Анализ и синтез
Логическиеметоды познания особенно необходимы при отыскании решения задач. Рассмотрим,например, следующую задачу: «Определить площадь четырехугольника,диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8 см». Поиск еерешения целесообразно начать, пользуясь методами анализа и синтеза. В процессеанализа задачи выделяются все ее утверждения: 1) необходимо вычислить площадьчетырехугольника; 2) четырехугольник имеет взаимно перпендикулярные диагонали;3) диагонали четырехугольника равны 6 и 8 см. Выделение этих утверждений из«целого» (задачи) — результат проведения анализа. Анализ направляетсявопросами: «Что дано в задаче?», «Что еще дано в задаче?»,«О чем еще говорится в задаче?», «Что в задаче требуетсянайти?». Важно иметь в виду, что при решении задачи анализ проводится неодин раз: возможен повторный анализ, анализ с новой целью, с иной точки зренияи т. п. Так, для выполнения чертежа необходим дополнительный анализ,устанавливающий порядок использования данных задачи для построения чертежа.Выполнение чертежа предполагает уже другой метод познания — метод синтеза.Ошибки в выполнении чертежа являются поводом для проведения анализа с более конкретнойцелью, т. е. более углубленного анализа. Например, при решении рассматриваемойзадачи учащиеся иногда четырехугольник изображают в виде параллелограмма.Избежать ошибки в выполнении чертежа можно, если начать построения не счетырехугольника, а с его диагоналей, изображая их произвольными взаимноперпендикулярными отрезками. В итоге дополнительного анализа на первый планвыдвигается условие перпендикулярности диагоналей, которое является основным вотыскании общей идеи решения задачи, необходимых вычислений. Возможны различныерешения задачи (в зависимости от того, в каком направлении будет вестисьанализ, на какие треугольники будет разбит данный четырехугольник). Например,нетрудно заметить, что данный четырехугольник состоит из четырех (или двух)треугольников и задача тем самым сводится к нахождению суммы площадей этихтреугольников.
Анализ- логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объектмысленно (или практически ) расчленяется на составные элементы (признаки, свойства,отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененногоцелого.
Синтез- логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое.
Оченьчасто умение мыслить связывают с умением анализировать. Это вполне правомерно,так как вывод следствий, выражающих новые свойства изучаемого объекта, оченьчасто требует анализа того, что уже известно о нем. В математике, чаще всего,под анализом понимают рассуждение в «обратном направлении», т. е. отнеизвестного, от того, что необходимо найти, к известному, к тому, что уженайдено или дано, от того, что необходимо доказать, к тому, что уже доказаноили принято за истинное. В таком понимании, наиболее важном для обучения,анализ является средством поиска решения, доказательства, хотя в большинствеслучаев сам по себе решением, доказательством еще не является.
Синтез,опираясь на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи илидоказательство теоремы. Анализ лежит в основе весьма общего подхода к решениюзадач (имеется в виду нестандартных задач, для которых нет соответствующегоалгоритма), известного под названием сведения (редукции) задачи к совокупностиподзадач. Идея такого подхода состоит именно в свойственном для анализа«размышлении в обратном направлении» от задачи, которую предстоитрешить, к подзадачам, затем от этих подзадач к подподзадачам и т. д., покаисходная задача не будет сведена к набору элементарных задач. Что же понимаютпод «элементарными задачами»? Это, во-первых, задачи, решаемые заодин шаг поиска, во-вторых, более сложные задачи (т. е. не решаемые за один шагпоиска), решение которых уже известно из имеющегося опыта решения задач.
Изтакого понимания элементарной задачи следует, что чем больший опыт решениязадач, тем больше задач становятся для нас «элементарными» вупомянутом выше смысле, а следовательно, тем меньше объем поиска при решенииновых задач, их сведения к элементарным, так как цель поиска состоит вполучении элементарных задач, останавливающих процесс поиска.
Подходк решению задач, состоящий в сведении задач к совокупности подзадач, находитширокое применение в практике решения не только задач на доказательство.
