Механические волны

Механические волны Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной. Механические волны бывают разных видов. Если в волне частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, то волна называется поперечной.

Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту (рис. 1) или по струне. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, то волна называется продольной. Волны в упругом стержне (рис. 2) или звуковые волны в газе являются примерами таких волн. Волны на поверхности жидкости имеют как поперечную, так и продольную компоненты.

Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой. Рисунок 1 Распространение поперечного волнового импульса по натянутому резиновому жгуту Рисунок 2 Распространение продольного волнового импульса по упругому стержню

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые волны). Для механических волн обязательно нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию. Следовательно, среда должна обладать инертными и упругими свойствами. В реальных средах эти свойства распределены по всему объему.

Так, например, любой малый элемент твердого тела обладает массой и упругостью. В простейшей одномерной модели твердое тело можно представить как совокупность шариков и пружинок (рис. 3). Рисунок 3 Простейшая одномерная модель твердого тела В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики обладают массой m, а пружинки – жесткостью k.

С помощью такой простой модели можно описать распространение продольных и поперечных волн в твердом теле. В продольных волнах шарики испытывают смещения вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются. Такая деформация называется деформацией растяжения или сжатия . В жидкостях или газах деформация такого рода сопровождается уплотнением или разрежением. Теперь рассмотрим основные характеристики механических волн.

Геометрически у волны выделяют следующие элементы: гребень волны — множество точек волны с максимальным положительным отклонением от состояния равновесия долина (ложбина) волны — множество точек волны с наибольшим отрицательным отклонением от состояния равновесия фронт волны — множество точек, имеющих в некий фиксированный момент времени одинаковую фазу колебаний. В зависимости от формы фронта волны выделяют плоские, сферические, эллиптические и другие волны. Одними из основных характеристик волны является временная и пространственная

периодичности. Временная периодичность — скорость изменения фазы с течением времени в какой-то заданной точке, называемую частотой волны f . Пространственную периодичность — скорость изменения фазы в определённый момент времени с изменением координаты — длина волны λ. Временная и пространственная периодичности взаимосвязаны, что отражено в законе дисперсии, который определяет, как именно волны будут выглядеть и распространяться.

В упрощённом виде для линейных волн эта зависимость имеет следующий вид: f = с/ λ, где c — скорость распространения волны в данной среде. Также механическую волну характеризует интенсивность. О силе волны судят по её амплитуде(максимальное значение смещения или изменения переменной величины от среднего значения при колебательном или волновом движении). В отличие от колебания, амплитуда волны — скалярная величина.

Но для количественной характеристики переносимой волной энергии используется вектор плотности потока энергии I. Его направление совпадает с направлением переноса энергии, а абсолютная величина равна количеству энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению вектора. При небольших амплитудах: , где A — амплитуда; k — коэффициент пропорциональности, зависящий от природы волны и свойств среды, где эта волна распространяется.

Упругие волны, их характеристики и распространение Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газо¬образной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распро¬страняться в среде от частицы к частице с некоторой скоро¬стью υ. Процесс распространения колебаний в пространстве на¬зывается волной. Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовле¬каются волной в поступательное движение,

они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В попереч¬ной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендику¬лярных к направлению распространения волны. Упругие попереч¬ные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей

сопротивле¬нием сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн. В зависимости от частоты различают инфразвуковые, звуковые и ультразвуковые упругие волны На рисунке 4 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены час¬тицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное ¼

υT, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час¬тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положе¬ния; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить

положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положе¬ния, а третья частица начнет смещаться вверх из положения рав¬новесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени Т, пройдя путь υT, достигнет частицы 5. На рисунке 5 показано движение частиц при распространении

в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведе¬ния частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско¬ростью υ. На рисунках 4 и 5 показаны колебания частиц, положения

равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблют¬ся не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис¬точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и но¬вые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред¬ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть простран¬ства,

уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой ко¬лебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую по¬верхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых по¬верхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными.

Волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют со¬бой множество параллельных друг другу плоскостей, в сфериче¬ской волне — множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия кото¬рых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе. На рисунке 6 изображена кривая, которая дает смещение  из положения равновесия точек с различными x в некоторый мо¬мент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны.

На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени 1. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково. Расстояние λ, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны.

Очевидно, что λ =υT, где υ — скорость волны, T — период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точ¬ками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2 (см. рис. 6). Заменив в соотношении (1) T через 1/v (v — частота коле¬баний), получим λv = υ. К этой формуле можно прийти также из следующих соображений.

За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e коле¬бание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ. Волновое уравнение Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные

по координатам и времени от функции (3), описывающей плос¬кую волну:  (x, y, z, t ) = a cos ( t − kxx – kyy – kzz +  ) (3) Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим: Сложение производных по координатам дает: Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k2/ω2 через 1/υ2, получим уравнение: Это и есть волновое уравнение.

