>/>/>Приложение 1Исходные данные
Использованные в курсовойработе данные взяты с сайта www.bp.com. В качестве данных за субботу использованы данные запятницу, в качестве данных за воскресенье – данные за понедельник. Данные запериод, соответствующий рождественским праздникам (24-26 декабря), рассчитаныкак линейная аппроксимация.Дата Цена акций, $ Дата Цена акций, $ Дата Цена акций, $ Дата Цена акций, $ 01.01.2010 58,15 03.04.2010 57,74 04.07.2010 29,35 04.10.2010 40,82 02.01.2010 58,34 04.04.2010 58,51 05.07.2010 31,91 05.10.2010 41,33 03.01.2010 58,52 05.04.2010 58,51 06.07.2010 31,91 06.10.2010 41,61 04.01.2010 58,71 06.04.2010 59,36 07.07.2010 33,12 07.10.2010 41,52 05.01.2010 58,89 07.04.2010 58,78 08.07.2010 33,74 08.10.2010 41,92 06.01.2010 59,08 08.04.2010 58,97 09.07.2010 34,05 09.10.2010 41,92 07.01.2010 59,26 09.04.2010 59,46 10.07.2010 34,05 10.10.2010 41,24 08.01.2010 59,45 10.04.2010 59,46 11.07.2010 36,76 11.10.2010 41,24 09.01.2010 59,63 11.04.2010 59,34 12.07.2010 36,76 12.10.2010 41,26 10.01.2010 59,82 12.04.2010 59,34 13.07.2010 36,88 13.10.2010 41,41 11.01.2010 60,00 13.04.2010 59,29 14.07.2010 36,18 14.10.2010 41,02 12.01.2010 61,50 14.04.2010 60,00 15.07.2010 38,92 15.10.2010 40,62 13.01.2010 61,80 15.04.2010 60,57 16.07.2010 37,10 16.10.2010 40,62 14.01.2010 61,73 16.04.2010 59,88 17.07.2010 37,10 17.10.2010 41,49 15.01.2010 61,64 17.04.2010 59,88 18.07.2010 35,75 18.10.2010 41,49 16.01.2010 61,64 18.04.2010 59,48 19.07.2010 35,75 19.10.2010 40,94 17.01.2010 61,64 19.04.2010 59,48 20.07.2010 35,20 20.10.2010 41,10 18.01.2010 62,32 20.04.2010 60,48 21.07.2010 36,13 21.10.2010 40,65 19.01.2010 62,32 21.04.2010 60,09 22.07.2010 36,23 22.10.2010 40,50 20.01.2010 61,06 22.04.2010 59,55 23.07.2010 38,86 23.10.2010 40,50 21.01.2010 59,57 23.04.2010 59,88 24.07.2010 38,86 24.10.2010 40,21 22.01.2010 57,87 24.04.2010 59,88 25.07.2010 38,65 25.10.2010 40,21 23.01.2010 57,87 25.04.2010 57,91 26.07.2010 38,65 26.10.2010 40,65 24.01.2010 58,55 26.04.2010 57,91 27.07.2010 38,00 27.10.2010 40,10 25.01.2010 58,55 27.04.2010 56,33 28.07.2010 37,71 28.10.2010 40,60 26.01.2010 58,49 28.04.2010 57,34 29.07.2010 38,47 29.10.2010 40,83 27.01.2010 58,06 29.04.2010 52,56 30.07.2010 38,47 30.10.2010 40,83 28.01.2010 57,33 30.04.2010 52,15 31.07.2010 38,47 31.10.2010 40,77 29.01.2010 56,12 01.05.2010 52,15 01.08.2010 39,42 01.11.2010 40,77 30.01.2010 56,12 02.05.2010 50,19 02.08.2010 39,42 02.11.2010 41,42 31.01.2010 57,23 03.05.2010 50,19 03.08.2010 40,00 03.11.2010 42,37 01.02.2010 57,23 04.05.2010 51,20 04.08.2010 39,39 04.11.2010 43,91 02.02.2010 55,46 05.05.2010 50,99 05.08.2010 40,68 05.11.2010 43,79 03.02.2010 55,17 06.05.2010 50,40 06.08.2010 41,33 06.11.2010 