Разработка теории радиогеохимического эффекта

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Ахтямов Рустам Расихович РАЗРАБОТКА ТЕОРИИ РАДИОГЕОХИМИЧЕСКОГО ЭФФЕКТА ДИПЛОМНАЯ

РАБОТА Научный руководитель: д. т. н профессор А.И. Филиппов. Стерлитамак Содержание Введение 3 Обозначения 1. Результаты экспериментального исследования радиогеохимического эффекта 1. Описание и способы регистрации радиогеохимического эффекта 2. Примеры экспериментального обнаружения радиогеохимического эффекта 7 1.3.

Выводы 2. Основные уравнения 1. Уравнение неразрывности 2. Закон Фика 3. Уравнение конвективной диффузии 4. Метод характеристик 2.5 Слабые растворы 6. Равновесие по отношению к радиактивному веществу веществу 7. Химический потенциал 3. Разработка теории радиогеохимического эффекта 32 3.1.

Общие предположения теории 2. Математические модели радиогеохимического эффекта 3. Рельзультаты расчетов и их анализ 1. График модели 3.2 Условие возникновения радиогеохимического эффекта 43 Заключение 44 Литература 45 Введение В настоящее время к числу нерешенных проблем в области контроля методами промысловой геофизики за процессами обводнения следует отне-сти выделение коллекторов, заводняемых

закачиваемой водой, по скважи-нам, выходящим из бурения, и по скважинам, обводнившимися в период экс-плуатации закачиваемой или пластовой водой. Перспективным направлением исследований с целью решения этих во-просов является использование эффекта увеличения естественной гамма-активности в заводняемом пласте. Эффект был экспериментально обнаружен более десяти лет назад и получил название «радиогеохимический», он за-ключается в многократном увеличении естественной гамма активности пород в интервале продуктивных

пластов в процессе их обводнения, что проявляет-ся в возникновении аномалий на кривых гамма-каротажа. Из-за недостаточ-ной изученности условий отложения радиоактивных веществ эффект не на-ходит широкого применения. Цель данной работы заключается в разработке теории радиогеохимиче-ского эффекта. Задачи: – анализ экспериментальных исследований опубликованных в печати; – вывод основных уравнений; – формулировка задач математической физики, описываю-щих динамику радиоактивных примесей при вытеснении

нефти во-дой; – решение основных задач и проведение численных расчетов на их основе; – определение условий возникновения радиогеохимического эффекта; – анализ результатов расчетов, исследование зависимости ве-личины эффекта от пористости, коэффициента равновесия раство-ренного вещества между жидкостью и скелетом и от плотности ра-диоактивных примесей в этих средах. Практическая значимость заключается в возможности использования результатов исследования в нефтедобывающей

промышленности . Работа состоит из двух глав. В первой главе описывается радиогеохимический эффект, рассматри-ваются способы регистрации и примеры результатов экспериментального обнаружения радиогеохимического эффекта. Во второй главе вводятся основные понятия и уравнения: уравнение неразрывности, химический потенциал, закон Фика, координаты Эйлера и Лагранжа, слабые растворы и равновесия в них по отношению к растворен-ному веществу, уравнение конвективной диффузии, метод характеристик с рассмотрением частных

случаев. В третьей главе разрабатывается теория эффекта. Здесь строится мате-матическая модель: постановка задач и их решение методом характеристик. Производятся расчёты и на основе их анализа строятся графики, выводится условие возникновения радиогеохимического эффекта. Глава завершается определением выражения для его величины эффекта. Выражаю глубокую признательность за помощь в написании работы профессору

А. И. Филиппову. Обозначения – объем занимаемый порами и скелетом соответственно, м3; – общий объем, м3; – химический потенциал растворенных радиоактивных веществ относительно жидкости и скелета, Дж/кг; , – плотность радиоактивных веществ в насыщающей жидкости и скелете, кг/ м3; – коэффициент массообмена между скелетом и жидкостью, кг2/(Дж м3 с); – скорость фильтрации насыщающей жидкости, м/c. 1. Результаты экспериментального исследования радиогеохимического эффекта

В этой главе приводятся результаты экспериментальных исследований полученных при замерах скважин в период и после их эксплуатации. Прово-дится анализ практических материалов гамма-каротажа , который показыва-ет, что в процессе длительной закачки сточных вод в продуктивные горизон-ты образуются аномалии, связанные с радиогеохимическим эффектом. 1. Описание и способы регистрации радиогеохимического эффек-та В скважинах, обводняющихся вследствие заводнения пластов закачи-ваемой или пластовой водой, с заколонной

циркуляцией и работающих прак-тически без воды, часто наблюдается повышение радиоактивного излучения, достигая максимального значения в интервале контакта нефти с водой. От-сюда такое название - «радиогеохимический эффект». Возникновение гамма-аномалии на границе вода-нефть связано с по-вышением концентрации радиоактивных веществ в пласте, источником кото-рых является неподвижная пористая среда.

