Пространственное вращение
Пространственное вращение – один из важнейших видов периодического движения в стационарных квантовых системах. Напомним, что в классической механике наиболее рациональное описание такого движения достигается при использовании сферической системы координат, с которой мы и начнём свой анализ.
Сферическая система координат
4.3.1.1. Сферическая система координат хорошо известна из географии и астрономии. Положение частица на сфере в этом случае определяется с помощью широты и долготы, которые задаются посредством двух углов /> и />, отсчитываемых относительно фиксированных осей, например, декартовых, как это показано на рис. 4.2. Вводя расстояние от центра вращения, переменный радиус r, получаем третью координату, необходимую для описания пространственного вращательного движения
Шаровые координаты:
/>
/>
Декартовы координаты:
/>(4.28)
Рис. 4.2. Сферическая система координат
При описании переменных данной задачи обязательно следует указать пределы их изменения
/>или />
/>или />
/>или />/>
4.3.1.2. Вычисление элемента объема в сферической системе координат проиллюстрируем рис. 4.2. Величина dV понадобится нам в дальнейших расчётах.
/>/>(4.29)
4.3.2. Преобразование оператора Лапласа
4.3.2.1. Лапласиан – основа выражения оператора кинетической энергии />и, следовательно, гамильтониана />. Поэтому проследим подробно всю схему его преобразования при замене декартовой системы координат на сферическую. С подобной, но более простой процедурой мы уже имели дело при рассмотрении плоского ротатора.
4.3.2.2. В теории поля лапласиан является скалярным произведением вектор-оператора Гамильтона «набла» самого на себя– скалярным «квадратом»: />Поэтому вначале преобразуем оператор «набла»
/>. (4.30)
В соответствии с (4.28) x,y,z выражаются как функции сферических координат/>, поэтому производные, составляющие оператор «набла», предстанут в следующем виде
/>(4.31)
4.3.2.3. Наборы частных производных в (4.30) образуют квадратную матрицу коэффициентов, при умножении на которую происходит переход от одного базисного вектор-столбца к другому:
/>(4.32)
Вычислим все производные, являющиеся элементами квадратной матрицы, дифференцируя выражения (4.28)
/>или
/>(4.33)
Напомним, что перемножение матриц подчиняется правилу «строка на столбец». В итоге элементы искомого вектор-столбца предстанут в виде суммы:
/>(4.34)
/>(4.35)
/>(4.36)
4.3.2.4. Следующий этап преобразований – построение оператора Лапласа в переменных />.
/>(4.37)
Для этого, согласно уравнению (4.35), необходимо перемножить сами на себя выражения операторов однократного дифференцирования по координатам х, у,z через сферические переменные/>(4.32)–(.4.34) и затем взять сумму этих произведений. При этом следует учитывать, что перемножаются не числа, а операторы, и действие оператора из левой скобки на каждое слагаемое правой выполняется по правилам, аналогичным правилам дифференцирования произведения функций, т.е.
/>(4.38)
4.3.2.5. Ход преобразований продемонстрируем на примере одного из слагаемых лапласиана, например />при этом, для сохранения упорядоченного характера записи выпишем новые слагаемые, получающиеся в результате дифференцирования, в столбец под каждым преобразуемым выражением. Это в некотором роде изменение привычного математического синтаксиса, цель которого – порядок и наглядность в записи
/>/>
/>/>/>/>/>
Cуммируя, получаем
/>. (4.37)
4.3.2.6. Аналогично получаются другие слагаемые лапласиана.
Результаты преобразований представлены в таблице 4.2. В её левом столбце перечислены слагаемые оператора Лапласа в декартовых координатах, а в верхней строчке – все операторы дифференцирования первого и второго порядков по всем сферическим переменным />, включая перекрёстные, которые возникают в ходе преобразований. На пересечении строк и столбцов указаны коэффициенты перед последними – функции от />, которые получаются при преобразовании слагаемых лапласиана, стоящих в левом столбце. Самая нижняя строчка представляет суммы по столбцам. Домножая эти суммы справа на соответствующие операторы верхней строки и суммируя результаты, получаем окончательное искомое выражение оператора Лапласа в сферической системе координат:
/>(4.38)
4.3.2.7. Сгруппируем некоторые из слагаемых в (4.38) для более компактной записи
/>(4.39)
/>, (4.40)
В результате лапласиан приобретает вид
/>(4.41)
Таблица 4.2.
Коэффициенты преобразования оператора Лапласа.
/>
/>
/>
/>
/>
--PAGE_BREAK--
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
1
Табл. 4.2.1. Продолжение.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
4.3.2.8. Отдельные фрагменты лапласиана, построенные на разных переменных, удобно обозначить самостоятельными символами. Для краткости переменные отметим в качестве индексов
/>(4.42)
/>(4.43)
/>. (4.44)
Вся чисто угловая часть лапласиана, заключенная в скобки в формуле (4.41) называется оператором Лежандра />.
/>(4.45)
В целом же лапласиан оказывается такой комбинацией трёх операторов, которая обеспечивает далее разделение переменных во многих дифференциальных уравнениях, в том числе и в уравнении Шредингера, построенных на его основе:
/>(4.46)
4.3.2.9. Напомним, что с оператором />(4.44) составляющим самую внутреннюю часть конструкции и оператора Лапласа, и оператора Лежандра мы уже имели дело при рассмотрении одномерного вращения (раздел 3.2.). Были найдены его собственные волновые функции, которые далее войдут в качестве одного из сомножителей />общих собственных функций этих операторов.
Присутствие радиального слагаемого />в этом случае заставляет представить оператор кинетической энергии />в виде суммы
/>(4.50)
4.3.3.3. В силу того, что оператор кинетической энергии частицы отличается от лапласиана только множителем />(см. уравнение 2.15), домножив на него формулу (4.46), получим
/>(4.51)
Сравнивая формулы (4.50) и (4.51), приходим к фундаментальному соотношению
/>, (4.52)
т.е. оператор квадрата момента импульса совпадает с оператором Лежандра />с точностью до постоянного множителя />. Заметим, что размерность собственных значений оператора />совпадает с размерностью постоянной Планка />.
4.3.3.4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов />и />. Процедура перехода к сферическим координатам для компонент />аналогична той, что была осуществлена в разделе 3.2.2. при переводе />к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах />имеет тот же самый вид (3.24). Используя уравнения (4.52) и (4.34), читатель сам легко получит выражения
/>(4.53)
/>(4.54)
/>(3.24)
Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (4.52), которая в развернутой форме с учетом (4.45) имеет вид
/>(4.55)