Кинематика и динамика поступательного и вращательного движения

Вопрос 1 . Система отсчета Чтобы описать механическое движение тела точки, нужно знать его координаты в любой момент времени. Для определения координат следует выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. Часто телом отсчета служит Земля, с которой связывается прямоугольная декартова система координат. Для определения положения точки в любой момент времени необходимо также задать начало отсчета времени. Система координат, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для измерения времени образуют систему

отсчета, относительно которой рассматривается движение тела. Траектория, путь, перемещение Траекторией движения называется линия, вдоль которой движется тело. Длина траектории называется пройденным путем. Путь скалярная физическая величина, может быть только положительным. Перемещением называется вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории. Движение тела, при котором все его точки в данный момент времени движутся одинаково, называется поступательным

движением. Для описания поступательного движения тела достаточно выбрать одну точку и описать ее движение. Движение, при котором траектории всех точек тела являются окружностями с центрами на одной прямой и все плоскости окружностей перпендикулярны этой прямой, называется вращательным движением. Другой известной характеристикой механического движения точки служит скорость. Средняя скорость v за промежуток времени t определяется как .

Вопрос 2 Ускорение Ускорением называется векторная физическая величина, равная отношению очень малого изменения вектора скорости к малому промежутку времени, за которое произошло это изменение, т.е. это мера быстроты изменения скорости . Метр в секунду за секунду это такое ускорение, при котором скорость тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно, за время 1 с изменяется на 1 мс. Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора изменения скорости при очень малых значениях

промежутка времени, за который происходит изменение скорости. Если тело движется по прямой и его скорость возрастает, то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости при убывании скорости противоположно направлению вектора скорости. При движении по криволинейной траектории направление вектора скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения при этом может оказаться направлен под любым углом к вектору скорости.

Вопрос 3 Угловая скорость и угловое ускорение. Для случая вращательного движения полезными оказываются такие дополнительные кинематические характеристики как угловая скорость и угловое ускорение. Величина угловой скорости определяется как отношение угла , который описывает радиус-вектор точки за время t, т.е 1-21 v r s Рис.6.К определению направ- ления угловой скорости.При этом угловой скорости приписывается определенное направление, которое определяется следующим образом

направление отсчета угла определяется направлением вращения, а направление определяется правилом правого буравчика - оно совпадает с движением оси буравчика, когда он вращается в направлении вращения материальной точки см. рис.6 . Вектор углового ускорения определяется через изменение уг-ловой скорости вращения за время t. При этом направление совпадает с направлением , если за время t происходит увеличение скорости и направление противоположно вектору , если за время t угловая скорость уменьшается.

Таким образом . Вопрос 4 Законы Ньютона массы , сила , силы трения. Первый закон утверждает, что существуют такие системы отсчета, в которых всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействия со стороны других тел не заставят его изменить это состояние. Силой называют количественную меру простого воздействия на тело со стороны других тел, в во время действия, которого тело или его части получают ускорения.

Масса Причиной изменения скорости движения тел всегда является его взаимодействие с другими телами. При взаимодействии двух тел всегда изменяются скорости и первого, и второго тела, т.е. оба тела приобретают ускорения. Ускорения двух взаимодействующих тел могут быть различными, они зависят от инертности тел. Инертность способность тела сохранять свое состояние движения покоя. Чем больше инертность тела, тем меньшее ускорение оно приобретет при взаимодействии с другими телами,

и тем будет ближе его движение к равномерному прямолинейному движению по инерции. Масса физическая величина, характеризующая инертность тела. Чем большей массой обладает тело, тем меньшее ускорение оно получает при взаимодействии. За единицу массы в СИ принят килограмм m1 кг. Сила В инерциальных системах отсчета любое изменение скорости тела происходит под действием других тел.

Сила это количественное выражение действия одного тела на другое. Сила векторная физическая величина, за ее направление принимают направление ускорения тела, которое вызывается этой силой. У силы всегда есть точка приложения. В СИ за единицу силы принимаются сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 мс2. Эта единица называется Ньютоном . Второй закон Ньютона

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение . Таким образом, ускорение тела прямо пропорционально действующей на тело силе и обратно пропорционально его массе . Третий закон Ньютона Тела действуют друг на друга с силами, вдоль одной прямой, равными по модулю и противоположными по направлению. Эти силы имеют одинаковую физическую природу они приложены к разным телам и поэтому друг друга не компенсируют.

Сила трения. Коэффициент трения скольжения Сила трения возникает при соприкосновении поверхностей двух тел и всегда препятствует их взаимному перемещению. Сила, возникающая на границе соприкосновения тел при отсутствии относительного движения называется силой трения покоя. Сила трения покоя упругая сила, она равна по модуля внешней силе, направленной по касательной к поверхности соприкосновения тел, и противоположна ей по направлению.