Существует несколько способов регистрации радиогеохимического эффекта. Но наиболее точным является гамма-кароттаж скважин. Гамма-кароттаж - это метод исследования геологического разреза бу-ровой скважины по радиоактивному гамма излучению горных пород. Он за-ключается в следующем. В скважину опускается снаряд (рис.1), который за-ключает в себе приемник гамма-излучения.

В качестве приемника использу-ют счетчик Гейгера-Мюллера, который соединяется с пультом управления и питания. Счетчик представляет собой металлическую трубку, по оси которой натянута металлическая нить. Нить и трубка соединены с полюсами источ-ника высокого напряжения. При попадании в трубку гамма-излучения в цепи трубки возникают импульсы тока, по которым можно судить об интенсивно-сти излучения. Рис. 1. Общий вид прибора для исследования радиогеохимического эффекта.

По результатам исследований строится диаграмма зависимости интен-сивности излучения от глубины. Диаграмму, зарегистрированную после оп-ределенного периода эксплуатации скважины, сравнивают с замером, полу-ченным непосредственно после выхода скважины из бурения. По сопостав-лению этих двух диаграмм определяются интервалы гамма-аномалий. По результатам производственных измерений можно говорить об из-менении естественной гамма-активности

по разрезу скважины в том случае, если показания в интервале неколлекторов возросли практически до уровня глин или более, а в интервале коллекторов (глинистые разности) – превыша-ют уровень глин не менее чем на 30-50%. 1.2. Примеры экспериментального обнаружения радиогеохимического эффекта На рис.2 приведены результаты исследований по трем скважинам. В скважине 3890 в пласте песчаника 1740—1758 м водонефтяной контакт на-ходится на глубине 1751,3м,

интервал перфорации 1740-1744 мм. Пласт «а» (1723—1725 м) представлен алевролитом, вскрыт перфорацией, но в работе скважины участия он не принимает. Скважина вступила в работу с водой. Рис. 2. Повышение естественной гамма – активности в период эксплуатации скважины. а – скв. 3890; б – скв.3892; в – скв. 3865. 1 – интервал повышения гамма – активности; 2 – интервал перфорации. Обводненность продукции связана с поступлением воды из водонасы-щеной части

пласта «гд». В 1963 г. обводненность продукции резко возросла в результате начавшегося заводнения пласта закачиваемой водой. В пределах основной части пласта произошло резкое увеличение естественной гамма-активности; наиболее высокий уровень излучения зарегистрирован в интер-вале, вскрытом перфорацией (в 10 раз превышает уровень в глинах). Кроме того, увеличение гамма-активности отмечается и выше кровли этого пласта в интервале, представленном неколлектором (до глубины 1736 м).

Возможно, несколько увеличилась гамма-активность и в интервале неработающего пла-ста «а». В скважине 3892 перфорацией вскрыт также пласт с подошвенной водой (водонефтяной контакт на глубине 1669 м). Скважина вступила в рабо-ту с водой. В 1964 г судя по резкому увеличению обводненности продук-ции, началось заводнение коллектора пластовой водой. В заводняемом пла-сте, в основном в пределах интервала перфорации, отмечается увеличение гамма-активности до уровня глин.

Кроме того, повышение гамма-активности произошло в интервале 1752—1753 м, который представлен неколлектором. В скважине 3865 работают два верхних пласта — «а» (1779—1786 м) и «б» (1789—1794 м). В 1965 г. пласт «а» начал заводняться закачиваемой водой. По замеру ГМ отложение солей радиобарита произошло в подошвенной час-ти заводняемого пласта и в аргиллитах, залегающих над пластом «б». При обводнении скважин закачиваемой водой гамма-аномалии в ин-тервале заводняемого

пласта, выделены по 55% скважин. В пределах коллек-торов, заводняемых пластовой водой, образование гамма-аномалий отмечено по 75% скважин, т. е. в этом случае вероятность отложения солей радиобари-та больше. Отсутствует какая-либо связь между вероятностью образования гамма-аномалии в заводняемом пласте и количеством отобранной воды или нефти из этого пласта. Величина аномалии также не зависит от количества отобранной воды или нефти. При заводнении нижних пластов повышение гамма - активности в интервале пласта отмечено

в 70% случаев, а при завод-нении верхних пластов – в 40% случаев. По нижним пластам отложение ра-диобарита обычно наблюдается в интервале мощностью не менее 4 – 6 м (см. рис.1, а и б). Если заводняется верхний пласт, то повышение показаний ГМ обычно отмечается в интервале мощностью до 2 м, который бывает приуро-чен к подошвенной части коллектора (рис.1, в). При сопоставлении результатов измерений естественной гамма-активности по верхним нижним

пластам создается впечатление, что основ-ным источником изотопов радия являются пласты с подошвенной водой. По-видимому, на контакте нефти с водой содержание радия в воде существенно больше, чем в пластах, значительно удаленных от водонефтяного контакта. Например, на Арланском месторождении по диаграммам ГМ, зарегистриро-ванным после выхода скважины из бурения, граница нефть-вода в пласте вы-деляется характерным максимумом интенсивности естественного гамма-излучения.

