Модальная логика. Вероятностнаялогика
1. Сущностьмодальной логики
Традиционная иликлассическая логика, которую мы до сих пор рассматривали, является самойпростой и наиболее употребительной логической системой. Она исходит из того,что атомарные (простые) суждения и понятия, из которых строятся рассуждения икоторые уже не анализируются, либо истины, либо ложны, но ни то ни другоевместе. Однако многие понятия и суждения повседневных и научных рассуждений нетак хорошо укладываются в категории истинных и ложных. Истинностное значениесуждения «Вероятно, завтра будет дождь» весьма и весьма не определено.Некоторые логики, начиная с Аристотеля, стали учитывать различие междуистинами, являющимися таковыми, так сказать, в силу необходимости, и истинамислучайными. Так возникли модальная логика и вероятностная логика.
В отличие отклассической логики, приписывающей суждениями и понятием два истинностных значения:истина и ложь, модальная логика оперирует такими истинностными значениями, как«возможно», «необходимо», «невозможно», и т.д. Первую попытку построитьмодальную логику предпринял Аристотель в своем сочинении «Первая и втораяаналитики» (ей посвящены главы третья и восьмая – двадцать вторая «первойаналитики»). Однако, как подметил Я. Лукосевич (1878–1956), аристотелевскоеизложение модальной логики не было свободно от недостатков. Ученик АристотеляТеофраст (370–288 до н. э.) уточнил учение Аристотеля о модальностисуждений. Средневековые схоласты развили аристотелевскую модальнуюсиллогистику. Современные исследования в области модальной логикихарактеризуются стремление построить аксиоматические системы модальной логики.Наиболее известные из них это системы Льюиса, Аккермана и Лукасевича.
Модальная ивероятностная логики – довольно специфические ветви логики. Знакомство с ихосновами необходимо для понимания методологии научного исследования.
2. Модальностьсуждений
Под модальностьюсуждений понимается различия между суждением в зависимости от того, выражают лиони необходимую или вероятностную (случайную) связь между субъектом ипредикатом. По модальности суждения делят на три группы: суждения возможности(проблематические), суждения действительности(ассерторические) и суждениянеобходимости(аподиктические). В суждении возможности отображается возможностьналичия или отсутствия признаков у предмета, о котором говорится в данномсуждении. Его формула «S возможно есть (не есть) Р». Таким будет,например, суждение «Возможно в Киеве в апреле этого года будет снег». Всуждении действительности констатируется наличие или отсутствие у предмета тогоили иного признака. Его формулы «S есть (не есть) Р». Суждение«Киев стоит на Днепре» – это суждение действительности. В суждениинеобходимости отображается такой признак, который имеется (отсутствует) упредмета при всех условиях. Его формула «S необходимо есть (не есть) Р».примером суждения необходимости может быть следующее суждение: «Тело, лишенноеопоры, падает на Землю».
Суждениявозможности, действительности и необходимости делятся по качеству наутвердительные и отрицательные, а также по количеству на частные и общие.
Содержательнаятипология модальностей строится в зависимости от того, какими факторами обуславливаетсямодальность (термин «модальность» означает обусловленный чем-либо).
В модальной логикиразличают логические и физические модальности. Логические модальности – этозаконы логики и математики. В число физических или каузальных (причинных) модальностейвходят все законы экспериментальных наук. Так, суждение «Не верно, что Ри не‑Р», «2+2=4» и т.п. выражают логические модальности, асуждения «PV=RT», «U=IR» и т.п. – физические.
Различают такжеабсолютные и относительные модальности. К абсолютным модальностям относятзаконы логики, математики, других наук необходимые сами по себе, независимые отчего бы то ни было. Это скажем, суждения «А=А», «2+3=5», «S=Vt»и т.д. Относительные модальности являются таковыми, необходимо или не необходимозависимы от чего-либо.
Такимимодальностями будут, например, суждения: «Прямоугольник является квадратом,если его стороны равны», «Вода кипит при 1000 С при атмосферномдавлении 760 мм ртутного столба» и т.п.
Логические ифизические модальности, независимо от того абсолютны они или относительны,объединяются в алетевтические модальности.
Модальности,характеризующие допустимые (или недопустимые) поступки людей, называютсядеонтологическими. Они выражаются в суждениях, в которых употребляются такиеслова (модальные операторы), как «обязательно», «разрешено», «запрещено»,«имеют право» и др. Примерами таких модальностей будут суждения: «На Украинепропаганда войны запрещена», «Граждане Украины имеют право исповедовать любуюрелигию или никакую, быть атеистами» и т.п. Деонтологические модальностиявляются предметом изучения таких наук как этика, юриспруденция.
Модальности,характеризующие доказательность каких-либо суждений, называютсяэпистемологическими. В суждениях эпистемологической модальности употребляютсятакие слова (модальные операторы), как «доказуемо», «опровержимо». Примерамитаких модальностей могут быть суждения: «Доказуемо, что на Марсе есть жизнь»,«Опровержимо, что свет имеет волновую природу» и т.д.
Эпистемологическиемодальности по своим свойствам близки к алетевтическим модальностям, при чем оператору«доказуемо», соответствует оператор «необходимо», оператору «опровержимо» – оператор«невозможно».
Наконец, иногдаразличают модальность de dicto («о речи») относящиеся к суждению в целом и dere («о вещи»), которые относятся к предикату. Так, суждение «Возможно, что наМарсе есть жизнь» будет суждением de dicto, а суждение «На Марсе возможнажизнь» – de re. Однако в большинстве современных системах модальной логикимодальности интерпретируются как «абсолютные» логические модальности de dicto.