Приведемв качестве примера арифметическую задачу для IV класса: «В двух бригадахсовхоза участки под зерновые составляли 2000 га и 3000 га соответственно.Первая бригада собрала по 30 ц, вторая по 26 ц с гектара. Продано государству5500 т с первого участка и 7000 т со второго. Остальное зерно засыпано всеменной фонд. Сколько зерна засыпал совхоз в семенной фонд?»
Обычноанализ задачи по существу представляет собой процесс сведения данной задачи ксовокупности подзадач, доведенный до элементарных задач. Здесь элементарнойсчитается задача, решаемая с помощью не более одного действия над даннымизадачи (т. е. элементарной считается и задача, решение которой находится средиданных, например: «Сколько зерна продано государству с первогоучастка?»).
Возможени иной путь поиска. Построение самого процесса решения (синтез) осуществляетсяпоследовательным решением подзадач в обратном порядке.
Нарядус анализом и синтезом в обучении математике часто используются аналогия,обобщение и конкретизация.
Принципсознательности обучения ориентирует учащихся на осознание путей получения новыхзнаний. Это осознание формируется на основе практики целенаправленногоприменения методов научного познания. Полезным является также краткийметодологический комментарий процесса поиска решения математических задач.
Сравнение и аналогия
Сравнениеи аналогия-логические приемы мышления, используемые как в научныхисследованиях, так и в обучении.
Спомощью сравнения выявляется сходство и различие сравниваемых предметов, т. е.наличие у них общих и необщих (различных) свойств.
Например,сравнение треугольника и четырехугольника раскрывает их общие свойства: наличиесторон, вершин, углов, столько же вершин и углов, сколько сторон, а такжеразличие: у треугольника три вершины (стороны), у четырехугольника — четыре.Сравнение параллелограмма и трапеции позволяет выявить их общие свойства: ониоба четырехугольники, оба имеют параллельные стороны, — и различие: в одном — две пары параллельных сторон, в другом — одна. Сравнение обыкновенных иалгебраических дробей выявляет их сходство: наличие числителя и знаменателя,отсутствие значения, когда знаменатель обращается в нуль, и т.д., — и различие:в одном случае числитель и знаменатель — числа, в другом — алгебраическиевыражения.
Сравнениеприводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:
1)сравниваемые понятия однородны и 2) сравнение осуществляется по такимпризнакам, которые имеют существенное значение.
Этидва условия выполняются в приведенных выше сравнениях: треугольник ичетырехугольник — однородные понятия (многоугольники), параллелограмм итрапеция — четырехугольники, обыкновенные и алгебраические дроби — выражения.Во всех трех случаях сравнение осуществлено по существенным признакам (если,например, включили бы в общие свойства параллелограмма и трапеции тот факт, чтоони оба обозначены одними и теми же буквами АВСД, или считали бы различиемобозначение их различными буквами, то это было бы ошибочным подходом ксравнению). Сравнение подготавливает почву для применения аналогии. С помощьюаналогии сходство предметов, выявленное в результате их сравнения,распространяется на новое свойство (или новые свойства).
Рассуждениепо аналогии имеет следующую общую схему:
Аобладает свойствами А, В, С, Д,
Вобладает свойствами А, В, С,
Вероятно(возможно) В обладает и свойством Д.
Каквидим, заключение по аналогии является лишь вероятным (правдоподобным), а недостоверным. Поэтому аналогия, как правило, не является доказательнымрассуждением, т. е. рассуждением, которое может служить доказательством.(«Как правило» потому, что имеется исключение, связанное с особымвидом аналогии, о котором речь пойдет дальше.) Однако в обучении, как, впрочем,и в науке, аналогия часто полезна тем, что она наводит нас на догадки, т. е.служит эвристическим методом. В обучении же математике не менее важно, чемучить доказывать, это учить догадываться, что именно подлежит доказательству икак найти это доказательство.