Возможно, на этом место¬рождении существовали наиболее -благоприятные условия для адсорбции радиоактивных-элементов на границе нефти с водой. Содержание изотопов радия в зоне водонефтяного контакта должно возрастать на участках интенсивного движения подошвенной воды. Например, на Павловской площади до начала разработки залежи скорость фильтрации воды по пласту была больше, чем на Абдрахмановской и Южно-Ромашкинской площадях.

Этим можно объяснить, почему по скважинам Павловской площади вероятность появления гамма-аномалий при заводне-нии коллекторов больше и интенсивность их выше по сравнению с данными, полученными по Абдрахмановской и Южно-Ромашкинской площадям. По скважинам, эксплуатирующим пласты с подошвенной водой и об-водняющимся вследствие поступления воды по затрубному пространству или прискважинной зоне коллектора, вероятность образования гамма-аномалий составляет 50%, т. е. меньше, чем в случае заводнения коллекторов

в интер-вале нижних пластов. Повышение естественной гамма-активности часто наблюдается в ин-тервалах, которые не являются источником поступления воды в скважину. Гамма-аномалии, не совпадающие по глубине с интервалом притока воды в скважину, выделены по 158 скважинам, причем 32 скважины ко времени проведения измерений работали без воды. Из числа-рассмотренных скважин в 47 гамма-аномалии приурочены к работающему пласту, из которого в скважину

поступает безводная нефть. В 47 скважинах гамма-аномалии выде-ляются в интервале пластов, вскрытых перфорацией, но эти пласты в работе скважины не участвуют. В остальных 64 скважинах отложение радиобарита отмечается в интервале неколлекторов.Из приведенных данных следует, что в 70% случаев повышение гамма -активности отмечается в интервалах, из ко-торых нет притока жидкости в скважину (неработающие пласты и интервалы неколлекторов). В 30% случаев из пласта поступала безводная нефть, но в пределах этого коллектора выделяется

гамма-аномалия. Возможно, в подоб-ных случаях работает не вся мощность пласта и в неработающих интервалах происходит отложение солей радиобарита. Анализ образования гамма-аномалий после определенного периода эксплуатации скважин показывает, что отложение солей радиобарита не по всем скважинам происходит в интервале заводняемого коллектора и в 40% рассмотренных скважин заводняемые коллекторы не выделяются повышени-ем естественной гамма-активности. 1.3. Выводы На основе всего выше сказанного можно сделать следующие

выводы: 1. Радиогеохимический эффект наблюдается на границе нефть-вода в пласте. Таким образом, в нефтяном пласте содержание радиоактивных ве-ществ повышается. 2. Вероятность появления гамма-аномалии при заводнении нижних пластов больше, чем при заводнении верхних пластов. 3. Интенсивность гамма-аномалий зависит от скорости фильтрации во-ды по пласту. 4. Аномальная радиоактивность часто наблюдается в пластах, которые не являются источниками поступления

воды в скважину. Образование этих гамма-аномалий, по-видимому, связано с адсорбцией бария и радия из жид-кости, движущейся по стволу, на участках обсадной колонны, подвергшихся коррозии, и на цементе за колонной в интервале пластов, вскрытых перфора-цией. 5. Радиогеохимический эффект можно применять при исследованиях в интервале пластов, не вскрытых перфорацией. 2. Основные уравнения Содержанием этой главы являются основные понятия и уравнения, и их решения, необходимые

разработки теории на основе математической модели. 2.1. Уравнение неразрывности В замкнутой изолированной системе полная масса остается постоян-ной, т.е. она не возникает и не исчезает сама по себе. Закон сохранения массы означает, что для любого с поверхностью изменение массы в должно равняться количеству массы протекающему через . Плотностью в точке пространства называют предел отношения массы в элементарном объеме этому объему,

охватывающему точку , при стягивании его в эту точку, т.е.: Тогда где m - интегральный параметр, удовлетворяющий закону аддитивно-сти, -локальный параметр. Выделим в пространстве неподвижную замкнутую поверхность ог-раничивающую объем . Каждой точке выделенного объема сопоставим вектор . Рис.3. Выберем на поверхности ориентированный элемент поверхности, где – вектор внешней нормали, -

