Экзистенциальные суждения
Если передсубъектом суждения вставлен термин «некоторые», то тем самым предполагается,что с предикатом может быть связана какая-то часть множества, играющего рольсубъекта. При этом «объем» данной части может быть неопределенным. Возможно,что она является пустым множеством, но тогда в системе анализа рассужденийнеобходимо предусмотреть возможность распознавания этой ситуации.
В логикетермины «все» и «некоторые» играют особую роль. Они называются кванторами, идля них даже введены специальные общепринятые знаки: " (все – от английского слова All) и $ (некоторые, существует – отанглийского слова Exist). В нашей системе отдельные символы для кванторов неиспользуются. Для терминов обычных суждений предполагается, что на них«навешен» квантор «все» (например, A®B переводится как «Все A есть B»), а для квантора«некоторые» предлагается использовать специальный вид суждений –экзистенциальные суждения (от слова exist – существовать). По смыслуэкзистенциальное суждение – это суждение, в котором утверждается или проверяетсясуществование некоторого множества с определенным набором свойств (предикатов).При этом имя этого множества отсутствует в списке литералов структуры, и тогдадля его обозначения мы должны использовать новый литерал. А чтобы отличить егоот основных (базовых) литералов, будем называть его неопределенным литералом.
По смыслубазовые литералы рассуждения – это обозначения некоторых свойств объектов и ихотрицаний (например, «выполняющие обещания» и «не выполняющиеобещания»). Когда мы выбираем какое-то множество литералов, то тем самыммы выделяем объекты, обладающие соответствующим набором свойств. Но можетоказаться так, что в структуре не допускается существование таких объектов,потому что это противоречит логическим соотношениям структуры. Экзистенциальныесуждения вводятся в основном для того, чтобы ответить на вопрос о существованиив структуре объектов с заданными свойствами.
Всиллогистике Аристотеля используется всего два типа суждений, которые можноотнести к экзистенциальным. Здесь они называются частными суждениями. Эточастноутвердительное суждение «Некоторые A есть B» ичастноотрицательное суждение «Некоторые A не есть B». В такихсуждениях, выраженных на естественном языке, смысловой акцент переносится напервый термин (A), хотя на самом деле очевидно, что речь в них идет о том, чтопересечение множеств, обозначенных терминами A и B (в первом суждении) или A и /> (во втором суждении), не является пустым множеством. Поэтомусуждение «Некоторые A есть B» равносильно суждению «Некоторые Bесть A», а суждение «Некоторые A не есть B» – суждению«Некоторые не-B есть A». Данная особенность частных суждений была всвое время отмечена Льюисом Кэрроллом Она легко обосновывается, еслипроанализировать частные суждения с помощью Жергонновых отношений.
С учетомсказанного частные суждения Аристотелевской силлогистики выражаются в терминахE-структур следующим образом. Введем некоторый новый термин в наше рассуждение(например, W или d).Тогда Аристотелевское суждение «Некоторые A есть B» можно вE-структурах представить как W®(A, B), а суждение «Некоторые A не есть B» – как d®(A,/>). В терминах алгебры множеств этисуждения соответствуют формулам:
W Í (A Ç B) и d Í (A Ç/>).
Для сравненияприведем общепринятую формулировку частных суждений в терминах математическойлогики: 1) $x(A(x)ÙB(x)) и 2) $x(A(x)ÙØB(x)), которые можно выразитьсодержательно так: 1) «Существует хотя бы один объект x, который одновременнообладает свойствами A и B» и 2) «Существует хотя бы один объект x, которыйодновременно обладает свойствами A и не-B». Для решения задач моделирования ианализа полисиллогизмов на основе E-структур отпадает необходимостьиспользования кванторов. Такое упрощение позволяет значительно расширитьаналитические возможности метода.
Экзистенциальнымназывается суждение, в котором утверждается в посылках или доказывается вследствиях непустота пересечения двух или более множеств, обозначенныхсоответствующими базовыми терминами.
Из этогоопределения становится понятной идея обобщения частных суждений Аристотелевскойсиллогистики: к таким суждениям относятся суждения, у которых на месте субъектаразмещается некоторый новый термин, а число предикатов суждения может бытьлюбым.