Вприведенном выше разъяснении того, что такое аналогия, используется понятие«сходство», которое само нуждается в разъяснении. Когда говорят,например, о сходстве между людьми, между человеком и его изображением нафотоснимке или картине и т. п., интуитивно понимают, что означает сходство. Номожно ли в таком же смысле говорить, например, о сходстве между множествомучащихся класса и множеством А = {1,2,3, ..., 30}, или между множеством точекпрямой и множеством действительных чисел, или между множеством объектов нанекотором участке и планом этого участка? Применение же аналогии вматематическом исследовании, а поэтому и в обучении математике, частохарактеризуется именно тем, что оно основано на глубоком, внутреннем«сходстве», а по существу на одинаковости структуры множествпредметов различной природы с отношениями, имеющими совершенно различный смысл,при отсутствии всякого внешнего «сходства» (в обычном смысле) междуэтими множествами. Это «структурное сходство», получившее точноематематическое описание с помощью понятия изоморфизма, лежит в основе особоговида аналогии, приводящей в отличие от обычной аналогии к достовернымзаключениям.
Например,в основе координатного метода лежит идея взаимно однозначного соответствиямежду множеством точек прямой (плоскости или пространства) и множествомдействительных чисел (пар или троек чисел), переводящего некоторые отношениямежду точками в отношения между числами (парами или тройками чисел). Этовзаимно однозначное соответствие является изоморфизмом, позволяющим осуществитьоднозначный перевод свойств с языка, описывающего структуру множества точекпрямой (плоскости или пространства), на язык, описывающий структуру множества Я(^ или ^), и обратно.
Возможностьприменения аналогии, казалось бы, к совершенно различным объектам основана насовпадении математических моделей этих объектов или принадлежности этих моделейк одному классу.
Вспомнимслова В. И. Ленина: «Единство природы обнаруживается в „поразительнойаналогичности“ дифференциальных уравнений, относящихся к разным областямявлений». Простейшее дифференциальное уравнение
y'= -ky (1)
иего решение
y = yoe-kt(2)
могутописать процесс распада радия (в этом случае формула (2) дает массу у радия вмомент х, если y — масса радия в момент времени x ), и процесс измененияатмосферного давления в зависимости от высоты х над уровнем океана (в этомслучае (2) — барометрическая формула), и процесс изменения народонаселения(если прирост населения в данный момент пропорционален численности населения вэтот момент), и процесс охлаждения тела при постоянной температуре окружающейсреды (поскольку скорость остывания тела пропорциональна разности температуртела и окружающей среды), и, вообще, всякий процесс показательного роста илиспада (при k 0), характеризующийся тем, что скоростьизменения величины пропорциональна самой изменяющейся величине в данный момент,что и выражено в дифференциальном уравнении (1).
Всеперечисленные явления и процессы обладают глубоким сходством при всем внешнемразличии, выражающемся тем, что их математические модели принадлежат одномуклассу моделей (1). Это и позволяет переносить по аналогии свойства одного изэтих процессов на другой (если только эти свойства выводимы из построенноймодели).
Частота или иная последовательность в изучении учебного материала обосновываетсявозможностью использования аналогии в обучении. Например, изучение десятичныхдробей раньше обыкновенных объясняется не только тем, что именно десятичныедроби широко применяются в практике, но и возможностью использования приизучении арифметики десятичных дробей аналогии с арифметикой натуральных чисел.При изучении свойств алгебраических дробей можно использовать аналогию собыкновенными дробями. Аналогия может служить базой для одновременного изученияарифметической и геометрической прогрессий.
Однаков установившейся практике обучения математике аналогия используетсянедостаточно. Иногда высказываются опасения, что с помощью аналогии мы можемприйти к ложным заключениям. Например, исходя из того, что предложение
а|| b и ас bс(1)
верно(является теоремой) и на плоскости и в пространстве, а обратное предложение
а|| c и bс aс(2)
вернона плоскости (является теоремой планиметрии), по аналогии утверждают, чтопредложение (2) верно и в пространстве, и приходят, таким образом, к ложномузаключению.
Надо,однако, помнить, что в этом случае заключение по аналогии лишь правдоподобия ипоэтому подлежит еще доказательству (или опровержению).