площадь выбранной площадки. Тогда через элемент площади входит или выходит количество мас-сы сплошной среды , где – вектор потока массы. Через всю поверхность войдет или выйдет количество массы Будем предполагать, что источники и стоки отсутствуют, тогда закон сохранения массы запишется в виде: В (2.4) знак минус в правой части объясняется тем, что если образует с острый угол, т.е то проходит через изнутри наружу, т.е. масса в убывает. Уравнение (2.5) – уравнение неразрывности для массы в интегральной

форме. Проведем в первом интеграле (2.5) дифференцирование по как по па-раметру (поскольку не зависит от ), т.е. внесем производную под знак интеграла и заменим ее частной производную, поскольку подынтегральная функция зависит от переменной интегрирования, получим: Второй интеграл в равенстве (2.5) преобразуем в объемный, воспользо-вавшись теоремой Остроградского-Гаусса. Получим где Подставим (2.6), (2.7) в (2.5), и объединяя интегралы получим

Учитывая в (2.8) произвольность объема , получаем Уравнение (2.9)– уравнение неразрывности для массы в дифференци-альной форме. 2.2. Закон Фика Закон Фика необходим для описания диффузии растворенно-го(радиоактивного) вещества пропорциональной градиенту их плотности. Плотность радиоактивных примесей является функцией от химического по-тенциала В уравнении (2.9) предыдущего параграфа вектор потока имеет вид где – конвекционная компонента вектора потока, связанная с пото-ком вещества (массы).

Для случая, когда движение массы происходит только за счет конвекции, поток записывается в виде – диффузионная компонента, возникает при наличии в системе гра-диента концентрации. Для диффузионного компонента справедлив I Закон Фика: – коэффициент концентрационной диффузии, (далее будем опус-кать). Диффузионный поток пропорционален градиенту плотности, взятому с обратным знаком. Подставим (2.10) и (2.10*) в (*), получим Подставим (2.11) в (2.9), получим

В (2.12) каждое слагаемое записали отдельно: Преобразуем второе слагаемое в (2.12): (2.13) Во втором слагаемом в (2.13) осуществим круговую перестановку (знак не меняется, т.к. скалярное произведение). Из выражения (2.13), получим (2.14) Преобразуем второе слагаемое в (2.12): Условие не сжимаемости жидкости: (2.15) Подставив (2.14) и (2.15) в (2.12) получим (2.16) Если в (2.16) то получим уравнение диффузии (II Закон

Фика): (2.17) 2.3. Уравнение конвективной диффузии Пусть имеется раствор с плотностью растворителя и плотностью растворенного вещества – , тогда плотность раствора запишется в виде (2.18) Запишем уравнение неразрывности для растворителя: (2.19) Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диф-фузии мал. Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е. не за-висит от пространственных координат

и (2.20) Тогда из выражения (2.19), получим (2.21) Запишем уравнение неразрывности для раствора: (2.22) В (2.22) подставим (2.18), получим Учитывая (2.20), (2.21) и независимость от пространственных коор-динат, получим (2.23) Опустим штрих, предполагая в дальнейшем – плотность примеси. (2.24) Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое: Первое слагаемое описывает изменение массового содержания

в рассматриваемой точке; Второе слагаемое отвечает за конвекцию; Третье слагаемое отвечает за диффузию. Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изме-нение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии. На практике в (2.24) слагаемым можно пренебречь, в силу его ма-лости. 2.4. Метод характеристик Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без

диффузионной конвекции запишется . (1) Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекци-онное уравнение). Задача Коши для уравнения (1). Требуется найти функцию , где и удовлетворяющую условиям: (2) Получим решение задачи методом характеристик. Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых перемен-ных и к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде: . (3)

Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравне-ний: (4) (5) где уравнение (4) – уравнение для характеристик. Из (5) следует, что , где некоторая постоянная. Но т.к. , то . Из (4) получаем . (6) Равенство (6) – решение уравнений характеристик. Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости т.е. гра-фики движения частиц при заданной скорости , называются характеристи-ками уравнения (1). Пусть при , , т.е. ; . (7)

Подставляя (7) в (2), получим . (8) Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систе-му двух уравнений: , (9) . (10) Подставим уравнение (10) в (9), получим . (11) Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1). Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью . Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача) , (1) . (2) . (3)

Рис.4. На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при начальное условие, а при граничное усло-вие, граничная характеристика. Для задачи Коши решенной ранее, О а) О б) Рис. 5 (или ) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное усло-вие . Если ( ), то бу-дет влиять только граничное условие . Получим решение для граничного решения. (5) Запишем уравнения (1) в виде (6) (7)

Из (6) следует, что , где . Учитывая (3) получим . Интегрируя (7) получаем . (8) Пусть при , тогда (9) Разделим обе части (9) на получим . (10) При , . (11) Подставляя (11) в (3) получаем . Тогда решая систему получаем решение граничной задачи в виде . (12) В (12) . Решение начально-краевой задачи будет иметь вид , где , единичная функция