43,79 04.02.2010 53,48 07.05.2010 49,06 07.08.2010 41,33 07.11.2010 43,23 05.02.2010 53,18 08.05.2010 49,06 08.08.2010 40,86 08.11.2010 43,23 06.02.2010 53,18 09.05.2010 48,80 09.08.2010 40,86 09.11.2010 43,00 07.02.2010 52,43 10.05.2010 48,80 10.08.2010 40,13 10.11.2010 43,53 08.02.2010 52,43 11.05.2010 48,74 11.08.2010 38,79 11.11.2010 43,68 09.02.2010 53,61 12.05.2010 48,50 12.08.2010 38,38 12.11.2010 42,99 10.02.2010 53,65 13.05.2010 48,10 13.08.2010 38,93 13.11.2010 42,99 11.02.2010 54,80 14.05.2010 46,87 14.08.2010 38,93 14.11.2010 43,04 12.02.2010 54,67 15.05.2010 46,87 15.08.2010 38,40 15.11.2010 43,04 13.02.2010 54,67 16.05.2010 45,57 16.08.2010 38,40 16.11.2010 41,78 14.02.2010 54,67 17.05.2010 45,57 17.08.2010 38,05 17.11.2010 41,60 15.02.2010 55,95 18.05.2010 45,38 18.08.2010 37,30 18.11.2010 42,21 16.02.2010 55,95 19.05.2010 45,27 19.08.2010 36,24 19.11.2010 42,03 17.02.2010 54,24 20.05.2010 44,60 20.08.2010 36,40 20.11.2010 42,03 18.02.2010 54,74 21.05.2010 43,86 21.08.2010 36,40 21.11.2010 41,64 19.02.2010 54,30 22.05.2010 43,86 22.08.2010 36,12 22.11.2010 41,64 20.02.2010 54,30 23.05.2010 41,86 23.08.2010 36,12 23.11.2010 40,89 21.02.2010 54,25 24.05.2010 41,86 24.08.2010 34,92 24.11.2010 41,47 22.02.2010 54,25 25.05.2010 42,56 25.08.2010 35,25 25.11.2010 41,47 23.02.2010 53,22 26.05.2010 42,41 26.08.2010 35,42 26.11.2010 41,00 24.02.2010 53,58 27.05.2010 45,38 27.08.2010 35,56 27.11.2010 41,00 25.02.2010 52,89 28.05.2010 42,95 28.08.2010 35,56 28.11.2010 40,59 26.02.2010 53,21 29.05.2010 42,95 29.08.2010 35,26 29.11.2010 40,59 27.02.2010 53,21 30.05.2010 42,95 30.08.2010 35,26 30.11.2010 40,00 28.02.2010 53,98 31.05.2010 36,52 31.08.2010 34,83 01.12.2010 40,62 01.03.2010 53,98 01.06.2010 36,52 01.09.2010 36,16 02.12.2010 41,32 02.03.2010 54,00 02.06.2010 37,66 02.09.2010 36,57 03.12.2010 41,49 03.03.2010 54,86 03.06.2010 39,25 03.09.2010 37,43 04.12.2010 41,49 04.03.2010 55,09 04.06.2010 37,16 04.09.2010 37,43 05.12.2010 42,81 05.03.2010 55,78 05.06.2010 37,16 05.09.2010 37,43 06.12.2010 42,81 06.03.2010 55,78 06.06.2010 36,76 06.09.2010 37,19 07.12.2010 42,89 07.03.2010 56,17 07.06.2010 36,76 07.09.2010 37,19 08.12.2010 43,27 08.03.2010 56,17 08.06.2010 34,66 08.09.2010 38,37 09.12.2010 42,79 09.03.2010 56,04 09.06.2010 29,20 09.09.2010 38,02 10.12.2010 43,24 10.03.2010 56,19 10.06.2010 32,78 10.09.2010 38,22 11.12.2010 43,24 11.03.2010 56,60 11.06.2010 33,97 11.09.2010 38,22 12.12.2010 43,43 12.03.2010 56,86 12.06.2010 33,97 12.09.2010 38,35 13.12.2010 43,43 13.03.2010 56,86 13.06.2010 30,67 13.09.2010 38,35 14.12.2010 44,44 14.03.2010 56,58 14.06.2010 30,67 14.09.2010 38,52 15.12.2010 43,86 15.03.2010 56,58 15.06.2010 31,39 15.09.2010 38,18 16.12.2010 