Следуетотметить как недостаток, что (в практике обучения) опровержению мы почти неучим. Это является и серьезным упущением в общеобразовательном и воспитательномотношении, так как в жизни нередко возникает необходимость опровергать.
Исходяиз истинности предложения (2) на плоскости, необходимо выяснить, имеет ли местоаналогичное свойство в пространстве. Так как это предложение является общим(кванторы общности «для любых а, b, c подразумеваются), то для егоопровержения достаточно найти такие прямые а, b, с, чтобы условие (аc и bс)выполнялось, а заключение {а || b) не выполнялось.
Мыне должны опасаться возникновения ложных заключений по аналогии. Необходимолишь считать их гипотезами (предположениями). Ошибки, допускаемые в процессепоиска, исследования, вполне правомерны, так как чаще всего поиск ведетсяспособом „проб и ошибок“. В установившейся практике обучения, какправило, мы не даем учащимся, отвечающим на вопросы учителя, ошибаться. В этомотражается тот факт, что учебная деятельность учащихся является в основном лишьрепродуктивной, а в такой деятельности ошибки недопустимы. Воспроизводитьнеобходимо безошибочно. В продуктивной же, творческой деятельности ошибкинеизбежны. Такого рода ошибками являются и те, которые появляются в результатеприменения аналогии в процессе поиска. Они являются составной частью методапроб и ошибок. Важно, чтобы учащиеся в поиске правильных ответов сами моглинаходить ошибочность возникающих в этом процессе предположений. Этому,разумеется, надо их учить.
Находитьсходство, которое могло бы служить источником плодотворных рассуждений поаналогии, бывает нелегко даже в том случае, когда природа сравниваемых объектоводинакова.
Возьмемдля примера две геометрические фигуры: треугольник и тетраэдр. В чем состоитсходство между этими фигурами? Треугольник — плоская фигура, тетраэдр — пространственная. Может быть, сходство в том, что грани тетраэдра — треугольники? Если даже принять, что в этом есть какое-то сходство (а пока неуточнено, что такое „сходство“: можно понимать под этим что угодно),то вряд ли оно может быть источником для рассуждений по аналогии. Болееглубокое исследование этих двух объектов позволяет обнаружить такое структурноесходство, которое является источником аналогии, ведущей к открытиям. Действительно,треугольник и тетраэдр — ограниченные выпуклые множества точек… Первоеобразовано минимальным числом прямых на плоскости (нет многоугольника сменьшим, чем три, числом сторон), второе — минимальным числом плоскостей впространстве. Отсюда, разумеется, не следует, что все свойства этих фигуродинаковы. Но если мы уже изучили свойства треугольника и приступаем к изучениюсвойств тетраэдра, то установленное сходство в одних свойствах дает нам правопредполагать (только предполагать), что и некоторые другие свойстватреугольника „переводятся“ аналогичным образом в свойства тетраэдра.Так, например, исходя из установленного сходства и из того, что „втреугольнике биссектрисы углов пересекаются в одной точке и эта точка — центрвписанной окружности“, мы приходим к предположению, что „в тетраэдребиссекторные плоскости двугранных углов пересекаются в одной точке и эта точка- центр вписанной сферы“, и т. д. Мы открываем новые свойства тетраэдра,рассуждая по аналогии. Эти свойства, разумеется, подлежат доказательству.
Другойпример. Параллелепипед — пространственный аналог параллелограмма: впараллелограмме противоположные стороны параллельны, в параллелепипедепротивоположные грани параллельны. Рассуждая по аналогии, можно прийти кгипотезе, что в параллелепипеде, так же как и в параллелограмме, диагонали,пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам. Но если видеть только сходствои не замечать различия, в частности, что в параллелограмме всего две диагонали,а в параллелепипеде — четыре, то мы упустим важное свойство, подлежащеедоказательству, а именно, что все диагонали параллелепипеда пересекаются водной точке. Как видим,. применению аналогии должно предшествовать сравнение, спомощью которого выявляется как сходство, так и различие.
