1. Задание1 СТАТИКА. Дляодного из заданных положений плоского механизма составить уравнения иопределить величину и направление технологической силы Qm, удерживающую механизм вравновесии при действии на звенья сил тяжестей и уравновешивающего момента Mур =0,8 Нм, приложенного кведущему звену AB.
2. Задание2 КИНЕМАТИКА. Длязаданных положений ведущего звена построить планы скоростей и ускорений (при w1=50 ед/с), и определить величинуи направление линейных скорости и ускорения т.С.
3. Задание3 ДИНАМИКА. Дляодного из заданных положений механизма ABCD, при действии на ведущеезвено AB внешнего момента Мдв = 0,8 Н∙м и технологическойсилы Qт, действующей на звено CD в точке К, методом КИНЕТОСТАТИКИопределить значения реакций в опорах (точки А и D), приняв ω1 =50 рад/сек. Написать уравнение для определения кинетической энергии системы. Значениясил тяжести принять равным: Р1 = 0,5 Н, Р2 = 1,5 Н, Р3= 0,7 Н. Длины звеньев механизма измерить на рисунке.
/>
Рисунок1. Исходные данные.
1. Задание 1. СТАТИКА
Напишемусловия равновесия для положения механической системыс учетом сил тяжестей звеньев, уравновешивающего момента Mур равного движущему моментуMдв, показанной на рисунке 2. Даннаясхема представляет собой систему тел. Для решения данной задачи необходиморасчленить систему на стержни, а действие утраченных связей заменить реакциями(внутренними силами).
/>
Рисунок2. Схема с указанием сил тяжести.
Изобразимсилы тяжести звеньев, силы реакции опор.
Равновесие звена DC
/>
Рисунок3. Равновесие звена DC.
Запишем уравнения статики для звена DC. Для этого выберемположение начала координат для данного звена в точке D.
/> (0.1)
/> (0.2)
/> (0.3)
Равновесие звена NBC
/>
Рисунок 4. Равновесиезвена NBC
Запишем уравнения статики для звена NBC. Для этого выберемположение начала координат для данного звена в точке C.
/> (0.4)
/> (0.5)
/> (0.6)
Равновесиезвена AB
/>
Рисунок5. Равновесие звена AB.
Запишем уравнения статики для звена NBC. Для этого выберем положениеначала координат для данного звена в точке А.
/> (0.7)
/> (0.8)
/> (0.9)
Для нахождения технологической силы /> воспользуемсяуравнением (0.3):
/> (0.10)
Так как />, а также />, то выражение (0.10)принимает вид:
/>.
Таким образом, осталось определить значения /> и />. Значения этих реакцийсвязи определим из уравнений (0.4), (0.5), (0.9):
/>
/>
/> (0.11)
Так как />, а также />, то:
/>
/>
Формула (0.11) принимает следующий вид:
/>.
Теперь необходимо совместно решить систему уравнений, состоящую изуравнений (0.6) и (0.11).
/>
Перепишем каждое уравнение относительно /> и />:
/>
Подставим значения длин звеньев, сил тяжести и уравновешивающегомомента.
/>
В результате решения данной системы получаем следующие значения:
/> = 55,1 Н;
/> = -16,4 Н.
При подстановке полученных значений реакций связи в уравнение (0.10),получим значение технологической силы:
/> = 58,9 Н.
Задание 2. КИНЕМАТИКА
Построениеплана скоростей. Определяем виды относительного движения звеньев: звенья 1 и 3совершают вращательное движение, а звено 2 – плоско-параллельное.
Линейнуюскорость точки B звена 1 определяем по формуле :
/>,
где /> – угловая скорость звена1, с-1.
/> = 1 м/с.
Необходимопостроить планы скоростей и ускорений для трёх положений звеньев механизма.Первое из положений показано на рисунке 1, при котором угол φ1= 150º.
На планескоростей при φ1 = 150º (рисунок 6) скорость VB изображается отрезком pVb. Зададимся величиной этого отрезка /> мм и определим масштабныйкоэффициент плана скоростей:
/>
/> = 0,05 />.
Скорость точки C определяется из векторной системыуравнений:
/>
где /> - векторы абсолютныхскоростей точек; /> — векторы относительныхскоростей (скорость точки С вокруг B и скорость точки С вокруг опоры D).
Системауравнений решается графическим способом. При этом учитывается, что />, />. Скоростьточки D равна нулю /> (наплане скорость совпала с полюсом pV).
