АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической и прикладной механики
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Пособие по решению типовыхзадач
Часть 1. Статика
В.И. Локтев, М.А. Михайлова
Астрахань 2008
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Общиеметодические указания
Требования квыполнению расчетно-графических работ
Примеры типовыхзадач
Пример 1.Система сходящихся сил в плоскости
Пример 2.Равновесие тела в плоскости
Пример 3.Определение реакций двухопорной балки
Пример 4.Равновесие системы тел в плоскости
Пример 5.Равновесие пространственной системы сил
Введение
Пособие, по замыслу авторов, поможет студентам освоить алгоритм решениятиповых задач статики в рамках расчетно-графических работ (РГР) по курсутеоретической механики. Пособие включает в себя общие методические указания,рекомендации по оформлению РГР, примеры решения задач.
Все задачи, рассмотренные в примерах, взяты из давно уже ставшегоклассическим «Сборника задач по теоретической механике» И.В. Мещерского, номеразадач соответствуют тридцать шестому изданию 1986 года.
В настоящее время актуальным является внедрение компьютерных программ впроцесс обучения. Действительно, при богатом выборе математических программ,обладающих большими возможностями, вполне логично оставить вычислительную частьзадачи компьютеру. Это позволяет, во-первых, не оценивать математические способностистудентов, а во-вторых, экономит время студента. Приведенные в нашем пособиизадачи решены и аналитически, и с использованием программы Mathcad. Для решенияполученных систем уравнений равновесия использовались матричный и итерационныйметоды, показана реализация этих методов в программе Mathcad.Использование математических компьютерных программ при решении задач,безусловно, поощряется, однако не является необходимым требованием.
Еще один полезный для студентов совет – не просто формально получить взадаче числовой ответ, а в ходе решения обрести уверенность, что ответ полученправильный. Для этого решение необходимо проверить, специалисты сказали бы –«провести экспертизу проекта». В пособии показано, как в задачах статики можнопровести подобную экспертизу, то есть путем проверки убедиться в правильностирешения.
Общие методические указания
Основная практическая задача статики — определение реакций связей,удерживающих конструкцию, тело или систему тел в равновесии. Все типовые задачио равновесии решаются по единой методике:
1. Выбираем объект исследования.
Объект исследования выбираем так, чтобы на расчетной схеме были искомыенеизвестные и заданные нагрузки. В задачах о равновесии составной конструкции вкачестве объекта исследования приходится последовательно рассматривать каждуючасть конструкции.
2. Составляем расчетную схему выбранного объекта
Выбранный объект исследования изображаем отдельно, и здесь же изображаемвсе силы, действующие на него:
а) активные силы (задаваемые силы или моменты, а также силы, которые независят от контакта объекта с другими телами, например, силы тяжести или силыэлектромагнитного взаимодействия);
б) реакции связей (для этого мысленно обводим объект исследования поконтуру, и в точках контакта с отброшенными телами или опорами (связями)прикладываем силы или моменты, заменяющие их действие).
3. Составляем уравнения равновесия, их форма и количество зависят от видасистемы сил в расчетной схеме.
Здесь возможны такие случаи:
а) линейная система сил по оси x: />;
б) система сходящихся сил в плоскости xy: />, />;
в) система сходящихся сил в пространстве xyz: /> ,/> , /> ;
г) система параллельных сил в плоскости: />,/>;
д) система произвольных сил в плоскости xy: /> ,/>, />;
е) система произвольных сил в пространстве xyz: /> ,/>, />, />, />, />.
4. Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений и находимнеизвестные. Следует обратить внимание на размерности исходных данных. Лучшевсего сразу перевести все величины в единицы СИ (метры, ньютоны).
5. Оценим логически правдоподобность полученныхрезультатов и выполним проверку. Любые дополнительные («новые») уравненияравновесия для тех же или других объектов исследования в рамках данной задачидолжны обращаться в тождество.
Требования к оформлениюрасчетно-графических работ
Расчетно-графические работы (РГР) оформляются аккуратно на листах писчейбумаги формата А4 (писать с одной стороны).
На первом (титульном листе) указывается название университета, кафедры,предмета, название (тема) РГР, номерварианта и год выполнения работы. Также указывается Ф.И.О. и должностьпреподавателя, специальность (группа), Ф.И.О. студента.
При выполнении РГР нужно обязательнопривести текст каждой задачи, выписать исходные данные своего варианта и сделатьотносящийся к задаче и своему варианту чертеж. Чертежи должны выполнятьсякарандашом, с помощью чертежных инструментов, в масштабе, аккуратно и точно. Начертежах должны быть изображены оси координат и все векторы, которыевстречаются в ходе решения задания (силы, скорости, ускорения).
Решение каждой задачи должносопровождаться краткими пояснениями, то есть должно быть указано, какиетеоремы, формулы или уравнения применяются при решении данной задачи.
