Критерий Попова и методы Ляпунова

Устойчивость в малом и в большом .Связь критерия Попова с методами Ляпунова.Пусть линейная система устойчива в секторе 0, К -см рис.5.9 начальная часть нелинейной характеристики, соответствующая -Х2 lt X lt X1, лежит внутри этого сектора, а при выходе х за указанныепределы выходит за пределы сектора. Очевидно, что в данном случае нельзяутверждать, что равновесие системы будет абсолютно устойчиво, т.

е. устойчиво вцелом при любых f l , но мы можем утверждать, что при таких SUP F L lt yen , которые вызывают отклонение х, не выходящее запределы -х2, х1 , будет имеет место устойчивостьположения равновесия в большом и, конечно, устойчивость в малом.С помощью критерия Попова легко можно пояснить, когдаприменим первый метод Ляпунова. Заменим нелинейную характеристику в точкеравновесия касательной.

Если линейная система устойчива а не находится на границеустойчивости , то небольшой подъем луча 0К в положение 0К1 ненарушит устойчивости, то при этом начальная часть нелинейной характеристикипопадает внутрь сектора 0, К1 , и равновесие нелинейной системыбудет устойчивым в малом. Если же мы имеем критический случай, то касательная являетсяграницей сектора, внутри которого линейная система устойчива, и мы не можемсудить об устойчивости равновесия нелинейной системы.

Функция Ляпунова может быт построена различными способамидля одной и той же системы. Для каждой такой частной функции Ляпунова можнопостроить свою область устойчивости в пространстве параметров, но каждая такаяобласть не будет истинной областью устойчивости, поскольку второй методЛяпунова дает лишь достаточное условие устойчивости.Р. Калман показал, что область устойчивости, даваемаякритерием Попова, будет огибающей для всех областей устойчивости, определяемыхфункциями

Ляпунова вида квадратичная форма плюс нелинейность , т.е. будет ширеи ближе к истинной области устойчивости, чем любая из областей устойчивости,определяемая по функции Ляпунова заданной формы.Большим преимуществом метода Попова является то, что он безособых затруднений распространяется на системы с запаздыванием ираспределенными параметрами, а также на некоторые классы импульсных системуправления.

Рассмотренные критерии - квадратичный, вытекающий и негокруговой и критерий Попова - различаются степенью подробности учетаспецифических особенностей нелинейных характеристик, что отражается на ширинеобласти устойчивости, даваемой тем или иным критерием, т.е. лучшим критериемявляется тот, который дает более широкую область устойчивости.Если сравнивать круговой критерий с методом Попова, топервый дает более узкую область устойчивости,

если исследуется классстационарных нелинейностей, но зато охватывает более широкий класснелинейностей.