Выполним построения длянахождения точки C:
1) Построим скорость /> , т.е. скорость точки Свокруг точки D – проведем на плане направлениевектора />. Из полюса pV проведем линию перпендикулярно звенуCD.
2) Построим скорость /> , т.е. скорость точки Свокруг точки B – проведем на плане направлениевектора /> через точку b плана скоростей.
3) Точка плана скоростейлежит на пересечении двух направлений /> и/>. Достраиваем вектор /> - скорость точки С.
4) Находим величинускорости точки С из плана скоростей:
/>
где /> - длина вектора на планескоростей, мм.
Для планамеханизма с φ1 = 150º:
/> = 1,25 м/с.
/>
/> = 1,8 м/с.
/> = 17 с-1.
/> = 21 с-1.
Для планамеханизма с φ1 = 180º:
/> = 0,4 м/с.
/>
/> = 1,35 м/с.
/> = 13 с-1.
/> = 7 с-1.
Для планамеханизма с φ1 = 210º:
/> = 0,5 м/с.
/>
/> = 0,65 м/с.
/> = 6 с-1.
/> = 8 с-1.
Построениеплана ускорений.Ускорение точки B звена 1, совершающего вращательное движение, определяем поформуле
/>
/> = 50 м/с2.
Выбираем наплоскости точку pa –полюс плана ускорений. Задаемся величиной отрезка pab = 50 мм, изображающего на плане ускорений нормальную составляющую, и определим масштаб плана ускорений
/> = 1 />.
Ускорение точки C определяетсяиз векторных уравнений:
/>
где /> – векторы абсолютныхускорений точек, причем />;
/> – векторы нормальных ускорений;
/> – векторы тангенциальных ускорений.
Построениеплана ускорений для плана механизма с φ1 = 150º (рисунок6):
Определимзначения и длины отрезков нормальных ускорений:
/>
/> = 31 м/с2.
в масштабеплана ускорений:
/>
/> = 31 мм.
/>
/> = 26 м/с2.
в масштабеплана ускорений:
/>
/> = 26 мм.
Построениеплана ускорений для плана механизма с φ1 = 180º (рисунок7):
Определимзначения и длины отрезков нормальных ускорений:
/>
/> = 17 м/с2.
в масштабеплана ускорений:
/>
/> = 17 мм.
/>
/> = 3 м/с2.
в масштабеплана ускорений:
/>
/> = 3 мм.
Построениеплана ускорений для плана механизма с φ1 = 210º (рисунок8):
Определимзначения и длины отрезков нормальных ускорений:
/>
/> = 4 м/с2.
в масштабеплана ускорений:
/>
/> = 4 мм.
/>
/> = 4 м/с2.
в масштабеплана ускорений:
/>
/> = 4 мм.
Угловыеускорения звеньев 2 и 3 определяем по формулам:
/>;
/>
Угловыеускорения для плана механизма с φ1 = 150º:
/> = 57 с-2;
/> = 1117 c-2.
Угловыеускорения для плана механизма с φ1 = 180º:
/> = 400 с-2;
/> = 1400 c-2.
Угловыеускорения для плана механизма с φ1 = 210º:
/> = 457 с-2;
/> = 933 c-2.
Выполнимпостроения для нахождения точки C (рисунки 6, 7, 8):
1) Для этогоиз точки b плана ускорений откладываемпараллельно звену BC отрезок /> (нормальноенаправление ускорения) по направлению в сторону движения от точки С к точке В.Перпендикулярно BC проводим через конец этого отрезка линию — тангенциальноенаправление ускорения.
2) Из полюса pa плана ускорений откладываемпараллельно звену CD отрезок /> (нормальноенаправление ускорения) по направлению в сторону движения от точки С к точке D.Перпендикулярно CD проводим через конец этого отрезка линию — тангенциальноенаправление ускорения.
3)Пересечением 2-линий тангенциальных направлений получится точка C – вектор />.
4) Находимвеличину ускорения точки С из плана ускорений:
· Для планамеханизма с φ1 = 150º:
/> = 73 м/с2;
· Для планамеханизма с φ1 = 180º:
/> = 84 м/с2;
· Для планамеханизма с φ1 = 210º:
/> = 57 м/с2;
ε3
ω1
ε2
ω2
ω3 />
Рисунок6. План механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) при φ1= 150º.