Использование математических компьютерных программ при решении задач,безусловно, поощряется, однако не является необходимым требованием. Расчеты,выполненные в математической программе необходимо распечатать и прикрепить кзаписке.
Примеры типовых задач
Пример СП-1. Система сходящихся сил вплоскости (Мещерский, 2.15)
К веревке АВ, один конец которой закреплен в точке А, привязаны в точке В груз Р и веревка ВСD, перекинутая через блок; к концу ее D привязана гиря Q веса 100 Н. Определить, пренебрегая трением на блоке, натяжение T веревки АВ и величину груза Р, если в положении равновесия углы, образуемые веревками с вертикалью ВЕ, равны />.
Ответ: T = 122 H, P = 137 H.
/>
Решение.
Рассмотрим равновесие точки В и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис.1).
На точку В, как активная сила, действует сила тяжести груза />.
Со стороны связей (веревок) на точку В действуют их реакции – натяжение /> вдоль веревки АВ и натяжение /> частиверевки ВС, причем по модулю натяжение N равно весугруза D (N = Q).
/>
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сходящихся силсоставляем два уравнения равновесия в проекциях на оси координат x и y (рис. 1):
/>
Из уравнения (1) находим /> Подставляемв уравнение (2) и находим /> Призаданных числовых значениях получаем T = 122 Н, Р = 136,6 Н.
Проверка.
Для проверки составим еще одно уравнениеравновесия в форме проекций сил на ось x1 (рис.1) и убедимся, что оно обращается в тождество:
/>
Действительно, при подстановке найденныхзначений получаем
/>
Относительная погрешность вычислений составляет не более (0,028/100).100%~ 0,028%.
Ответ.
Натяжение веревки АВ равно T = 122,5 Н, вес груза Р = 136,6 Н.
Компьютерное решение.
Для решения системы линейных уравнений можноиспользовать, например, матричный метод. Уравнения равновесия (1) и (2) запишемв стандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:
/>
В матричном виде эта система уравненийзаписывается так:
/>
Матричное решение имеет вид:
/>.
В среде Mathcad можно выполнить ипроверку.
/>
Пример СП-2. Равновесие тела вплоскости (Мещерский, 4.10)
Однородный стержень АВ веса 100 Н опирается одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим на гладкую плоскость, наклоненную под углом 300 к горизонту. У конца В стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и несущей груз Р; часть верёвки ВС параллельна наклонной плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы давления NA и NB на пол и наклонную плоскость.
Ответ: P = 25 H, NA = 50 H, NB = 43,3 H
/>
Решение.
Рассмотрим равновесие стержня АВ и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис.2).
На точку D, как активная сила, действует сила тяжести стержня АВ — />.
Со стороны связей (пола и плоскости) на стержень действуют их реакции –/>,/>(соответственно), и натяжение /> части веревки ВС, причем по модулю натяжение /> равно весу груза P (T = P).
/>
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем триуравнения равновесия: 2 уравнения сил в проекциях на оси координат x и y и сумму моментов силотносительно точки B (рис. 2). (/>):
/>
Из уравнения (3) находим />.
Из уравнения (1) />.
Подставляем в уравнение (2)
/> />
и находим
/>
При заданных числовых значениях получаем NA =50 Н, NB= 43,3 Н, Р = 25 Н.
Проверка.Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов силотносительно точки D (рис. 1)и убедимся, что оно обращается в тождество:
/>
Действительно, при подстановке найденныхзначений получаем
/>
Ответ. Давления равны NA = 50 Н, NB = 43.3 Н, вес груза Р = 25 Н.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать,например, матричный метод. Уравнения равновесия (1), (2) и (3) запишем встандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:
/>/>/>
Матричная запись уравнений имеет вид:
/>/>
Решаем в среде Mathcad и выполняемпроверку.
/>/>
Пример СП-3. Определение реакций вдвухопорной балке (Мещерский, 3.16)
На двухопорную горизонтальную балку действует пара сил (P, P), на левую консоль – равномерно распределённая нагрузка интенсивности q, а в точке D правой консоли – вертикальная нагрузка Q. Определить реакции опор, если P = 1 кН, Q = 2 кН,
q = 2 кН/м., а = 0,8 м..
Ответ: Ra = 1.5 кН, Rв =2.1 кН
/>/>
Решение:
Рассмотрим равновесие стержня CАВD и составим расчетную схему сил,действующих на нее (рис.3).
В точке А шарнирно неподвижная опора заменяется реакциями Ray и Rax. Аналогично в точке B шарнирно подвижная опора заменяется реакцией Rв.
/>Дляполученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем 3 уравнения: двауравнения сил в проекциях на оси координат x и y, а также сумму моментов сил относительно одной изотброшенных опор (рис.3)
/>
Из уравнения (1) находим />.
Из уравнения (3)
/>.
Подставляем Rв в уравнение (2) ивыражаем Rау:
/>/>
Проверка.Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов силотносительно точки D (рис. 3)и убедимся, что оно обращается в тождество:
/>
Действительно, при подстановке найденныхзначений получаем
/>
Ответ. Реакции равны Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использоватьитерационные методы.
