Задача1
Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в масштабе.
/>
Дано:
G=350 Н
α=60º
β=15º
γ=30
RA, RB— ?
T=G, т.к. трение в блоке отсутствует
Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.
/>
ΣFx=0
Tsin30-RCsin60-RBsin75=0
ΣFy=0
G+Tcos30-RBcos75-RCcos60=0
Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.
350sin30-RСsin60-RBsin75=-175-0,866RС-0.966RB=0
/>
49,6-0,259RB-0.5 (-202,1-1,1RB) =51,9+0,291RB=0
RB=-51,9/0.291=-178,35 Н
RC=-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н
Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.
Ответ: RB=-178,35 Н
RC=-5,92 Н
Задача 2
По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?
/>
Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.
Участок 1. t от 0 до 10 с
V1=const=10 м/с
Участок 2. t от 10 до 20 с
V2=2t-10
Участок 3. t от 20 до 30 с
V3=const=30 м/с
Участок 4. t от 30 до 40 с
V4=120-3t м/с
Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше
/>
Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C → C=0, S1=10t
/>
S1(10) =10·10=100
S2(10) =102-10·10+C →C=100
/>
/>
S2(20) =202-20·10+100=300
S3(20) =20·30+C=300 →C=-300
/>
/>
S3(30) =30·30-300=600
S4(30) =120·3-/>302+C=600 →C=-1590
/>
Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках
a1=/>
a2=2 м/с2
a3=0
a4=-3м/с2
/>
График зависимости перемещения от времени м/с2
/>
График зависимости ускорения от времени
Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени
S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v
В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.
Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О2В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа O1A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO2=3/5, угловая скорость кривошипа О1А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O1A равна r=0.1м.
/>
Дано:
O1A=r=0,1 м
AB=CD=2r=0,2 м
O2B=3r=0,3 м
/>
ωOA1=6 рад/с
α=60º
β=45º
ωO2B, VD— ?
Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.
Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.
Определим скорость VA
VA=ωO1A·r/2=6·0,1=0,6м. с(VA┴O1A)
Скорость VA определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).
VA=VBcos30 → VB=0.6/cos30=0,69м/c2
Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) — точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам VAи VB
ωO2B=/>рад/с
/>
Определяем VD. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление VD.
Величину VC найдем из пропорции
/>--PAGE_BREAK--
VC=/>(VC┴СМЦС)
Скорость VD определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).
VDcos45=VCcos15 → VD=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c2
Ответ: ωO2B=/>рад/с; VD=0,68 м/c2
Задача 3
Доска длиной l=6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v=0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f=0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3l, b=0.5l, h=0.14l.
/>
Дано:
l=6м
v0=0.5м/с
f=0.6
a=0.3l
b=0.5l
h=0.14l
s — ?
Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое
ΣFx=0-FтрА+Qcosα-FтрB=0
FтрА=FтрВ=f·N=f·Qsinα (Ra=Rb=N)
/>
отсюда
Qcosα-2f·Qsinα=0
Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение
m/>=mg (cosα-2fsinα)
/>=g (cosα-2fsinα)
Проинтегрируемполученноеуравнение
/>
/>=Vx=g(cosα-2fsinα) t+C1
x=g(cosα-2fsinα) t+C1t+C2
Найдем неизвестные cosα и sinα
/>
sin2α+cos2α=1
/>
Найдем постоянные С1 и С2
При t=0 Vx (0) =0.5 м/с → С1=0,5
При t=0 x (0) =0 → С2=0
Окончательно уравнение движения доски примет вид
V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5
x=-4.27t2+0.5t
Найдем время, когда доска остановится
V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c
Путь пройденный доской за это время
x=-4.27·0.062+0.5·0.06=0.015 м
Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.
Задача4
На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1l, груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с2. Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4l, c=0.2l. Массу троса не учитывать.
/>
Дано:
m=3т
G=25кН
d=0.1l
Q=12кН
а=3м/с2
b=0.4l
c=0.2l
RA, RB— ?
/>
Запишем уравнения равновесия
ΣFx=0 RAx=0
ΣFy=0 RAy-G-Q-/>-Mg+RBy=0
ΣMA=0 -Gb-Qz-/>
где/>
Получили два уравнения с двумя неизвестными, найдем искомые реакции
RBy=/>кН
RAy=G+Q+/>25+12+3.67-23=17,67 кН
Ответ: RBy=23 кН, RAy=17,67 кН