Его можно записать в виде: где Δ – оператор Лапласа. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из вели¬чины, обратной коэффициенту при дает фазовую скорость этой волны. Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид: Упругие волны в различных средах Упругие волны, упругие возмущения, распространяющиеся в твёрдой, жидкой

и газообразной средах. Например, волны, возникающие в земной коре при землетрясениях, звуковые и ультразвуковые волны в жидкостях и газах и др. При распространении упругих волн происходит перенос энергии упругой деформации в отсутствии потока вещества, который имеет место только в особых случаях, например при акустическом ветре. Всякая гармоническая упругая волна характеризуется амплитудой и частотой колебания частиц среды, длиной волны, фазовой и групповой скоростями, а также законом распределения смещений и напряжений по

фронту волны. Особенность упругих волн состоит в том, что их фазовая и групповая скорости не зависят от амплитуды и геометрии волны (плоская, сферическая, цилиндрическая волны). В жидкостях и газах, которые обладают упругостью объёма, но не обладают упругостью формы, могут распространяться лишь продольные волны разрежения — сжатия, где колебания частиц среды происходят в направлении её распространения. Фазовая скорость равна , где К — модуль всестороннего сжатия, r — плотность среды.

Пример таких упругих волн — звуковые волны. В однородной изотропной бесконечно протяжённой твёрдой среде могут распространяться упругие волны только двух типов — продольные и сдвиговые. В продольных движение частиц параллельно направлению распространения волны, а деформация представляет собой комбинацию всестороннего сжатия (растяжения) и чистого сдвига. В сдвиговых волнах движение частиц перпендикулярно направлению распространения волны, а деформация

является чистым сдвигом. Фазовая скорость продольных волн , сдвиговых — (G — модуль сдвига). На границе твёрдого полупространства с вакуумом, жидкостью или газом могут распространяться поверхностные волны Рэлея, являющиеся комбинацией неоднородных продольных и сдвиговых волн, амплитуды которых экспоненциально убывают при удалении от границы. В ограниченных твёрдых телах (пластина, стержень), представляющих собой твёрдые акустические волноводы, распространяются нормальные волны.

Каждая из них является комбинацией нескольких продольных и сдвиговых волн, которые распространяются под острыми углами к оси волновода и удовлетворяют (в совокупности) граничным условиям: отсутствию механических напряжений на поверхности волновода. Число нормальных волн в пластине или стержне определяется их толщиной или диаметром , частотой нормальных волн и модулями упругости среды. В бесконечной пластине существуют два типа нормальных волн: волны

Лэмба и сдвиговые нормальные волны. Плоская волна Лэмба характеризуется двумя составляющими смещений, одна из которых параллельна направлению распространения волны, другая перпендикулярна граням пластины. По характеру распределения смещений относительно средней плоскости пластины волны Лэмба делятся на симметричные и антисимметричные. Частный случай симметричной волны Лэмба — продольная волна в пластине, а антисимметричной — изгибная волна.

В плоской сдвиговой нормальной волне смещения параллельны граням пластины и одновременно перпендикулярны направлению распространения волны. Простейший вид такой волны — нормальная волна нулевого порядка, в которой смещения одинаковы во всех точках поперечного сечения пластины. В цилиндрических стержнях могут распространяться нормальные волны продольного, изгибного и крутильного типа, причём если толщина стержня мала по сравнению с длиной волны, то в нём может распространяться

только по одной нормальной волне каждого типа. В анизотропных средах (кристаллах) свойства упругой волны, и возможность её существования зависят от класса кристалла и направления распространения. В частности, чисто продольные и чисто сдвиговые волны могут распространяться только в кристаллах определённых симметрий и по определённым направлениям, как правило, совпадающим с направлением кристаллографичесих осей. В общем случае в кристалле по любому направлению всегда распространяются упругие волны с тремя

различными скоростями: одна квазипродольная и две квазипоперечные волны, в которых преобладают соответственно продольные или поперечные смещения. Из-за внутреннего трения и теплопроводности среды распространение упругих волн сопровождается её затуханием с расстоянием. Если на пути упругих волн имеется какое-либо препятствие (отражающая стенка, вакуумная полость и т.д.), то происходит дифракция волн на этом препятствии.

Частный случай дифракции — отражение и преломление упругих волн на плоской границе двух полупространств. В упругих волнах напряжения пропорциональны деформациям (т. е. удовлетворяется закон Гука). Если амплитуда деформации в волне столь велика, что напряжение превосходит предел упругости вещества, то при прохождении волны в веществе появляются пластические деформации и её называют упруго-пластической волной. В жидкости и газе аналогичную волну называют волной конечной амплитуды.

