Курсоваяработа
«Расчет переходныхпроцессов в электрических цепях.
Формы и спектрысигналов при нелинейных преобразованиях»
Федеральноеагентство по образованию Российской Федерации
ЗАДАНИЕНА КУРСОВУЮ РАБОТУ
Дисциплина:Теоретические основы электротехники
Тема:Расчёт переходных процессов в электрических цепях
Срок представления работы к защите 2010 г.
Исходные данные для проектирования
1)E=70В, R1=2 кОм, R2=3 кОм, L= 2 мГн
2) E=70В, L=2мГн, С=9мкФ, R=ρ/4
3) U0=0,5В, U1=1В, Um=1,5В, S=16 мА/В, T=11мкс
Содержание пояснительной записки курсовой работы.
1.Заданиена курсовую работу.
2. Расчёт переходных процессов в цепи первого порядка.
3. Расчёт переходных процессов в цепях второго порядка.
4. Расчёт процессов в нелинейной цепи.
5. Список использованной литературы.
6. Перечень графического материала.
Дляп. 4.2: заданная схема для расчёта, схема для определения начальных условий,схема для определения характеристического сопротивления, схема для нахожденияпринужденной составляющей, временные диаграммы токов и напряжений вэлектрической цепи.
Дляп.4.3: заданная схема для расчёта, схема для определения начальных условий,схема для определения характеристического сопротивления, схема для нахожденияпринужденной составляющей, временные диаграммы токов и напряжений вэлектрической цепи.
Дляп.4.4: схема цепи, ВАХ нелинейного элемента с наложенным входным воздействием,диаграммы напряжения и тока, спектр тока.
Руководитель работы: БорисовскийАндрей Петрович
Задание выполнил:студент гр. 825 Королёв Владимир Валерьевич
Переходные процессы влинейных цепях первого порядка
Переходными называютсяпроцессы, возникающие в электрических цепях при переходе из одногоустановившегося режима в другой. В установившемся режиме токи и напряжения вцепи не изменяют своего характера. Если в цепи действует постоянная э.д.с.,тогда в установившемся режиме токи и напряжения во всех участках цепи такжепостоянные. Переход от одного установившегося режима к другому при наличии вцепи реактивных элементов Lи C не происходит скачкообразно, таккак магнитная WL=I2L/2и электрическая WE= U2C/2энергии индуктивности и емкости не могут изменяться мгновенно. Изнепрерывности изменения магнитного поля катушки индуктивности и электрическогополя конденсатора вытекают два закона коммутации.
1. Токчерез индуктивность в момент времени t=0–до коммутации равен току в момент времени t= 0+после коммутации:
/>.
2. Напряженияна емкости до коммутации и после коммутации равны:
/>.
Значения токов виндуктивности iL(0+)и напряжение на емкости Uc(0+)образуют независимые начальные условия.
Классический методрасчетов переходных процессов заключается в составленииинтегро-дифференциальных уравнений на основе соотношений для мгновенныхзначений токов и напряжений в R,L, Cэлементах
/>./> />
Порядокn дифференциального уравненияопределяется числом независимых реактивных элементов. Линейные цепи первогопорядка содержат однотипные реактивные элементы (либо С, либо L).
Рис. 1. Схемы RCи RL цепей 1-го порядка: а, в –дифференцирующие цепи; б, г, – интегрирующие
Примеры RCи RL цепей первого порядка показаны нарис. 1. Изменения токов и напряжений X(t)в элементах цепи находятся из решения дифференциального уравнения вида
/>. (1)
где W(t)- внешнее воздействие. Общее решение X(t)дифференциального уравнения находится как сумма общего решения Xсв(t)однородного дифференциального уравнения (без правой части) и частного решения Xпр(t)неоднородного уравнения:
X(t) = Xпр(t)+ Xсв(t).