Хевисайда. Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения Построим формулу Даламбера для уравнения , , (1) Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра. . (2) Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений: (3) (4) Интегрируя (4), получим (5) Пусть при , , тогда . Подставим (5) в (3), получим . , (6) , (7) . (8) Исключим в (6) для этого учтем начальное условие (7). , . (9)

Подставим (9) в (6), получим , . (10) Исключим в (10) и , потом : . (11) Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для не-однородного конвекционного уравнения). Покажем что (11) является решением (1). Продифференцируем формулу (11) по , получим . (12) Продифференцируем формулу (11) по , получим . (13)

Подставляя (13) и (12) в (1), получаем . Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1). Начально-краевая задача для неоднородного конвективного уравнения , , (1) . (2) . (3) Найдем решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1). Решение будем искать в виде дифференцируя которое по , получим .

Умножая правую и левую части на , приходим к выражению . (4) Перепишем уравнение (1) в виде двух уравнений: (5) (6) Из (6) следует, что . Пусть при , , тогда . Откуда получим . (7) Подставим уравнение (7) в уравнение (5), получим . (8) (9) (10) Исключим в (8) , для этого учтем граничное условие (9). .

Подставим (11) в (8), получим (12) Исключим в (12) , и получим . , (13) Выражение (13) – формула Даламбера (решение граничной задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1)). Покажем, что (13) является решением (1). Для этого продифференци-руем формулу (13) по , получим . (14) Продифференцируем формулу (13) по , получим . (15) Умножая (15) на и складывая с (14), получим, после сокращений, что то есть, (13) является решением граничной

задачи для неоднородного конвекционного уравнения (1). Решение смешанной задачи запишем, в виде . 2.5 Слабые растворы Рассмотрим термодинамические свойства слабых растворов, т. е. таких растворов, в которых число молекул растворенных веществ значительно меньше числа молекул растворителя. Рассмотрим сначала случай раствора с одним растворенным веществом; обобщение для раствора нескольких

ве-ществ можно будет произвести непосредственно [1]. Пусть – число молекул растворителя в растворе, а – число молекул растворяемого вещества. Концентрацией раствора назовем отношение ; согласно сделанному предложению . Найдем выражение для термодинамического потенциала раствора. Пусть есть термодинамический потенциал чистого растворителя (в котором ничего не растворено).

Согласно формуле (справедливой для чистых веществ) его можно написать в виде, . (1) где – химический потенциал чистого растворителя. Обозначим посредством малое изменение, которое испытал бы термоди-намический потенциал при введении в растворитель одной молекулы раство-ряемого вещества. В силу предполагаемой слабости раствора молекулы рас-творенного вещества в нем находятся на сравнительно больших расстояниях друг от друга, и поэтому их взаимодействие слабо.

Пренебрегая этим взаи-модействием, можно утверждать, что изменение термодинамического потен-циала при введении в растворитель молекул растворяемого вещества равно . Однако в получаемом таким путем выражении еще не учтена должным образом одинаковость всех молекул растворенного вещества. Это есть выражение, которое получилось бы по формуле (2), если бы при вычис-лении статического интеграла все частицы растворенного вещества счита-лись отличными друг от друга.

Вычисленный таким образом статический ин-теграл должен в действительности еще быть поделен на . . (2) где – элемент объема фазового пространства, деленный на : . (3) Это приводит к появлению в свободной энергии, а потому и в по-тенциале дополнительного члена . Таким образом, . (3) Далее, поскольку – само по себе очень большое число, хотя и малое по сравнению с , в последнем члене можно заменить . Тогда . (3)

Учтем теперь, что должно быть однородной функцией первого по-рядка по отношению к и . Для этого, очевидно, стоящая под знаком ло-гарифма функция должна иметь вид . Таким образом, . (3) Вводя новую функцию от и : , (3) находим окончательно для термодинамического потенциала раствора выражение . (8) Сделанное в начале этого параграфа предположение относительно прибавления члена вида к потенциалу чистого растворителя есть в сущ-ности не что иное, как разложение в ряд по степеням

с оставлением только первых членов. Член следующего порядка по пропорционален , а с уче-том однородности по переменным и должен иметь вид , где – функция только от и . Таким образом, с точностью до членов второго порядка термодинамический потенциал слабого раствора имеет вид . (3) Обобщение этого выражения на случай раствора нескольких веществ очевидно: . (3) где – число молекул различных растворенных веществ. Из (8) легко найти химические потенциалы для растворителя (