Сфера- пространственный аналог окружности. Эти две фигуры определяются как множестваточек плоскости и пространства соответственно, характеризуемые одним и тем жесвойством:
{X|| OX| = r}
(множествовсех точек плоскости (пространства), расстояние которых от данной точки О равноданному числу r).
Этонаводит на догадку, что сфера обладает некоторыми свойствами, аналогичнымисвойствам окружности. Например, что свойства взаимного расположения прямой иокружности переводятся в свойства взаимного расположения плоскости и сферы: 1)Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то плоскостьи сфера не имеют общих точек. 2) Если расстояние от центра сферы до плоскостиравно радиусу сферы, то плоскость и сфера имеют одну и только одну общую точку.3) Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, топлоскость и сфера пересекаются по окружности (т. е. имеют бесконечное множествообщих точек, лежащих на окружности). Как видно, лишь в третьем случаепроявляется различие между окружностью и сферой, которое должно учитываться приформулировке аналогичных свойств. Свойство касательной плоскости тоже можетбыть найдено с помощью аналогии.
Обобщение, абстрагирование и конкретизация
Обобщениеи абстрагирование — два логических приема, применяемые почти всегда совместно впроцессе познания.
Обобщение- это мысленное выделение, фиксирование каких-ни-будь общих существенныхсвойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.Абстрагирование — это мысленное отвлечение, отделение общих, существенныхсвойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных илинеобщих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание (врамках нашего изучения) последних.
Когдамы говорим „несущественные свойства“, то имеется в видунесущественные с математической точки зрения. Один и тот же предмет можетизучаться, например, и физикой, и математикой. Для физики существенны одни егосвойства (твердость, теплопроводимость, электропроводимость и другие физическиесвойства), для математики эти свойства несущественны, она изучает лишь форму,размеры, расположение предмета.
Изприведенного краткого разъяснения видно, что абстрагирование не можетосуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, чтоподлежит абстрагированию.
Обобщениеи абстрагирование неизменно применяются в процессе формирования понятий, припереход от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристическийметод.
Подобобщением понимают также переход от единичного к общему, от менее общего кболее общему.
Подконкретизацией понимают обратный переход — от более общего к менее общему, отобщего к единичному.
Еслиобобщение используется при формировании понятий, то конкретизация используетсяпри описании конкретных ситуаций с помощью сформированных ранее понятий.
Уточнимпереход от единичного к общему, от менее общего к более общему и обратныйпереход.
Например,формирование понятия „квадрат“ на раннем этапе обучения начинаетсяпоказом множества предметов, отличающихся друг от друга формой, размерами,окраской, материалом, из которого они сделаны. Дети, после того как импоказывают на одну из этих фигур и говорят, что это квадрат, безошибочноотбирают из множества фигур все те, которые имеют такую же форму, пренебрегаяразличиями, касающимися размеров, окраски, материала. Здесь выделение измножества предметов подмножества производится по одному еще недостаточнопроанализированному признаку — по форме. Дети еще не знают свойств квадрата,они распознают его только по форме. Такое распознавание встречается у детей 4-5лет. Дальнейшая работа по формированию понятия квадрата состоит в анализе этойформы с целью выявления ее свойств. Учащимся предлагается путем наблюдениянайти, что есть общего у всех отобранных фигур, имеющих форму квадрата, чем ониотличаются от остальных. Устанавливается, что у всех квадратов 4 вершины и 4стороны. Но у некоторых фигур, которые мы не отнесли к квадратам, тоже 4вершины и 4 стороны. Оказывается, у квадрата все стороны равны и все углыпрямые. Все отобранные фигуры, обладающие этими свойствами, мы объединяем водин класс — квадраты (переход от единичного к общему).
Вдальнейшем обучении этот класс включается в более широкий класс прямоугольников(переход от общего к более общему). При этом переходе к более широкому классупроисходит сужение характеристики класса, одно из свойств, характеризующихкласс квадратов (равенство всех сторон), опускается.
Так,если множество свойств, характеризующих класс предметов А, обозначить черезS(А) (в традиционной формальной логике А называется объемом понятия, аS(А)-содержанием понятия), то имеет место следующее соотношение: если АВ, тоS(В)S(A).