Свободное решение Xсв(t)протекает в цепи без участия внешнего источника W(t),а принужденная составляющая Xпр(t)протекает в установившемся режиме под действием W(t).Свободная составляющая уравнения (1) находится в виде
Xсв(t)= Аеpt,
где р =b0/b1 является корнем характеристического уравнения
b1p+ b0 =0,
Постояннаяинтегрирования А находится из начальных условий.
Переходные процессы влинейных цепях первого порядка
/>
E=70 В
R1=2 кОм
R2=3 кОм
L=2 мГн
Определение независимойпеременной.
IL–независимая переменная
Составляем дифференциальноеуравнение для переходного процесса в электрической цепи и записываем его вобщее решение
IL(t)= iсв (t)+ iпр
Определяем начальныеусловия
/>
E=R1*iL iL = E/R1
iL= 70В/2 кОм = 35мА
Записываем решениедифференциального уравнения для свободной составляющей в виде
Iсв(t)=A*e p*t
/>
/>/>
Zp=0
p= -(R1+R2)/L p=-25*105
τ= 1/|p| τ = 4*10-7(c)
Определяетсяпринуждённая составляющая при t=∞
iпр=0
/>
Определяется постояннаяинтегрирования А
IL(-0)= A*ept =A*e0*t =A
Ток через индуктивностьравен:
IL(t)=35*10-3* e-2500000t
Напряжение наиндуктивности равно:
UL(t)=-L(du/dt)= -AL*p*(E/R1)* e pt
UL(t)=175*e-2500000t
Напряжение на R1равно:
UR1(t)=70*e-2500000t
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Переходные процессы в RLCцепях
Линейные цепи 2-гопорядка содержат два разнотипных реактивных элемента Lи C. Примерами таких цепей являютсяпоследовательный и параллельный резонансные контуры (рис.1).
/>
а б
Рис. 1. Линейные цепивторого порядка: а – последовательный резонансный контур; б – параллельныйрезонансный контур
Переходные процессы вколебательных контурах описываются дифференциальными уравнениями 2-го порядка.Рассмотрим случай разряда емкости на RLцепь (рис.2). Составим уравнение цепи по первому закону Кирхгофа:
/>, (1)
где
/>
После дифференцирования(1) получим
/>. (2)/> />
Рис.2. Включение RLC цепи на постоянноенапряжение
Решение Uс(t)уравнения (2) находим как сумму свободной Uсв(t)и принужденной Uпрсоставляющих
Uс=Uсв+Uпр. (3)
Uпрзависит от Е, а Uсв(t)определяется решением однородного дифференциального уравнения вида
/>. (4)
Характеристическоеуравнение для (4) имеет вид
LCp²+ RCp + 1 = 0, (5)
Корнихарактеристического уравнения
/>.
Величину R/2L = αназывают коэффициентом затухания, /> –резонансной частотой контура. При этом
/>.
Характер переходныхпроцессов в контуре зависит от вида корней p1и p2.Они могут быть:
1) вещественные,различные при R > 2ρ, Q
2) вещественные и равные при R = 2ρ, Q= 0,5;
3) комплексно-сопряженныепри R 0,5.
Здесь /> – характеристическоесопротивление, Q = ρ/R– добротность контура.
В схеме рис. 2 докоммутации при t
/> (6)
Для нахожденияпостоянных интегрирования А1 и А2 запишем выражение длятока в цепи
/>.
Используя начальныеусловия Uc(0-)= E и i(0-)= 0, получаем систему уравнений
/> (7)
Из решения системыимеем
/>.
В результате для тока инапряжений в контуре получим
/>
Переходные процессы вцепях второго порядка
/>
E=70В
L=2мГн
С=9мкФ
R=ρ/4
Определение независимойпеременной.
IL– независимая переменная
Составляемдифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общеерешение.
