Задача С 1
Жестяная рама закрепленав точке А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках. Нараму действуют пара сил с моментом М = 100H*м и две силы F1 = 10H под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная к точке K, и F4=40H под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная к точке H.
Определить реакции связейв точках A и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетахпринять l = 0,5 м
/>/>/>/>/>/>/>/>/> /> 2 l l
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>Дано: XA F4’ X
М = 100 Н * м A H
/>/>/>/>/>/>F 1 = 10 Н F4’’ F4 F1’’ F1 l
/>/>/>/>£ 1= 30° K
/>/>F 4 = 40 HF1’
/>L = 0,5 м М 3l
£ 4= 60° 2l
/>/>/>/>/> RB
/>/>XА, YА, RB Д
Рис. С 1.0.
Решение:
Рассмотрим равновесиерамы. Проведем координатные оси XY (начало координат в точке А). На рамудействуют следующие силы: />1 и />4, пара сил моментом М и реакциясвязи />A, />A, />B (реакциянеподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакцияшарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).
Составляем три уравненияравновесия:
1) ∑ FKX=0; XA+F4*coς60 °+ F1*coς 30 °=0
2) ∑ FKY=0; YA-F4*ςin60 °+ F1* ςin 30 °+RB=0
3) ∑ MA (FK)=0; -F4*ςin 60 °*2l+F1* ςin 30 °*3l+F1*coς 30 °*l-M+RB*5l=0
Из уравнений (1) находим XA:
XA= -F4* coς 60 °-F1* coς 30 °= -40*0,5-10*0,866= -28,66H
Из уравнения (3) находим RB:
RB=/>=
=/>=
/>=49,12H
Из уравнения (2) находим YA:
YA=
/>
Проверка:
/>
/>/>
ð все силы реакции найдены правильно:
Ответ:
/>
/>
/>
Задача С 2
Однородная прямоугольнаяплита весом P=5kH со стороны АВ=3l, ВС=2l закреплена в точке А сферическимшарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается вравновесии невесомым стержнем СС! На плиту действуют пара сил с моментомМ=6лН*м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, ихнаправления и точки приложения Н, £1=90°с, Д, £2=30°с; при этом силы /> и /> лежат в плоскостях, параллельныхплоскости xy, сила/> — в плоскости, параллельной xz,сила /> — вплоскости параллельной yz. Точки приложения Д и Н находятся в серединах сторонплиты. Определить реакции связей в(.) А и В, С. При окончательных расчетахпринять l=0,5м.
/> С1
/>/>/>/> Z
/>Дано:
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>
/>Y
/>/>/>/>/>/>/>/>/>
Рис С 2.0.
Решение:
1) Рассмотрим равновесие плиты. На неедействуют заданные силы: /> пара сил с моментом М, а такжереакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на 3 составляющие: /> цилиндрическогошарнира (подшипника) — на две составляющие: /> (в плоскости перпендикулярной осиподшипника), реакцию /> стержня направим вдоль стержня,предполагая, что он растянут (рис. С 2.0.)
2) Для определения /> составляем равновесия,действующей на плиту пространственной системы сил:
/> (1)
/> (2)
/> (3)
/> (4)
/> (5)
/> (6)
Из уравнения (4) находим N:
/>
Из уравнения (5) находим ZB:
/>
Из уравнения (1) находим XA:
/>
Из уравнения (6) находим YB^
/>
Из уравнения (2) находим YA:
/>
Из уравнения (3) находим ZA:
/>
Ответ:
XA= -1,67kH
YA= -29,11kH
ZA= -0,10kH
YB=25,11kH
ZB=2,60kH
N= -5,39kH
Знаки указывают, что силы/> направленыпротивоположно показанным на рис. С 2.0.
Задача К1
/>Дано:
/>
/>Три движения точки на плоскости
Найти:
/> - уравнение траектории точки
/>для момента времени
/>/> y
B
/>
/>
x
Рис. К 1.0.