Поэтому иметоды решения задачи вывода экзистенциальных суждений значительно отличаютсяот методов вывода общих суждений. К изучению этих методов мы и приступим. Нопрежде рассмотрим одну ситуацию, которая может ввести в заблуждение прииспользовании экзистенциальных суждений в качестве посылок. Ранее мырассматривали пары контрарных суждений типа A®B иA®/>, при совмещении которых врассуждении образуется коллизия парадокса. Попробуем «ослабить» второесуждение, т.е. сформулировать его не как общее, а как частное суждение W®(A,/>). Наша E-структура в этом случаебудет содержать две посылки: A®B и W®(A,/>).
Если применимк этой E-структуре известные нам методы анализа, то в результате получимколлизию парадокса W®/>. Из нееследует, что множество «некоторые A» в этой E‑структуре должно быть равнопустому множеству. Та же ситуация будет, если мы преобразуем в частное суждениене второе, а первое суждение. Полученная E-структура
W®(A, B); A®/>
тоже окажетсяпарадоксальной: при выводе всех следствий мы получим ту же коллизию парадокса W®/>. Пары таких суждений оказываютсялогически несовместимыми. В традиционной логике их отличают от контрарныхсуждений и называют контрадикторными.
Совсем другаяситуация получится, если мы совместим в одном рассуждении два частных суждения«Некоторые A есть B» и «Некоторые A не есть B». Посмотрим, что получится, еслимы представим эти суждения в обозначениях E‑структур, т.е. как W®(A, B) и W®(A,/>). Результат окажется тем жесамым: в следствиях появится та же коллизия парадокса W®/>. Но попробуем рассмотретьконкретные примеры, например, «Некоторые грибы ядовиты» и «Некоторые грибы неядовиты». Ясно, что эти два суждения в естественном языке вполне совместимы.Почему же тогда при их формализации возникает коллизия парадокса?
Ответочевиден: в разных предложениях одно и то же словосочетание «некоторые грибы»могут обозначать разные виды грибов, но при формализации эти, возможно, разныевиды грибов мы обозначили одним и тем же символом W. Отсюда ясно, что приповторении в разных посылках одинаковых словосочетаний «некоторые X» мы должныобозначать их разными символами. Посмотрим, что получится в этом случае. Пустьданы посылки W1®(A, B); W2®(A,/>). Построим для них стрелочную диаграмму (рис. 1) и всевозможные следствия из этих посылок (рис. 2).
/> />
Рис. 1 Рис. 2
Коллизиипарадокса здесь нет, но среди следствий получены два утверждения W1®/>и W2®/>. Из этих суждений ясно, чтомножества W1 и W2 не имеют ни одного общего элемента, т.е. их пересечение равнопустому множеству. Если вернуться к нашим конкретным суждениям, то этоозначает, что ни один гриб не может быть одновременно ядовитым и неядовитым.Здесь, разумеется, не учитываются такие ситуации, когда вполне съедобные грибыпри некоторой невоздержанности в употреблении могут вызвать легкое недомогание,или весьма редкие случаи аллергии на неядовитые грибы, но в данном случаетакими частностями можно пренебречь.
Применениемэкзистенциальных суждений есть парадокса «Лжец». Этот парадокс был открытдревнегреческим философом Эвбулидом (IV век до н. э.). Суть его заключается вследующем. Критянин Эпименид сказал: «Все критяне лжецы». Нужно, используятолько логический анализ, определить, солгал ли Эпименид или сказал истину.
Рассмотримсначала этот парадокс на содержательном уровне. Если он сказал истину, товыходит, что все критяне лжецы, а поскольку Эпименид критянин, то он не могсказать истину. Предположим теперь, что Эпименид солгал. Тогда получается, чтовсе критяне не лжецы, а раз так, то Эпименид, будучи критянином, не могсолгать. Так что оказывается, что любое предположение приводит к противоречию.