) и рас-творенного вещества ( ) в растворе: , (3) . (12) 2.6. Равновесие по отношению к радиактивному веществу вещест-ву Рассмотрим систему, состоящую из двух соприкасающихся растворов одного и того вещества в различных растворителях (например, в двух не-смешивающихся жидкостях). Их концентрации обозначим буквами и . Условием равновесия этой системы является равенство химических по-тенциалов растворенного вещества

в обоих растворах. С помощью (12, см. 2.5) это условие можно написать в виде . (1) Функции и для различных растворителей, конечно, различны. Отсюда находим . (2) Коэффициент равновесия растворенного вещества между растворами есть функция только от и . Таким образом, растворенное вещество рас-пределяется между двумя растворителями так, чтобы отношение концентра-ций было (при заданных давлении и температуре) всегда одинаково, незави-симо от полного количества

растворенного вещества и растворителей (закон распределения). Этот же закон относится, очевидно, и к растворению одного вещества в двух соприкасающихся фазах одного и того же растворителя. Далее рассмотрим равновесие между газом (который будем считать идеальным) и его раствором в некотором конденсированном растворителе. Условие равновесия, т.е. равенство химических потенциалов газа чистого и растворенного напишется (с

помощью (12) из 2.1.5) в виде , (2) откуда . (4) Функция характеризует свойство жидкого (или твердого) рас-твора; однако при небольших давлениях свойства жидкости очень слабо за-висят от давления. Поэтому и зависимость от давления не играет ро-ли, и можно считать, что коэффициент при в (4) есть постоянная, не зави-сящая от давления: . (4) Таким образом, при растворении газа концентрация раствора (слабого) пропорциональна давлению(подразумевается, что молекулы газа переходят в раствор в неизменном

виде. Если при растворении молекулы распадаются (например, при растворении водорода Н2 в некоторых металлах), то зависи-мость концентрации от давления получается иной). 2.7. Химический потенциал Для учета изменения термодинамических функций при изменении ко-личества вещества в системе, необходимо к дифференциалу каждого термо-динамического потенциала добавить член , где – число частиц вещест-ва в системе, а – коэффициент пропорциональности.

В этом случае термодинамические функции будут описывать также и те системы, в которых совершаются процессы с изменением количества ве-щества. Например, , (1) отсюда . (2) где – тепловая функция, или энтальпия ( ). Так все термодинамические потенциалы имеют размерность энергии, то согласно формуле (2) коэффициент пропорциональности может быть определен как энергия, отнесенная к одному молю. Этот коэффициент полу-чил название химического потенциала.

Выражение (1) справедливо для системы, состоящей из однородных молекул. Если же система состоит из разнородных веществ, последний член в формуле (1) надо представить в виде суммы . (3) Здесь (4) характеризует изменение энергии при изменении количества данного компонента вещества в системе на один моль. Понятно, что химический потенциал можно определить, исходя не только из выражения тепловой функции (2), но и из выражения любой дру-гой термодинамической функции.

При этом по определению . (5) Таким образом, химический потенциал характеризует изменение энер-гии при изменении количества вещества в системе на один моль. 3. Разработка теории радиогеохимического эффекта В данной главе сформулированы общие предположения теории радио-геохимического эффекта, приведена его математическая модель. Здесь реша-ется задачи для нахождения результирующей плотности радиоактивных ве-ществ в пористой среде,

которые иллюстрируются на графиках. Определяют-ся величина этого эффекта и условие его возникновения. 3.1. Общие предположения теории В данной работе предпринята попытка исследования особенностей формирования радиогеохимического эффекта на основе концепции, согласно которой диффузия радиоактивных веществ определяется химическим потен-циалом и изучения новых возможностей практического использования этого эффекта. В основу теории положено следующие общенаучные предположения: – диффузия растворенного вещества пропорциональна

градиенту хи-мического потенциала (3.1) где – коэффициент диффузии химического потенциала, – вектор плотности потока диффундирующих радиоактивных ком-понентов, в частности поток радиоактивных примесей между скелетом и насы-щающим флюидом определяется ньютоновским законом для химического потенциала (3.2) – плотность растворенных изотопов предполагается малой в сравне-нии с плотностью несущей фазы, которая не изменяется в процессе фильтра-ции. Перенос растворенных изотопов определяется скоростью фильтрации

несущей фазы. Динамика растворенного вещества определяется уравнением неразрывности, следующим из закона сохранения массы (3.3) соответственно для плотности радиоактивных веществ в скелете ρs имеет место следующее уравнение . (3.4) Диффузией радиоактивных примесей, кроме массообмена жидкости со скелетом, в уравнениях (3) и (4) пренебрегается; –для несущей жидкости, предполагаемой несжимаемой, соответст-вующее уравнение неразрывности предполагается квазистационарным (3.5) – период полураспада предполагается