Обратныйпереход от более общего к менее общему, или выделение некоторого подкласса Акласса В, осуществляется с помощью некоторого свойства, которым обладаютнекоторые элементы В, другие же не обладают им. Те элементы В, которые обладаютэтим новым свойством и образуют подкласс А класса В.
Присоединивэто новое свойство Р к множеству свойств, характеризующих класс В, получаеммножество свойств, характеризующих подкласс А, т. е. S(В){Р} = S(A), илиS(В)S(А).
Внашем примере, если к содержанию понятия „прямоугольник“ (к множествусвойств, характеризующих класс прямоугольников) добавить новое свойство(равенство всех сторон), мы получим содержание понятия „квадрат“(множество свойств, характеризующих класс квадратов).
Вматематике обобщение и абстрагирование часто связаны с заменой постоянныхпеременными (в переходе от записи отдельных фактов к записи общихзакономерностей), а конкретизация — с подстановкой вместо переменных ихзначений (в обратном переходе).
Рассмотримс точки зрения использования обобщения и абстрагирования открытие законакоммутативности сложения, который ранее мы изучили в ином аспекте.
Исходнымэмпирическим материалом здесь служат непересекающиеся множества А и Вконкретных предметов (карандашей и ручек или черных и красных палочек). Легкообнаруживается опытным путем, что, присоединяя к множеству А множество В или,наоборот, к множеству В множество А, получаем одно и то же множество. Варьируячисло элементов этих множеств, получаем ряд конкретных равенств:
2+3==3+2;5+7==7+5; 4+8=8+4 и т. п.
Внимательноприсматриваемся к этим равенствам с целью выявления содержащегося в них общегои отделения его от частного содержания. Замечаем: в левой части каждого из этихравенств записана сумма двух чисел, в правой — сумма этих же чисел, нозаписанных в другом порядке. Как же сохранить только это общее, отвлекаясь отконкретных чисел, входящих в эти равенства?
Еслипросто отбросить эти числа, мы получим форму с „пустыми местами“:
»… +… =… + ...",
котораяне отражает выявленной общей закономерности, так как не отмечено, какие пустыеместа должны заполняться одними и теми же названиями чисел. Чтобы устранитьэтот недостаток полученной формы, изображают пустые места, которые должнызаполняться именами одних и тех же чисел, в виде пустых «окошек»одинаковой формы. В результате получаем:
"x + о = о + x ".
Вдальнейшем разъясняется, что в математике для большего удобства вместо пустых«окошек» различной формы применяются различные буквы и получается,например,
а+ b = b + а или х+у == у+х.
Этибуквы, играющие роль пустых мест, и называются переменными, а числа, именакоторых можно поставить вместо этих букв, — их значениями.
Каквидно, обобщение и абстрагирование привело к открытию закона коммутативностисложения и одновременно к важному понятию переменной. Переходом от именконкретных чисел к числовым переменным и осуществляется обобщение иабстрагирование.
Конкретизацияоснована на известном правиле вывода называемом правилом конкретизации.
Смыслэтого правила интуитивно ясен: из того, что свойством Р обладают все элементынекоторого множества,.следует, что этим свойством обладает произвольныйэлемент а этого множества. Применяя, например, закон ассоциативности сложения кустному вычислению суммы 7+(93+15), мы применяем (неявно) правилоконкретизации: мысленно мы отбрасываем в записи закона ассоциативности кванторыобщности, подставляем вместо переменных х, у, z постоянные «7»,«93» и «15» соответственно и получаем равенство 7 + (93 +15) = (7 +93) +15, по правилу конкретизации.
Каквидно, с помощью этого правила мы осуществляем переход от общего к единичному.
Обобщение,абстрагирование и конкретизация находят широкое применение в специальныхметодах обучения математике, о которых речь пойдет дальше.
Еслинекоторая реальная ситуация или связанная с нею задача приводит к еще неизученной математической модели, то приходится исследовать новый класс моделей.