Посмотрим,что получится, если использовать для анализа этого парадокса E‑структуру.Выберем в качестве универсума множество людей. Среди этих людей встречаютсякритяне (К) и не критяне (/>),лжецы (Л) и правдивые (/>). В число этих людей входит такжекритянин Эпименид (Э) и все остальные люди (/>). Сформулируем теперь исходныесуждения для ситуации, когда Эпименид сказал неправду. В этом случае можносчитать Эпименида лжецом, а суждение «Все критяне лжецы», которое он высказал, необходимо заменитьна его антитезу «Все критяне не лжецы». Тогда получим:
Э®(К, Л) – Эпименид – критянин и лжец;
К®/>– Все критяне не лжецы.
Одним изследствий наших исходных посылок оказалось суждение Э®/>, т.е. коллизия парадокса. Из этого получается, чтомножество «Эпименид» является пустым множеством, т.е. Эпименид в данной системепосылок не может существовать. Посмотрим теперь, что получится, если мы вкачестве антитезы ложному суждению Эпименида возьмем не общее, а частноесуждение «Некоторые критяне не лжецы». Как мы уже знаем, это суждение являетсяконтрадикцией к суждению «Все критяне лжецы» и при совмещении с ним вызываетколлизию парадокса. Отсюда, если принять, что «Все критяне лжецы» – ложноесуждение, то истинным суждением будет его антитеза: «Некоторые критяне нелжецы». Оказывается, что при подстановке именно этого суждения в структурупарадокса не возникает. Чтобы проверить это, построим для этой системы сужденийсоответствующую E‑структуру.
Э®(К, Л) – Эпименид критянин и лжец;
W®(К,/>) – Некоторые критяне не лжецы.
Нетрудноубедиться, что коллизии парадокса не появилось. Критянин Эпименид лжец и онвключен в состав тех, которые не являются «некоторыми» правдивыми критянами(следствие Э®/>).
Рассмотримизвестный тип силлогизма (в Аристотелевской силлогистике – это модус EAO 4-йфигуры категорического силлогизма), в котором из двух общих суждений можновывести только частное суждение.
1-я посылка:Ни одно млекопитающее не есть рыба.
2-я посылка:Все рыбы дышат жабрами.
Заключение:Некоторые из тех, кто дышит жабрами, не являются млекопитающими.
Из биологиинам известно, что все дышащие жабрами не относятся к классу млекопитающих. Взаключении же говорится только о некоторых из них. Но в данном случае мы неимеем права говорить о всех дышащих жабрами, потому что при логическом выводемы должны исходить не из наших знаний или заблуждений, а только из того, что намдано в посылках. А из наших посылок по правилам Аристотелевской силлогистикиможно вывести только частное суждение. Посмотрим, что получится, есливоспользоваться E-структурами.
Обозначим М –млекопитающие, Р – рыбы, Ж – дышащие жабрами. Тогда посылки можно представить ввиде таких формул:
М ® />; Р ® Ж.
Здесь нужносделать одно пояснение. Суждение типа «Ни одно A не есть B» в традиционнойлогике означает то же самое, что и суждение типа «Каждое A не есть B» и валгебре множеств соответствует включению соответствующего множества A вдополнение множества B. Наличие двух отрицаний в одном суждении в данном случаеобусловлено не двумя фактическими отрицаниями, а некоторыми нелогичнымиособенностями синтаксиса русского языка. Например, в английском языке суждение«Ни одно A не есть B» формулируется как «No A is B», т.е. в этом языке вотличие от русского используется только одно отрицание. На диаграммах Эйлерасоотношения, выраженные этими суждениями, изображаются в виде парынепересекающихся множеств A и B, из чего следует справедливость включения AÍ/>.
Рассмотримпростой метод построения экзистенциальных суждений для произвольной E‑структуры.Здесь нужно учесть, что граф E-структуры – это граф частично упорядоченногомножества, в котором определяющим отношением является отношение включения множеств.В каждой E-структуре можно выделить наибольший и наименьший элементы – этопустое множество (Æ) и универсум (U); на схемах мы их не показываем – они простоподразумеваются. Кроме подразумеваемых наибольшего и наименьшего элементов в E‑структурахимеются так же минимальные и максимальные элементы – на схемах их присутствиеобязательно. Если руководствоваться/> схемным представлением, тоих определение очень просто.