3. Модальнаясилогистика
Модальнаясиллогистика Аристотеля является крайне сложной логической системой как посвоему содержанию, так и по числу модусов (их по меньшей мере 137) Аристотельпоследовательно рассматривает силлогизмы, в которых одна из посылок являетсяпроблематической (символически обозначается Рr) илиаподиктической (АР), или ассерторической (Аs).Возможное в сочетании этих посылок: 1) Ар Ар; 2) АрАs; 3) Аs Ар; 4) Рr Рr;5) Рr Аs; 6) Аs Рr;7) Рr Ар; 8) Ар Рr.Это следует читать так: «1) большая посылка аподиктическая, меньшая –аподиктическая; 2) большая посылка аподиктическая, меньшая – ассерторическая ит.д.». В каждом из этих случаев он строит модусы, подбирая в качестве посылокобщеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные ичастноотрицательные суждения. Руководствуясь аналогией с расположением терминовв посылках І, ІІ, ІІІ фигур категорического силлогизма, он решает задачу, какойвывод вытекает из данного сочетания посылок.
Так, подбираяпосылки по аналогии с расположением посылок в 1 модусе 1 фигуры АМРÙASM→АSP мы получаем задачу: если всякому у необходимоприсуще х и всякому z необходимо присуще у, то? в этомслучае мы не вправе заменить вопросительный знак общеутвердительнымаподиктическим суждением. Мы должны довольствоваться ассерторическим суждением:всякому z присуще х. Еще например, подбирая в четвертой группе (РrРr) посылки согласно модусу АМРÙYSM→YSP ІІІ фигуры получаем: если всякому уможет быть присуще х и некоторым у может присуще z, то? Ответомбудет вывод некоторым z может быть присуще х.
В ряде случаевтрудно бывает сразу интуитивно решить, какой должен быть вывод при данномподборе посылок, являющимися модальными высказываниями и требуется тщательноеизучение этих случаев.
В формализованныхаксиоматических системах модальной логики эти вопросы решаются с помощьюпростой процедуры следования (правда, для введения этой процедуры требуетсяочень сложный символический язык, который вряд ли смогут понять нематематики).
Имеют местоследующие содержательные правила для умозаключений модальности. В каждомистинном модус можно заключать:
1) от необходимости кдействительности;
2) от невозможного кнедействительному;
3) от необходимого идействительного к возможному;
4) от невозможного инедействительного к не необходимому.
Нельзя заключать:
1) от возможного кдействительному;
2) от действительного кнеобходимому;
3) от не необходимости кнедействительности;
4) от недействительностик невозможности.
4. Вероятностнаялогика
В вероятностнойлогике исследуются рассуждения с суждениями вероятности. В этих сужденияхчто-то утверждается или отрицается с известной степенью правдоподобия. Приопределении вероятностей применяются правила математического исчислениявероятностей. Это делается тремя основными путями.
Индуктивное или классическоеопределение вероятностей было развито Л. Ферма, Я. Бернули (1654–1705),П. Лапласом (1749–1827) и др. Оно основано на анализе равновероятныхисходов мыслимого эксперимента. Если все исходы этого мыслимого экспериментасоставляют n, а, m – число тех наступления события А вэтом эксперименте, вероятность которого хотят найти, то
Р (А)=/>
Например, исходяиз симметрии игральной кости до ее подбрасывания легко подсчитать, чтовероятность выпадения более четырех очков (событие А) равна 1/3. В самомделе, вероятность выпадения пяти очков равна, вероятность выпадения шести очков-тоже />. Следовательно,
Р (А)=/>
В ХХ в. сначала Р. Мизес,а затем Г. Рейхенбах обратили внимание на то, что часто интересуемые нассобытия опосредованы такой массой обстоятельств, что учесть их и априорнопредсказать, с какой вероятностью из них будут вытекать эти события, не представляетсявозможным. Поэтому на практике приходится ограничиваться приближенной оценкойвероятности, получаемой из обобщения ряда наблюдений или физических экспериментов.Вероятность события А, т.е. Р (А), по Мизесу и Рейхенбахупредставляет собой отношения числа mпоявления события А в nнаблюдениях или экспериментов, т.е.
Р (А)=/>
Формулы вычислениявероятности события А при первом и при втором подходах совпадают. Но смысл ихсовершенно различен. При первом подходе вероятность вычисляетсяаpriori(до опыта), при втором apasteriori (после опыта), т.е. статистически. При первомподходе вероятностная логика может рассматриваться как расширение логики модальной,при втором – логики индуктивной.
В аксиоматическойтеории вероятностей вопрос о том, как определяются вероятности основныхсобытий, не играет роли. В основу этой теории, развитой С.Н. Бернштейном, А.Н. Колмогоровым,А.Я. Хичиным лежит некоторая система аксиом, указывающая основные правиласоставления вероятностей сложных событий. Произведением событий А и Вназывается событие «А иВ», суммой – событие «А или В»и т.д. вероятностью события называется число Р обладающее следующимисвойствами:0≤р(A)≤1; р (1)=1; р(0)=0; если АÌВ, то Р(А) ≤ Р (В); если АÇВ=0, то р (А или В)= Р(А) + Р (В) ит.д.
Аксиоматическоепостроение теории вероятности превращает ее в раздел чистой математики.
Литература
1. Логика. К. – Хатнюк В.С. 2005 г.
2. Логика – искусствомышления. Тимирязев А.К. – К. 2000 г.
3. Философия и жизнь –журнал – К. 2004 г.
4. История логики и мышления– Касинов В.И. 1999.
5. Логика и человек – М.2000.
6. Философия жизни. Матюшенко В.М.– Москва – 2003 г.
7. Философия бытия. Марикова А.В.– К. 2000 г.