настолько большим, что за все время процесса вытеснения не происходит заметного изменения плотности радиоактивных примесей за счет радиоактивного распада. Это позволяет пренебречь соответствующими источниками в уравнениях неразрывности и упростить задачу. Для простоты также предполагается поршневой режим вытеснения во-дой нефти. Основные закономерности радиогеохимического эффекта без ог-раничения общности осуществлены на основе

плоского одномерного тече-ния, которое хорошо применимо в пластах на больших расстояниях от нагне-тательной скважины, т. е. в зоне расположения добывающих скважин, где обычно указанный эффект и регистрируется. Естественным предполагается и пренебрежение диффузионным массообменом пласта с покрывающими и подстилающими породами. Заметим, что в предполагаемом подходе к скелету отнесена реликтовая вода и другие составляющие, не подвижные в процессе вытеснения, поэтому плотность радиоактивного вещества в скелете включает и

содержание радио-активных веществ в указанных компонентах, что впрочем, улучшает условия применимости разработанной теории. 3.2. Математические модели радиогеохимического эффекта Математическая постановка задачи в указанных выше предположениях в одномерном случае включает уравнение для радиоактивных примесей в не-сущей жидкости (3.6) и в скелете пористой среды (3.7) где – пористость, , (3.8) . (3.9) Складывая (3.6) в (3.7), получим идентичные уравнения для плотности радиоактивного

вещества в жидкости (3.10) и скелете пористой среды , (3.11) где скорость конвективного переноса примесей определяется выра-жением . (3.12) Так как химический потенциал является функцией от концентрации, то разложим его в ряд Тейлора вблизи точки равновесия растворенного вещест-ва . (3.13) Предполагается, что в равновесии химические потенциалы радиоак-тивных веществ равны . Пренебрегая в (3.13) слагаемыми по-рядка выше первого, получаем , (3.14) где .

Для простоты считаем, что процесс фильтрации равновесный, так что концентрации радиоактивных веществ в жидкости и скелете пористой среды определяются из условия равенства химических потенциалов . (3.15) Такое же условие и для нефти в скелете . 3.1.1. Постановка задачи Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физи-ки. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмот-

рения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями. Однако плотности в скелете и насыщающей жидкости связаны равенством . Это со-отношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, по-скольку второе решение находится умножением или делением на . Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных.

Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений. Требуется найти решение уравнения для жидкости , (3.16) в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти . Предполагается, что на левом конце стержня поддер-живается постоянная концентрация радиоактивного вещества , поэтому для подобласти граничное условие имеет вид . (3.18) Требуется найти решение уравнения для скелета , (3.17) в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям,

в подобласти . В подобласти на правой подвижной границе поддержива-ется неизменной плотность радиоактивного вещества в скелете, поэтому гра-ничное условие для уравнения скелета имеет вид (3.19) Это условие определяет перенос радиоактивных веществ из нефтена-сыщеной зоны пористой среды в водонасыщенную. 3.1.2 Решение задач Найдем решение уравнения (3.16) в более общем виде. То есть для уравнения , с граничным условием . (3.20) для области

Решение уравнений (3.16) находится методом характеристик. (3.21) Интегрируя первое уравнение системы (16), получаем (3.22) Из второго уравнения следует, что , где – некоторая по-стоянная. Но т.к то . Найдем границы области в котором есть решение. Пусть при , тогда Для начального момента, при и (3.23)

Уравнение (3.23) представляет собой границу. Параметризуем уравнение (3.22). Зададим так, чтобы получить значение при , т. е. . При , (3.24) (3.25) Подставляя значение параметра в (15) получим (3.26) Так как , то (3.27) Таким образом это выражение (3.27) есть решение уравнения (3.16) в более общем виде. Для частного случая, т. е. не зависит от , решение (3.28)

Полученное решение (8) для плотности радиоактивного вещества в вы-тесняющей жидкости, удовлетворяет граничному условию для жидкости в подобласти . Решение для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим из условия равенства химических потенциалов . (3.29) Таким же образом, в более общем виде решим уравнение для скелета , (3.30) с граничным условием , (3.31) для области . (3.32) Интегрируя первое уравнение (3.32), получаем . (3.33)

Из второго уравнения следует, что , где – некоторая посто-янная. Но т.к то . Параметризуем уравнение (3.33): при , . Тогда ; ; Так как . . . (3.34) Подставим значение параметра (3.34) в граничное условие для скелета пористой среды , То теперь , (3.35) Выражение (3.35) есть решение уравнения для скелета (3.30) в общем виде. Частное решение получаем из (3.35) исключая . . (3.36)

Полученное решение (3.36) для плотности радиоактивного вещества в скелете, удовлетворяет граничному условию подобласти . Используя соотношение (3.15) находим решение для плотности радио-активного вещества в вытесняющей жидкости подобласти по-лучим из условия равенства химических потенциалов . (3.37) Проверка значений на границах подобласти При , на правой границе ; (3.38) при и на левой границе . (3.39) Окончательное выражение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости имеет вид: (3.40)