43,75 16.03.2010 57,18 16.06.2010 31,85 16.09.2010 38,27 17.12.2010 43,25 17.03.2010 58,15 17.06.2010 31,71 17.09.2010 38,03 18.12.2010 43,25 18.03.2010 58,15 18.06.2010 31,76 18.09.2010 38,03 19.12.2010 43,68 19.03.2010 57,69 19.06.2010 31,76 19.09.2010 38,68 20.12.2010 43,68 20.03.2010 57,69 20.06.2010 30,33 20.09.2010 38,68 21.12.2010 43,54 21.03.2010 57,35 21.06.2010 30,33 21.09.2010 38,59 22.12.2010 43,61 22.03.2010 57,35 22.06.2010 29,68 22.09.2010 38,09 23.12.2010 44,00 23.03.2010 57,95 23.06.2010 29,67 23.09.2010 38,13 24.12.2010 43,99 24.03.2010 57,23 24.06.2010 28,74 24.09.2010 38,46 25.12.2010 43,99 25.03.2010 56,53 25.06.2010 26,97 25.09.2010 38,46 26.12.2010 43,98 26.03.2010 56,69 26.06.2010 26,97 26.09.2010 38,71 27.12.2010 43,97 27.03.2010 56,69 27.06.2010 27,05 27.09.2010 38,71 28.12.2010 44,11 28.03.2010 56,89 28.06.2010 27,05 28.09.2010 39,29 29.12.2010 43,95 29.03.2010 56,89 29.06.2010 27,67 29.09.2010 40,00 30.12.2010 43,89 30.03.2010 56,83 30.06.2010 28,88 30.09.2010 41,17 31.12.2010 44,17 31.03.2010 57,07 01.07.2010 29,39 01.10.2010 41,95
01.04.2010 57,74 02.07.2010 29,35 02.10.2010 41,95
02.04.2010 57,74 03.07.2010 29,35 03.10.2010 40,82
/>/>/>/>/>/>Приложение 2Преобразованияисходного ряда
Деление на тренд
Тренд, описывающийисходный ряд:
/>
Преобразованиезаключается в делении фактическое значение на соответствующее ему трендовоезначение.
Проверю, не представляетли собой данный ряд процесс случайного блуждания, для чего проведу тест Дики–Фуллера.
/>
Значение статистикиДики-Фуллера превышает все приведённые в таблице критические значения. Этозначит, что гипотеза о том, что ряд носит характер случайного блуждания, отвергнутабыть не может.
Если построить по данномуряду модель АР(1), то будут получены результаты:
/>
Согласно данной моделипроцесс описывается уравнением
/>
Коэффициент при />предыдущемзначении ряда в модели равен 0,9994, то есть, почти единице, чтосвидетельствует о возможном характере случайного блуждания процесса.
Первый коэффициентчастной корреляции выходит за пределы доверительной трубки, а последующиезначения коэффициентов частной корреляции, за исключением девятого и, можетбыть, десятого – находятся в пределах доверительной трубки. При этом значениякоэффициентов автокорреляции ряда выходят за пределы доверительной трубки и, сростом лага, постепенно уменьшаются. Вид автокорреляционной и частнойкорреляционной функций для данного ряда говорит о том, что лучшей моделью дляданного ряда, вероятнее всего, будет ар(1).
/>
Всё это говорит, чтогипотезу о том, что данный процесс представляет собой случайное блуждание,отклонить нельзя.
Данное преобразованиенецелесообразно.
В Eviews соответствующаяэтому ряду серия называется «delenie».