Дляосуществления перехода от конкретной модели к классу моделей такого типаиспользуется обобщение и абстрагирование. Применение же результатовисследования к конкретной модели этого класса предполагает использованиеконкретизации.
Например,пусть некоторая задача описывается с помощью квадратного уравнения
2x- 9х + 2 = 0,(1)
когдаучащиеся еще не умеют решать подобные уравнения.
Этоявляется стимулом для изучения соответствующего класса уравнений (моделей)
аx+ bх + с = 0.(2)
Переходот конкретной модели (1) к классу моделей (2), т. е. от единичного к общему,осуществляется заменой коэффициентов, представляющих собой имена чисел,числовыми переменными.
Послеисследования этого класса моделей (построения алгоритма для решения любогоуравнения этого класса) с помощью конкретизации (подстановки в формуле корнейвместо а, b, с конкретных коэффициентов) решаем исходное и другие уравненияэтого класса.
Процесс-абстрагирования в математике во многом отличается от аналогичного процесса вдругих науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природа изучаемыхобъектов, характера и целей их изучения. Поэтому естественно, чтохарактеристические особенности абстрагирования в математике неизбежно должнынаходить некоторое отражение и в методах обучения математике.
Наиболеераспространенные в математике виды абстракций — обобщающая абстракция (илиабстракция отождествления), идеализация и различные абстракции осуществимости — используются и в школьном обучении математике. Однако методически формированиеэтих абстракций не разработано. Поэтому часто эти и другие математическиеабстракции вызывают серьезные затруднения, с ними связаны и многие допускаемыеучащимися ошибки.
Основойабстракции отождествления является отношение эквивалентности. При установленииотношения эквивалентности в исследуемом множестве объектов эквивалентныеобъекты отождествляются по какому-нибудь свойству, которое абстрагируется отостальных свойств этих объектов и становится самостоятельным абстрактнымпонятием, находящимся на более высокой ступени абстракции, чем объекты, откоторых оно было абстрагировано.
Так,отношение равночисленности множеств объединяет в один класс все конечныемножества, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие(эквивалентные множества). От множеств, принадлежащих одному и тому же классуэквивалентности, абстрагируется их общее свойство, характеризующее этот класс.Это свойство и является самостоятельным понятием натурального числа,выражающего численность множеств (одна и та же для каждого множества) изданного класса.
Такформировалось понятие натурального числа в длительном историческом процессе,так оно формируется и в обучении дошкольников и младших школьников.
Ненадо думать, что усвоение детьми последовательности числительных-один, два, три,..., десять,… — является признаком сформированности у них понятиянатурального числа. Формирование этого понятия у детей в какой-то мереимитирует исторический процесс формирования понятия натурального числа.
Мыдолжны предоставить детям возможность сравнивать множества различных предметовпо их численности, обнаруживать, что между некоторыми множествами удаетсяустановить взаимно однозначное соответствие, между другими не удается. Таквозникают классы равночисленных множеств, которым приписываются в качествехарактеристик определенные натуральные числа.
Каквидно, понятие натурального числа, как и другие понятия, формируемые с помощьюабстракции отождествления, представляют собой абстракцию от абстракции: отпредмета мы переходим к классу эквивалентных (в каком-то отношении) предметов,а от этого класса — к свойству, общему для всех объектов, ему принадлежащих, т.е. эти объекты отождествляются по одному свойству, которое абстрагируется отпрочих свойств.
Абстрагированиев математике часто выступает как многоступенчатый процесс, результатом которогоявляются абстракции от абстракций.
Рассмотримеще несколько примеров.
Отношениесонаправленности лучей (плоскости или пространства) разбивает множество лучейна классы эквивалентности (классы сонаправленных лучей). Все лучи одного классаотождествляются по свойству одинаковости направления (отношениюсонаправленности). По существу каждый класс сонаправленных лучей представляетсобой одно направление. Но это направление определяется любым лучом (представителем)этого класса.
Отношениеподобия фигур разбивает множество всех фигур на классы эквивалентности (классыподобных фигур). Все фигуры одного класса характеризуются одинаковостью формы.По существу каждый такой класс можно называть формой. Но эта форма определяетсялюбой фигурой (любым представителем) этого класса.