Минимальныеэлементы E-структуры – это элементы, в которые не входит ни одна дуга. Нарисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 минимальных элемента (М, Р и />).
Максимальныеэлементы E-структуры – это элементы, из которых не исходит ни одна дуга. Нарисунке 31 мы можем распознать таким образом 3 максимальных элемента (/>, /> и Ж).
Чтобыпостроить в E-структуре множество возможных экзистенциальных (частных)суждений, достаточно вычислить верхние конусы всех минимальных элементов.
Используя дляэтого граф на рисунке 31, получим
МD = {М, />}; РD = {Р, Ж, />}; />D = {/>, />}.
Тогдаэкзистенциальные суждения данной структуры формируются в следующейпоследовательности:
выбираетсялюбой верхний конус (например, {Р, Ж, />});
из выбранногона шаге 1 множества литералов формируется некоторое его подмножество (например,{Ж, />});
формируетсяэкзистенциальное суждение, в правой части которого содержится выбранное напредыдущем шаге подмножество литералов.
В нашемпримере таким экзистенциальным суждением будет, в частности,
W®( Ж, />),
которое припереводе на естественный язык («Некоторые, дышащие жабрами, не являютсямлекопитающими») совпадает с заключением, полученным по правиламАристотелевой силлогистики.
Верхниеконусы минимальных элементов называются максимальными верхними конусами даннойE-структуры. Максимальными они являются потому, что верхний конус любогоэлемента, не являющегося минимальным, обязательно является подмножествомкакого-либо максимального верхнего конуса.
Рассмотренныйметод построения экзистенциальных суждений с помощью максимальных верхнихконусов, позволяет вывести все правильные силлогизмы, содержащие в качествезаключений частные суждения, а также построить такие частные заключения,которые не предусмотрены в силлогистике Аристотеля. Эти частные сужденияобладают тем свойством, что они при добавлении в структуру не вызывают коллизийне только в исходной структуре, но и в структуре, которая получается изисходной за счет добавления в нее новых суждений или терминов. При этом,разумеется, должно выполняться условие: при расширении структура должнаоставаться корректной. Поэтому частные суждения, полученные этим методом (спомощью максимальных верхних конусов), мы будем называть безусловнымиэкзистенциальными суждениями (в прежних работах на эту тему такие сужденияназывались Аристотелевыми частными суждениями).
Свойствобезусловных экзистенциальных суждений сохранять свою корректность при любомкорректном расширении структуры обусловлено следующей закономерностью: прилюбом корректном расширении исходной структуры верхние конусы всех элементовисходной структуры являются подмножествами верхних конусов тех же элементов врасширенной структуре.
Этазакономерность может быть строго доказана, но здесь мы это доказательство небудем рассматривать.
Но,оказывается, имеется другой метод построения корректных экзистенциальныхсуждений и соответственно другой класс экзистенциальных суждений. Предположим,что мы выбираем литералы для правой части экзистенциального суждения, но приэтом потребуем выполнения только одного условия: это суждение в даннойструктуре должно быть корректным. Тогда появляется возможность построить такиекорректные экзистенциальные суждения, у которых в правой части множестволитералов не является подмножеством литералов какого-либо максимальноговерхнего конуса структуры. Чтобы такой выбор не производился вслепую, можновоспользоваться следующей теоремой. Предположим, что в структуре выбранонекоторое множество литералов M = {L1, L2,… Lk}, при этом условие, что Mвключено в один из максимальных верхних конусов структуры, не обязательно.Тогда справедлива следующая теорема.
Список литературы
1. Кэрролл Л. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
2. Кулик Б.А. Моделирование рассуждений на основе законов алгебрымножеств // Труды V национальной конференции по искусственному интеллекту.Казань, 7-12 октября 2006 г. Т.1. С. 58-61.
3. Кулик Б.А. Основные принципы философии здравого смысла (познавательныйаспект) // Новости искусственного интеллекта, 2006, No 3, с. 7-92.