Решаем задачу в в среде Mathcadитерационным методом:
/>
/>/>/>
Пример СП-4. Равновесие системы тел вплоскости (Мещерский, 4.43)
Подвеска состоит из двух балок АВ и СD, соединённых шарнирно в т.D и прикреплённых к потолку шарнирами А и С. Вес балки АВ равен 60 Н и приложен в т.Е. Вес балки CD равен 50 Н и приложен в т.F. В точке В балки АВ приложена вертикальная сила Р = 200 Н. Определить реакции в шарнирах А и С, если заданы следующие размеры: АВ = 1 м, СD =0.8 м,
АЕ = 0.4 м, СF = 0.4 м, углы наклона балок АВ и СD к горизонту соответственно равны: α = 60 0 и β = 450.
Ответ: -Xa = Xc = 135 Н, Ya = 150 H, Yc = 160 H.
/>/>
К задаче 4.43
Решение:
Рассмотрим равновесие кронштейна и составим расчетную схему сил, действующих на него (рис.4). Приложим вес стержня АВ – G1 в т. Е, а вес стержня CD – G2 в т. F. В точках А и С шарнирно неподвижные опоры заменяются реакциями Xa, Xc, Ya и Yc.
Если рассматривать кронштейн целиком, то получается 4 неизвестных, а уравнений равновесия для плоской системы произвольных сил можно составить только 3, поэтому составляем две расчетные схемы – для каждого стержня отдельно (рис.5), при этом появляются ещё 2 неизвестные реакции в шарнире D.
Для каждой расчетной схемы (рис.5) составляем 3 уравнения равновесия: двауравнения сил в проекциях на оси координат x и y, а также сумму моментов сил относительно т. D.
/>/>
В результате получим систему 6 уравнений с шестью неизвестными.
/>
Из уравнения (2)
/>.
Подставляем в уравнение (5) и выражаем:
/>/>
Из уравнений (1) и (4) находим />.
Из уравнения (6) выражаем Xa, из (3) – Xc, и приравниваем эти выражения:
/>
Подставим Ya и преобразуем выражение:
/>
выразим и найдём Yc:
/>/>
Для нахождения AD воспользуемся теоремойсинусов:
/>
При подстановке числовых значений получим Yc=160 (H); Ya=150 (H); Xc=Xa=135 (H)
Проверка.Для проверки лучше всего использовать расчетную схему всего кронштейна (рис.4)- данная расчетная схема не содержит реакций в шарнире D. Составим уравнениеравновесия в форме суммы моментов сил относительно любой точки(например, относительно точки D) (рис. 4) и убедимся, что оно обращается в тождество:
/>
Действительно, при подстановке найденныхзначений получаем тождество.
Ответ: Реакции Yc=160 (H); Ya=150 (H); Xc=Xa=135 (H).
Вычисления на компьютере:
/>
Компьютерное решение.
Решаем этуже задачу в в среде Mathcadитерационным методом:
/>
/>/>
/>Пример СП-5. Равновесие пространственной системы сил (Мещерский, 8.24)
Однородная прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при помощишарового шарнира А и петли В и удерживается в горизонтальном положении веревкойСЕ, привязанной в точке С рамы и к гвоздю Е вбитому в стену на одной вертикалис А, причем />. Определите натяжениеверёвки и опорные реакции.
E /> /> /> /> /> /> /> /> />
x /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
К задаче 8.24.
D
Решение.
Рассмотрим равновесие рамы АВCD и составимрасчетную схему сил, действующих на нее (рис. 6).
Как активная сила, действует сила тяжести рамы АВCD />, приложенная вцентре плиты.
Со стороны связей на стержень действуют их реакции –/>, и натяжение /> частиверевки ЕС.
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сходящихся силсоставляем три уравнения равновесия в проекциях на оси координат x, y и z исумму моментов сил относительно координатных осей x, y и z. (/>)(рис. 6):
/>
Из уравнения (5) находим />. Из уравнение (6) />.Из уравнение (4) />. Из уравнение(3) находим />. Из уравнение(2) />. Из уравнение (1) />
При заданных числовых значениях получаем T= 200H, XA= 86,6 H, YA= 150 H, ZA= 100 H, XB= ZB= 0.
Проверка.Для проверки составим еще три уравнения равновесия в форме проекций сил на оси x1, y, z1 (рис. 6) иубедимся, что оно обращается в тождество:
/>
Действительно, при подстановке найденныхзначений получаем
/>
Ответ. Сила натяжения равна Т = 200 Н,опорные реакции XA = 86.6 Н, YA = 150 Н, ZA = 100 Н, XB = YB = 0.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать,например, матричный метод. Уравнения равновесия (1), (2) и (3) запишем встандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:
/>/>
/>
Матричное решение имеет вид:
/>
/>В среде Mathcad можно выполнить ипроверку.