IL(t)=iсв(t)+iпр
Определим начальныеусловия.
t=0
/>
IL(0)=E/R=19.799А
Запишем решение дифф.уравнения для свободной составляющей.
iсв(t)=A*eαt*sin(wt+θ)
/>
Zвх=2R+jwL+1/jwC
2R+pL+1/pC=0
LCp2+2RCP+1=0
p=-883.833-7.016i*103
τ=1/|α|=1.131*10-3
T=2π/w=8.956*10-4
Определим принужденныесоставляющие при t=∞
/>
iпр=0
Определим постоянныйинтегрирования Aи θ
UL(t)=LAαweαt*sin(wt+θ)
iL(t)=Aeαt*sin(wt+θ)
LAα*sinθ+ LAw*cosθ =0
Asinθ=19.799
ðAcos θ=2.494
tgθ=19.799/Acos θ=7.938
θ=1.455
A=19.955
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Спектральноепредставление периодических процессов в электрических цепях
Во многих случаях вустановившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов вэлектрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этомнепосредственное применение символического метода для расчета цепей переменноготока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчетаможет быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектральногоразложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае рядФурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которойсовпадает с частотой ω1=2π/Tпериодического с периодом Tтока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами ωn=nω1,кратными основной частоте ω1. Для большинства периодическихфункций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваютсяконечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будетпредставлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.
Пусть имеетсяпериодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT),удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное числоразрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммойгармонических составляющих с различными амплитудами Еn,частотами ωn=nω1и начальными фазами φnв виде ряда Фурье
/>
Ряд Фурье можнопредставить в другой форме:
/>
Постоянная составляющаяЕ0и коэффициенты ряда Фурье Вnи Сn рассчитываютсяпо формулам
/>
Для нечетных функций е(t)коэффициенты Сn=0,а для четных Bn=0,Связь между коэффициентами Bn,Cn и амплитудами Еnи фазами φnгармоник определяется соотношениями
/>.
Диаграмма, на которойизображают зависимость амплитуды гармоник Enот частоты ωn=nω1,называют спектром.
Используя методсуперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде рядаФурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:
1. Несинусоидальнаяпериодическая э.д.с. е(t)раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды Enи фазы φnвсех гармоник э.д.с.
2. Винтересующей ветви рассчитываются токи i0,i1,...in,создаваемые каждой гармоникой э.д.с.
3. Искомыйток в ветви находится как сумма токов
/>.
Так как составляющиетока i(t)либо постоянная величина i0,либо синусоидальные токи in,то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного ипеременного синусоидального токов.
Рассчитать формы испектры сигналов при нелинейных преобразованиях
/>
Исходные данные:
U0=0,5В,
U1=1В,
Um=1,5В,
S=16мА/В,
T=11мкс
1. Рассчитаемугол отсечки θ в радианах и градусах
cosθ= (U1-U0)/Um
θ=arcos(cosθ)=1.231 радиан θ=70.529градусов
2. Рассчитаемамплитуду тока диода
Im=S*Um(1-cosθ)=16мА
3.Запишем выражение для мгновенного значения тока
/> />
/>
Выражение для мгновенного значения напряжения
/>
Найдем один из нулей функции напряжения
/> />
Найдем одну из точек, в которых функция принимает значенияпринужденного составляющего напряжения
/> />
Найдем две точки, в которых функция принимает значения отпирающегонапряжения
/> />
Разность между двумя такими точками
/> />
стало быть,
/> />
4.Вычислимпостоянную составляющую тока
/>мА
5.Изобразить временныедиаграммы напряжения U(t)и тока i(t)
/>
/>
/>
/>
6. Вычислить амплитудупервой гармоники
/>мА
7.Используя общеевыражение для n-ой гармоники токарассчитать амплитуды второй, третьей, четвёртой и пятой гармоник тока
/>
Im2=4.536мА
Im3=1.734мА
Im4=-0.122мА
Im5=-0.555мА
8.По полученным даннымпостроить диаграмму спектра тока нелинейного элемента
/>
9.Используявычислительные возможности программы Mathcad,построить временную диаграмму тока для первых пяти гармоник
i(t)=I0+Im1cosω1t+Im2 cosω2t+Im3cosω3t+ Im4 cos ω4t + Im5 cosω5t
/>