Энергия упругой волны Найдем изменение энергии малого объема dV упругой среды, связанное с распространением в среде плоской волны, которая задана уравнением: (6) Ввиду малости объема dV можно считать, что все находящиеся в нем частицы среда колеблются в одной фазе, так что их скорости одинаковы и равны: Поэтому кинетическая энергия объема среды dV, связанная с колебательным движением, равна: где ρ - плотность среды.

Из (6) следует: Поэтому: (7) Подсчитывая работу деформации объема dV среды при волновом движении (деформация сдвига в случае поперечной волны и деформации объемного сжатия в случае продольной волны), можно показать, что потенциальная энергия dWп объема dV среды равна его кинетической энергии. Полная механическая энергия dW колебательного движения элементарного объема dV упругой среды равна сумме его кинетической и потенциальной энергии. (8)

Таким образом, формула (8) характеризует полную механическую энергию упругой волны. Стоячие волны Стоячая волна (рис 7) - колебания в распределённых колебательных системах с характерным расположением чередующихся максимумов (пучностей) и минимумов (узлов) амплитуды. Практически такая волна возникает при отражениях от преград и неоднородностей в результате наложения отражённой волны на падающую. При этом крайне важное значение имеет частота, фаза и коэффициент затухания

волны в месте отражения. Рисунок 7 Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — волны Шумана. Чисто стоячая волна, строго говоря, может существовать только при отсутствии потерь в среде и полном отражении волн от границы. Обычно, кроме стоячих волн, в среде присутствуют и бегущие волны, подводящие энергию к местам её поглощения или излучения. Если в среде распространяется одновременно несколько волн,

то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн. В случае, когда колебания, обусловленные отдельными волна¬ми в каждой из точек среды, обладают постоянной разностью фаз, волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции,

заключающееся в том, что колебания в одних точках усиливают, а в других точках ослабляют друг друга. Очень важный случай интерференции наблюдается при нало¬жении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс, как было оговорено ранее, называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, образуют

стоячую волну. Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси х в противоположных направлениях: 1 = a cos ( t − kx + 1 ), 2 = a cos ( t + kx + 2 ). Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле для суммы косинусов, получим: (9) Уравнение (9) есть уравнение стоячей волны. Чтобы упростить его, выберем начало отсчета х так, чтобы разность α1 – α2 стала равной

нулю, а начало отсчета t — так, чтобы оказалась равной нулю сумма α1 – α2. Кроме того, заменим волновое число k его значением 2π/λ. Тогда уравнение (9) примет вид: (10) В точках, координаты которых удовлетворяют условию 2πx/λ =  nπ (n  N) – (11), амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны.

Из (11) получаются значения координат пучностей: Точки, амплитуда колебаний которых обращается в ноль называются узлами стоячей волны. Координаты узлов имеют значения: На рисунке 8 дан ряд «моментальных фотографий» отклонений точек от положения равновесия. Первая «фотография» соответствует моменту, когда отклонения достигают наибольшего абсолютного значения. Последующие «фотографии» сделаны с интервалами в четверть периода.

Стрелками показаны скорости частиц. Рисунок 8 Продифференцировав уравнение (10) один раз по t, а другой раз по х, найдем выражения для скорости частиц : (11) и для дефор¬мации среды: (12) Уравнение (11) описывает стоячую волну скорости, а (12) – стоячую волну деформации. На рисунке 9 сопоставлены «моментальные фотографии» смеще¬ния, скорости и деформации для моментов времени 0 и T/4.Из графиков видно, что узлы и пучности скорости совпадают с узлами и пуч¬ностями смещения; узлы

же и пучно¬сти деформации совпадают соответ¬ственно с пучностями и узлами сме¬щения. В то время как  и ε достигают максимальных значений,  обраща¬ется в ноль, и наоборот. Соответст¬венно дважды за период происходит превращение энергии стоячей волны то полностью в потенциаль¬ную, сосредоточенную в основном вблизи узлов волны (где нахо¬дятся пучности деформации), то полностью в кинетическую, со¬средоточенную в основном вблизи пучностей волны (где находятся пучности

скорости). В результате происходит переход энергии от каждого узла к соседним с ним пучностям и обратно. Средний по времени поток энергии в любом сечении волны равен нулю. Список литературы 1. Ландау Л. Д Лифшиц Е. М Теория упругости, 3 изд М 1965 (Теоретич. физика, т. 7). 2. Кольский Г Волны напряжения в твердых телах, пер. с англ М 1955. 3.

Бреховских Л. М Волны в слоистых средах, 2 изд М 1973. 4. Викторов И. А Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике, М 1966. 5. Викторов И. А Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике, М 1966. 6. Бутиков Е.И Кондратьев А.С. Физика. Учебное пособие. Книга 2: Электродинамика.

Оптика 2001. 7. Морз Ф Колебания и звук, М. — Л 1949.