При движении одного тела по поверхности другого возникает сила трения скольжения. Сила трения имеет электромагнитную природу, т.к. возникает благодаря существованию сил взаимодействия между молекулами и атомами соприкасающихся тел электромагнитных сил. Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления или упругой реакции опоры и не зависит от площади поверхности соприкосновения тел закон

Кулона , где коэффициент трения. Коэффициент трения зависит от рельефа поверхности и всегда меньше единицы сдвинуть легче, чем оторвать. Вопрос 5 Импульс тела По 2-му закону Ньютона изменение скорости тела возможно только в результате его взаимодействия с другими телами, т.е. при действии силы. Пусть на тело массой m в течение времени t действует сила F и скорость его движения изменяется от vo до v. Тогда на основании 2-го закона

Ньютона . Величина называется импульсом силы. Импульс силы это векторная физическая величина, равная произведению силы на время ее действия. Направление импульса силы совпадает с направлением силы импульс тела количество движения векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость. Направление импульса тела совпадает с направлением скорости. Импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела.

Закон сохранения импульса Выясним, как изменяются импульсы двух тел при их взаимодействии. Обозначим скорости тел массами m1 и m2 до взаимодействия через и , а после взаимодействия через и . По 3-му закону Ньютона силы, действующие на тела при их взаимодействии, равны по модулю и противоположны по направлению поэтому из можно обозначить F и F. Тогда . Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов

после взаимодействия. Эксперименты показывают, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, в замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной. Импульс замкнутой системы тел есть величина постоянная закон сохранения импульса з.с.и Вопрос 6 Механическая работа Механическая работа это скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы на модуль перемещения

точки приложения силы и на косинус угла между направлением действия силы и направления перемещения скалярное произведение векторов силы и точки ее перемещения . Работа измеряется в Джоулях. 1 Джоуль работа, которую совершает сила 1 Н при перемещении точки ее приложения на 1 м в направлении действия силы . Работа может быть положительной, отрицательной, равной нулю 1. 0

A FS 0 2. 0 90 A 0 3. 90 A 0 4. 90 180 A 0 5. 180 A FS 0. Сила, действующая перпендикулярно перемещению, работы не совершает. Мощность Мощность это работа, совершаемая в единицу времени средняя мощность 1 Ватт это мощность, при которой совершается работа 1 Дж за 1 с. Мгновенная мощность . Кинетическая энергия

Установим связь между работой постоянной силы и изменением скорости тела. Рассмотрим случай, когда на тело действует постоянная сила и направление действия силы совпадает с направлением перемещения тела . Физическая величина, равная половине произведения массы тела на его скорость называется кинетической энергией тела . Тогда из формулы теорема о кинетической энергии Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело.

Кинетическая энергия всегда положительна, т.е. зависит от выбора системы отсчета. Вывод в физике абсолютное значение энергии вообще, и кинетической энергии в частности, смысла не имеет. Речь может идти только о разнице энергий или об изменении энергии. Энергия способность тела совершать работу. Работа мера изменения энергии. Потенциальная энергия Потенциальная энергия это энергия взаимодействия тел, зависит от взаимного их

расположения. Вопрос 7 Закон сохранения полной механической энергии Полная механическая энергия сумма кинетической и потенциальной энергии всех тел, входящих в систему . По теореме о кинетической энергии работа всех сил, действующих на все тела . Если в системе все силы потенциальные, то справедливо утверждение . Следовательно Полная механическая энергия замкнутой системы есть величина постоянная если в системе

действуют только потенциальные силы. Если в системе есть силы трения, то можно применить следующий прием силу трения назначаем внешней силой и применяем закон изменения полной механической энергии . Работа внешней силы равна изменению полной механической энергии системы. Вопрос 8 Н Е Т. Вопрос 9 Удар абсолютно неупругих и упругих тел. Удар столкн тел при кот за мал промеж времени происх.

Значит измен скоростей тел. Если скор тел напр паралейно удар прямой. Закон сохр импульса um1v1m2v2m1m2. Не упруг удар, до удара E1m1v122 m2v222Ep1 после удара E2m1v1m2v222m1m2Ep2 Изм энерг - EE2-E1 0 мех эн умен пошла на деформ шаров. b 2 тело до удара покой. -EE1m2m1m2 2 Абсолютно уп удар если мех энер системы не изменяется v 2m1v1m2-m1v2m1m2 для второго тела

также. Вопрос 10 момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями, т.е. Iпроиз Iцм m d 2 . 4-6 Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2. Таблица 2. Форма тела Расположение Величина оси момента инерции