Вшкольном обучении не всегда явно вычленяются все этапы абстрагирования. Вчастности, образование классов эквивалентности, как правило, протекает неявно.Наблюдается свойство у некоторых предметов данного рода или отношение междуними, которое затем абстрагируется от этих предметов и становитсясамостоятельным понятием. Часто, ничего не говоря о классах эквивалентности, мысразу же пользуемся представителями этих классов. Проиллюстрируем это напримере.
Рассмотриммножество всевозможных направленных отрезков или пар точек плоскости илипространства (пару точек (А, В) можно изобразить в виде направленного отрезка сначалом А и концом В). Установим в этом множестве отношение эквивалентности т. е.два направленных отрезка эквивалентны, если соответствующие лучи сонаправлены,а длины этих отрезков равны.
Таккак это отношение является отношением эквивалентности, то оно порождаетразбиение множества всех направленных отрезков на классы эквивалентности.
Теперьвозможны два методически различных продолжения: а) каждый класс эквивалентностиназывать вектором (это по существу то же, что называть вектором параллельныйперенос, так как класс эквивалентных пар точек определяет параллельныйперенос); б)- называть вектором направленный отрезок, т. е. отождествить классэквивалентности с любым его представителем.
Такоеотождествление вполне правомерно, так как практически в физических и другихприложениях векторов мы работаем не с классами эквивалентных направленныхотрезков, а с теми или иными представителями этих классов, т. е. снаправленными отрезками, исходящими из определенных точек.
Педагогическийподход, состоящий в замене класса его представителем, направлен на понижениеуровня абстрактности понятий (направленный отрезок — менее абстрактное понятие,чем класс таких отрезков).
Нарядус абстракцией отождествления при построении математических моделейдействительности, а следовательно, и при обучении математике используется итакой специфический прием абстрагирования, как идеализация.
Подидеализацией имеется в виду образование понятий, наделенных не толькосвойствами, отвлеченными от их реальных прообразов, но и некоторымивоображаемыми свойствами, отсутствующими у исходных объектов. Это делается длятого, чтобы посредством изучения идеализированных образов облегчить в конечномсчете изучение их реальных прообразов.
Разъяснениеэтого в процессе обучения на конкретных примерах имеет важное воспитательноезначение, раскрывая связь абстрактных, идеализированных понятий с реальныммиром. Оно способствует также пониманию способа математизации, построенияматематических моделей реальных ситуаций.
Действительно,нигде в природе не встречается «геометрическая точка» (не имеющаяразмеров), но попытка построения геометрии, не использующей этой абстракции, неприводит к успеху. Точно так же невозможно развивать геометрию без такихидеализированных понятий, как «прямая линия», «плоскосгь»,.«шар» и т. д. Все реальные прообразы шара имеют на своей поверхностивыбоины и неровности, а некоторые несколько отклоняются от«идеальной» формы шара (как, например, земля), но если бы геометрыстали заниматься такими выбоинами, неровностями и отклонениями, они никогда несмогли бы получить формулу для объема шара. Поэтому мы изучаем«идеализированную» форму шара и, хотя получаемая формула в применениик реальным фигурам, лишь похожим на шар, дает некоторую погрешность, полученныйприближенный ответ достаточен для практических потребностей. Это должно бытьдоведено до сознания учащихся.
Особымвидом идеализации является абстракция потенциальной осуществимости. Например,при построении натуральных чисел абстрагируются от того, что невозможнонаписать или назвать число, содержащее в десятичной записи слишком много цифр(например, 10 ). Нам достаточно допустить возможность, как только дошло донекоторого числа п, написания и следующего за ним числа п + 1. Точно так же приизучении геометрии, пользуясь изображениями лишь конечных участков (отрезков)прямой, мы допускаем возможность неограниченного продолжения их в обе стороныили допускаем возможность безграничного деления отрезка или других фигур.
Список литературы
Дляподготовки данной работы были использованы материалы с сайта pedagogika.by.ru/