и для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим (3.41) Для области , занимаемой вытесняемой нефтью плотности ра-диоактивного вещества в скелете и нефти остаются неизменными: (3.42) Результирующая плотность радиоактивных веществ в пористой среде ρ+ складывается из плотности в насыщающей жидкости, скелете и нефти, по-этому окончательное выражение имеет вид (3.43) 3.3. Рельзультаты расчетов и их анализ 3.3.1. График модели

На рисунке приведена зависимость относительной плотности радиоак-тивного вещества от координаты в фиксированный момент времени. В расчетах принято: =0.2, μ΄/μs&#90 0;=0.05, μo΄/μw&#9 00;=10, ρs0/ρw0=5. Сплошной линией изображен график зависимости относительной результи-рующей плотности радиоактивных веществ, а пунктирной их плотность в скелете. Из рисунка видно, что в области образуется зона

II с по-вышенным содержанием радиоактивных веществ. Отметим, что на границах зон наблюдается скачкообразное изменение плотности радиоактивного веще-ства. В реальных условиях эти скачки нивелируются диффузией, которая в рассматриваемом случае для простоты не учитывается. Рис.5. Зависимость относительной плотности радиоактивного вещества в пористой среде от пространственной координаты в фиксированный момент времени:

I – промытая зона, II – зона радиогеохимического эффекта; III – нефтенасыщенная зона; 1 – результирующие значения плотности в пористой среде, 2 – составляющая плотности в скелете Из анализа кривых, приведенных на рисунке, следует, что возникнове-ние зоны с повышенной радиоактивностью объясняется вымыванием радио-активных веществ, первоначально сосредоточенных в скелете, водой. Из изложенного выше следует, что область радиогеохимического эф-фекта

представляет зону обратного массового влияния вытесняемой жидко-сти на вытесняющую. Это происходит за счет взаимодействия жидкостей че-рез скелет. Дело состоит в том, что скорость движения границы вытеснения превышает скорость конвективного переноса примесей в пористой сре-де , с которой только и возможно движение разрывов. В результате разме-ры области радиогеохимического эффекта увеличиваются со временем со скоростью ,

которая, как показывают оценки, в несколько раз пре-вышает скорость . Процессы, аналогичные описываемым, происходят при формировании черенковского излучения. В реальных условиях возможность измерения распределения радиоак-тивности в пласте ограничена только определенным числом скважин, в об-ласти расположения которых происходит обводнение пласта. В этих скважи-нах возможно измерение зависимости радиоактивности от времени.

Отме-тим, что наблюдаемая при этом временна̀я развертка радиоактивности соот-ветствует пространственной, изображенной на рисунке. 3.3.2 Условие возникновения радиогеохимического эффекта Условие возникновения радиогеохимического эффекта заключается в повышении радиоактивного фона, математическим выражением которого яв-ляется неравенство , откуда с использованием (20) получим (3.44) После соответствующих преобразований получим . (3.45)

Неравенство (3.45) определяет соотношение производных химического потенциала, при котором наблюдается радиогеохимический эффект. В усло-вие (3.45) не входит пористость, это означает, что радиогеохимический эф-фект должен наблюдаться в пластах с любой пористостью. Отметим, однако, что величина эффекта согласно предлагаемой теории пропорциональна по-ристости , (3.46) где – коэффициент, зависящий от выбора единиц измерения.

Заключение Таким образом, предложенная теория в достаточной мере отражает ме-ханизм перекачки радиоактивных веществ и образование зоны радиогеохи-мического эффекта. Полученные результаты могут быть использованы при интерпретации результатов геолого-промысловых исследований для опреде-ления принимающих и отдающих интервалов пластов. Они позволяют также более глубоко понять процессы, происходящие с растворенными веществами при движении

пресных питьевых вод в подземных пластах. Литература 1. Ландау Л.Д Лифшиц Е.М. Гидродинамика. – М.: Наука. – 1986. – 773 с. 2. Орлинский Б.М. Котроль за разработкой нефтяных месторождений. – М.:Недра, 1982. 3. Хуснуллин М.Х. Геофизические методы контроля разработки нефтя-ных пластов. –М: Недра, 1989. 4. Валиуллин Р.А Шарафутдинов Р.Ф Азизов

Ф.Ф Никифоров А.А Зелеев М.Х. Исследование закономерностей формирования радиогеохимиче-ского эффекта в пласте//Изв. ВУЗов. Нефть и газ. №3, 2000. С 26-31. 5. Советский энциклопедический словарь. – М.: «Советская энциклопе-дия», 1985. Под ред. Прохорова А.М.