ε3
ω3
ε3
ε2
ω2
ω1 />
Рисунок7. План механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) при φ1= 180º.
ω1
ω2
ε2
ω3
ε3 />
Рисунок8. План механизма (а), скоростей (б) и ускорений (в) при φ1= 210º.
Построение траекторию движения точки N. Для этого построим планы механизма для12-ти положений: φ1 = 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270,300, 330, 360.
/>
Рисунок9. Построение планов механизма для 12-ти положений.
Построениепланов механизма будем производить методом засечек:
· Определимтраекторию движения точки B путёмпостроения с помощью циркуля окружности с центром A радиусом, равным l1;
· Далее с помощьюциркуля построим дугу траектории движения точки C. Затем для каждого положения точки B с помощью циркуля проведём засечки на дуге, определяющейтраекторию движения точки C,радиусом l2. На пересечении засечек с дугой, определяющейтраекторию движения точки C,будут определены положения точки C;
· Далее для каждогоположения точки B с помощьюциркуля проводим дугу радиусом 50 мм, проводим прямую через точку B, составляющую со звеном CB угол 15º. На пересеченииполученной дуги с прямой получим точку N;
· Далее соединимвсе полученные положения точки Nтаким образом получив траекторию движения точки N.
Задание 3. ДИНАМИКА
Значенияреакций в опорах определим для положения механизма φ1 =150º, изображённого на рисунке 10
/>
Рисунок10. Положение механизма при φ1 = 150º
Изобразим активные силы исилы инерции, действующие на систему (рисунок 10).
Чтобы найти реакциизвеньев 1 и 3 последовательно рассмотрим «равновесие» двухкинематических групп.
Расчёт звеньев 2-3.
/>
Рисунок11. «Равновесие» кинематической группы 2-3.
Вначале рассмотрим звено2:
/>
/>.
/>
/> 0,008 Н∙м.
Направлен момент инерции в сторону, противоположную угловомуускорению.
Определим из уравнения статики />:
/>
/>
/> = 9,2 Н.
Направлена сила инерции в сторону, противоположную ускорениюцентра масс системы.
/> = 1,8 Н.
Согласно измерениям на рисунке 6 и значению />:
/> 60 м/с2.
Рассмотрим сумму моментов для группы звеньев 2-3 относительноточки D:
/>
/>
/>
Определим из уравнения статики />:
/>
/>
/> = 0,03 Н∙м.
/>
/> = 3,7 Н.
Согласно измерениям на рисунке 6 и значению />:
/> 36 м/с2.
/>/> = 40,6 Н.
Полнаяреакция в паре B равна:
/>
/> = 40,6 Н.
Векторное уравнение силдля группы 2-3 позволяет графически определить вектор /> по величине и направлению(рисунок 12).
/>
/>
Строим план сил вмасштабе
/> = 0,5 Н/мм.
Найдем величины отрезков,изображающих на плане сил векторы сил:
/> = 2 мм;
/> = 118 мм;
/> = 3 мм;
/> = 18 мм;
/> = 4 мм;
/> = 81 мм;
Из плана сил определяем
/> = 41 Н.
/>
Рисунок12. План сил для определения />.
Расчёт начальногозвена 1.
/>
Рисунок13. «Равновесие» начального звена 1
Извекторного уравнения сил для звена 1 графически определяем вектор /> по величине и направлению:
/>
/>
Строимплан сил (рисунок 14) в масштабе
/> = 0,5 Н/мм.
Найдем величину отрезка,изображающего на плане сил вектор силы />:
/> = 1 мм;
Из плана сил определяем
/> = 40,5 Н.
/>
Рисунок14. План сил для определения />.
Напишем уравнение для определения кинетической энергии системы:
/>.
Дляопределения кинетической энергии системы определим кинетическую энергию каждогоиз тел, входящих в систему.
Кривошип1 совершает вращательное движение относительно неподвижной оси, поэтому егокинетическая энергия равна:
/>,
где /> – момент инерции кривошипа1 относительно точки A, кг∙м2.
Рычаг 2 совершаетплоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия равна:
/>,
где /> - скорость центра массрычага 2, м/с;
/> - момент инерции рычага 2относительно центра масс, кг∙м2.
/>
Кривошип3 совершает вращательное движение относительно неподвижной оси, поэтому егокинетическая энергия равна:
/>,
где /> – момент инерции кривошипа3 относительно центра масс, кг∙м2.
/>