Прирост
Прирост рассчитывается поформуле
/>.
Автокорреляция и частнаякорреляция получившегося процесса:
/>
Первые три значениякоэффициента корреляции и частной корреляции находятся в пределах доверительнойтрубки, а соответствующие им значения Q-Stat (0,6565; 1,1608; 2,8199) меньшекритических (3,84146; 5,99146; 7,81473 соответственно), то есть первые три коэффициентаавтокорреляции ряда статистически равны 0.
Четвёртое значение Q-Stat(10,508) уже превышает критическое (9,48773), что означает: среди первыхчетырёх коэффициентов автокорреляции ряда хотя бы один окажется отличным отнуля (при уровне значимости 0,05). Тем не менее, по ряду «прирост» построитьмодель, зависящую от прошлых значений ряда будет проблематично: ведьзависимости текущего значения от предшествующих первых трёх нет, а корреляциячетвёртого, восьмого, девятого и десятого порядков может оказаться наведённой.
Поэтому данноепреобразование ряда не может быть выбрано для дальнейшего исследования.
В Eviews соответствующаяэтому ряду серия называется «prirost».
/>/>/>Приложение 3Модели MA(2)ARCH
В силу построения моделейдля оценки статистической значимости коэффициентов модели дисперсии ошибкиможет быть использован критерий Стьюдента.
Построение моделейданного типа я начала с MA(2)ARCH(9). Статистика для неё представленав таблице:
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
А уравнение,характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:
/>
/>
Модель дисперсии ошибкисодержит отрицательный коэффициент, что недопустимо, так как может повлечьполучение отрицательного значения дисперсии.
Дальше я построила MA(2)ARCH(8):
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
А уравнение,характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:
/>
/>
Модель дисперсии ошибкисодержит отрицательные коэффициенты, что недопустимо, так как может повлечьполучение отрицательного значения дисперсии.
MA(2)ARCH(7):
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
А уравнение,характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:
/>
/>
Все коэффициенты в моделидисперсии положительны, значения критериев Акайке и Шварца меньше, чем длямодели МА(2). Тем не менее, вероятность статистической незначимостикоэффициента при /> равна 0,6975. Возможно, в ходерассмотрения других моделей будет найдена более удачная.
MA(2)ARCH(6):
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
А уравнение,характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:
/>
/>
эконометрическоемоделирование прогноз акция
Модель дисперсии ошибкисодержит отрицательные коэффициенты, что недопустимо, так как может повлечьполучение отрицательного значения дисперсии.
MA(2)ARCH(5):
Модель подробно описана всамой курсовой. Значение критерия Акайке 2,322696, а критерия Шварца 2,408699 –то есть они оба меньше, чем для модели MA(2)ARCH(7).Данная модель так же, как и MA(2)ARCH(7), содержит коэффициент,статистическая значимость которого сомнительна (коэффициент при /> статистически незначим при уровнезначимости не превышающем 0,7321). Поскольку модели MA(2)ARCH(5)и MA(2)ARCH(7), в целом, похожи, выбрать следует MA(2)ARCH(5), так как она содержит меньшее число регрессоров изначения критериев Акайке и Шварца у неё меньше.
MA(2)ARCH(4):
/>
В соответствии с данноймоделью процесс описывается уравнением:
/>
А уравнение,характеризующее дисперсию ошибки, имеет вид:
/>
Эта модельхарактеризуется уже большими значениями критериев Акайке (2,435803) и Шварца(2,511055), по сравнению с MA(2)ARCH(5) (значения критериев Акайке и Шварцасоответственно равны 2,322696 и 2,408699). Поэтому она менее предпочтительна:ведь критерии Акайке и Шварца совмещают оценивание качества модели поадекватности описания ею процесса и по количеству регрессоров, включённых вмодель. Поскольку по сравнению с MA(2)ARCH(5) количество регрессоровсократилось, данная модель более плохого качества, чем MA(2)ARCH(5).Таким образом, среди моделей MA(2)ARCH наилучшей оказалась MA(2)ARCH(5), и она будет рассматриваться в курсовой работе.