Решение:
1) Для определенияуравнения траектории исключим из заданных уравнений движения время t:
/> (1)
Преобразуя систему (1), получим:
/> (2)
Поскольку время е входит в аргументытригометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используемформулу: /> тоесть:
/>
Итак, получаем:
/> (3)
Преобразуя систему (3), получим:
/> (4)
Преобразуем: />
Упрощая выражение, получим:
/>/> (5)
Выражение (5) – это уравнениетраектории точки. График – парабола с вершиной в точке (0;11) на рис. К.1.0 а
2) Скорость точкинайдем по ее траектории на координатной оси:
/> см/с
/> y
/> (0;11)
y=-0,375x2+11
/>
(-5,4;0) (5,4;0)
/> x
Рис. К 1.0 а
При t=1 сек, находим />
/>/>
/>
При t=t1=1 сек, находим />
/>
Находим скорость точки:
/>
3) Аналогично найдемуравнение точки:
/>
При t=t1=1 сек, находим
/>
При t=t1=1 сек, находим:
/>
Находим ускорение точки:
/>
Найдем касательное ускорение,дифференцируя по времени равенства:
/>
/>
Учитывая найденные значения /> при t= 1 сек,получим:
/>
5)Нормальное ускорение определяетсяпо формуле:
/>
6)Радиус кривизны траекторииопределяется по формуле:
/>
Ответ:
/>
a1=1,73 см/с2
aT=1,07 см/с2
an=1,36 cм/c2
/>=7,53 см
Задача К2
Дано:
/>l1=0,4 м
l2=1,2 м
l3=1,4 м
l4=0,8 м
/>=60°
/>=60°
/>=60°
/>=90°
/>=120°
/>4=3с-2
/>=10с-2
/>
Найти:
/>-?
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> />
/>
/>
/>/> /> /> 2
/> />
/>
/> />
/>/> /> /> />
O1
4
/>
O2
Рис. К2.0.
Решение:
1) Строим положениеданного механизма в соответствии с заданными узлами (рис К2.0)
2) Определяемскорость точки /> по формуле:
/>
Точка /> одновременнопринадлежит стержню />/>. Зная />и направление /> воспользуемся теоремойо проекциях скоростей двух точек тела (стержня />) на прямую, соединяющую эти точки(прямая />)
/>
Точка В одновременнопринадлежит к стержню 3 те к стержню АВ. При помощи теоремы о проекциях скоростейопределяем скорость точки А:
/>
Для определения скороститочки D стержня АВ построим мгновенный центр скоростей для звенья АВ (рис. К2.0)
Определяем угловуюскорость звенья 3 по формуле:
/>
Из треугольника АС3В при помощитеоремы синусов определяем С3В:
/>
Т.О., угловая скорость стержня 3равна:
/>
Скорость точки D стержня АВопределяется по формуле:
/>
С3D определяем при помощи теоремысинусов:
/>
Итак: />=/>
Определяем ускорение точки А.
Т.к., угловая ускорение /> известно, то
/>
Найдем нормальное ускорение точки Аопределяем по формуле:
/>
Ускорение точки А плоского механизмаопределяется по формуле:
/>
Ответ:
/>
Задача Д1
/>Дано:
m=2 кг
/>
/>
Найти:
x=f(t) – закондвижения груза на участке ВС
/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/>/> />/> А
/>/>/>/>/> /> />
/>
/>/> />
C /> /> В />
/>/> D />
x 30°
/>
Рис. D 1.0.
Решение:
1) Рассмотримдвижение груза D на участке АВ, считая груз материальной точкой.
Изображаем груз (в произвольномположении) и действующее на него силы:
/>. Проводим ось AZ в сторонудвижения и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции наэту ось:
/> (1)
/> (2)
Далее, находим:
/> (3)
Учитывая выражение (3) в (2) получим:
/> (4)
/> (5)
Принимая g=10ми/с2 получим:
/>
Интегрируем:
/>
/>
Начальные условия:
При t=0; />
/>
или
ln(7-0,2*/>)= C1
/>
/>
При t=t1=2,5сек, />, получим:
/>
2) Теперь рассмотримдвижение груза на участке ВС, найденная скорость />будет для движения на этом участкеначальной скоростью
/>
Изображаем груз (в произвольномположении) и действующие на него силы:
/> (рис. D1.0)
Проведем из точки В ось BX и составимдифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
/> (6)
Т.к., /> то уравнение (6) примет вид:
/> (7)
Разделив обе части равенства на m=2 кг,получим
/> (8)
/> (9)
Умножим обе части уравнения (9) на /> ипроинтегрируя, получим:
/>
Учитывая начальные условия:
При />
/>
Т.о., />
Умножим обе части равенства на dt иснова интегрируем, получим:
/>
Начальные условия: при />
Итак:
/>
Ответ:
/>
Это закон движения груза D визогнутой трубе АВС.