Обруч m R2 Цилиндр Шар Примечание m- масса тела, R - его радиус На основании изложенного уравне-ние 4-4а с учетом 4-5 приводится к виду , 4-7 которое называется уравнением динамики вращательного движения твердого тела или уравнением моментов. Дело в том, что левую часть этого уравнения можно представить по другому, т.к. поаналогии с правой частью величину riaimi называют изменением момента импульса радиус ri внесен под знак дифференцирования,

т.к. все точки вращаются по окружностям постоянного радиуса . Если обозначить ri mi vi ri pi Li , a cyмму L , то уравнение 4-7 можно за- писать так . 4-8 Кинет энерг вращаю тела . Закон сохр момента импульса и его связь с изотропностью пространства. Теорема НЕТЕР Кинет энерг тела движ произвольным оьразом сумме всех мат точек , на кот тело можно разбить. EK mivi Тело вращ вокруг не подв оси EKJz22 Работа точки dAiJizd тела dAJzd

Полная работа Aинтегр от 2 по 1 Jzd Поступ движ твердого тела со скоростью его центра инерции vc. dmvcdtFвнеш Вращат твердого тела вокруг центра инерц dLcdtMс внеш глав момент внеш сил относ точки С, Lc- момент ипульса тела отн точк Кинет энер свобод твер тела т-ма Кенига Екmvc22Jc22 Момент импульса замкн сист тел отн любой неподвиж точки постоянен во времени. Для замкн системы Мz0 закон сохр момента импульса отн оси вращ

LizJizIconst Т-ма Э.Нетер Для физич сис-мы, ур-е движения которой имеют форму системы дифференцирова- ных ур-й и могут быть получены из вариционого принцыпа меха-ники, каждому непрер зависящему от одного параметра преобра-зованию ост-щим инвариантным действие S, соотв закон сохран. Вопрос 11 Момент силы и момент импульс мех сист Ур дин вращ дв Для характ. Внеш мех воздействия на тело, привод к измен вращат движения момент силы.

F отност неподв точки 0 полюса вект величина М векторному произв радиуса вектора r проведе-ного из точки 0 в точку прилож силы В на вектор силы F , MrF Модуль момента сил Мr F sin F r sin F l, l длина перепе- ндикуляра опущеного из 0 на линию силы F Си М1Нм Главн момент сил МriFi . Момент импульса мат точки отн непод Т. 0 LiriKirimiviRimivi rimivi В СИ L1кгм2с Для мат точки

Li rimivi Главн момент внеш сил ММidLdt Момент инерции тела мера инертности тела во вращат движ во круг неподвижной оси. JmR2 Вопрос 12 L O mv r A Рис.15.Момент импуль- са материальной точки. Рис.15 поясняет определение момента импульса точечной массы относительно точки О, который вычисляется также как момент силы ri mi vi ri pi Li . Направление момента импульса определяется правилом правого буравчика - вектор r вращается по кратчайшему

пути к вектору mv, а направление движения оси буравчика указывает направление вектора L . Момент импульса относительно оси также определяется аналогично моменту силы относительно оси L r p , 4-9 где значения r и р соответствуют обозначениям рис.12 с заменой f на р . Для вращательного движения точки L r mv r mr mr 2 Ii . Для твердого тела L I . Закон сохранения момента импульса.

Если правая часть уравнения 4-8 оказывается по каким - либо равной нулю - суммарный момент сил равен нулю, то и L const. Это случается, если система замкнута, т.е. внешние силы вообще не действуют, или если моменты внешних сил компенсируют друг друга. Наконец, если внешние силы оказываются центральными - линии действия всех сил пересекаются в одной точке. Весьма интересным представляется случай, когда механический момент импульса при вращении тела имеет

достаточно большую величину по сравнению с моментом внешних сил . Наиболее ярким примером этого служит гироскоп см. рис 16 . L1 d M L2 dL mg Рис.16 Прецессия гиро- скопа.Гироскопом принято называть достаточно массивноетело, быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Гироскоп закрепляют в одной точке с помощью специального устройства - карданова подвеса . Если на гироскоп действуют внешние силы груз mg на рис то ось гироскопа начинает

смещаться под воздействием момента силы см. 4-8 , т.е. изменение момента импульса совпадает с направление М. За малый промежуток времени dt ось гироскопа повернет-ся на угол d так, что изменение момента импульса dL L1 - L2 Ld. В то же время из уравнения 4-8 следует dL M dt , или Ld M dt , откуда можно придти к выводу, что гироскоп начинает вращаться в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка с частотой, которая называется частотой прецессии

Если моменты внешних сил малы по сравнению с моментом импульса вращающегося тела, то частота прецессии мала, и тело сохраняет ориентацию оси вращения в пространстве пример - жонглирование предметами в цирке. egiksofmail.ru