Федеральноеагентство по образованию
ГОУ «Ульяновскийгосударственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова»
Кафедра математического анализа
«Некоторые уравнения математической физики в частных производных»
Ульяновск, 2008 г.
Содержание
Введение
Глава 1. Уравнениягиперболического типа
1.1 Задачи, приводящие к уравнениямгиперболического типа
1.2 Уравнение колебаний струны
1.3 Метод разделения переменных.Уравнение свободных колебаний струны
1.4 Решение уравнений
Глава 2. Уравненияпараболического типа
2.1 Уравнение распространения тепла встержне
2.2 Решение задач
Заключение
Литература
/>Введение
Изучениемдифференциальных уравнений в частных производных занимается математическаяфизика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральномисчислении» Л. Эйлера.
Классические уравненияматематической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоитв том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяетпостроить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированногонабора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.
Современная общая теориядифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями испециальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейныхдифференциальных уравнений в частных производных выступает численноеинтегрирование.
Круг вопросовматематической физики тесно связан с изучением различных физических процессов.Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости,электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержатмного общих элементов и составляют предмет математической физики.
Постановказадач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физическихпроблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечнаястадии процесса носят качественно различный характер и требуют примененияразличных математических методов.
Круг вопросов,относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работерассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям счастными производными.
Расположениематериала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типауравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениямрассматриваемого типа.
/>Глава 1. Уравнения гиперболическоготипа/> 1.1 Задачи, приводящие куравнениям гиперболического типа
Уравненияс частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее частовстречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшееуравнение гиперболического типа
/>
называется волновымуравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессовпоперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрическихколебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д./>1.2 Уравнение колебаний струны
В математической физикепод струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне влюбой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струнадлины /> вначальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до />. Предположим, что концы струнызакреплены в точках />. Если струну отклонить от еепервоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняяструны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонитьструну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершатьдвижения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается вопределении формы струны в любой момент времени и определении закона движениякаждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малыеотклонения точек струны от начального положения. В силу этого можнопредполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этомпредположении процесс колебания струны описывается одной функцией />, которая даетвеличину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
/>
Рис. 1.1.
Так как мы рассматриваеммалые отклонения струны в плоскости />, то будем предполагать, что длинаэлемента струны /> равняется ее проекции на ось Ox, т.е. /> Также будем предполагать, чтонатяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны/>.
/>
Рис. 1.2.
На концах этого элемента,по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы />. Тогда проекция на ось Ou сил, действующих на элемент />, будет равна />. Так как угол/> мал, томожно положить />, и мы будем иметь:
/>
(здесь мы применили теорему Лагранжак выражению, стоящему в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнениедвижения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции.Пусть /> -линейная плотность струны. Тогда масса элемента струны будет />. Ускорение элементаравно />.Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
/>.
Сокращая на /> и обозначая />, получаемуравнение движения
/>.(1)
Это и есть волновое уравнение –уравнение колебаний струны. Для полного определения движения струны одногоуравнения (1) недостаточно. Искомая функция /> должна удовлетворять ещеграничным условиям, указывающим, что делается на концах струны />, и начальным условиям,описывающим состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и начальных условий называетсякраевыми условиями.
Пусть, например, как мы предполагали,концы струны при /> неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:
/>(2’)
/>(2’’)
Эти равенства являются граничнымиусловиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму,которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно быть
/>(3’)
Далее, в начальный момент должна бытьзадана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией />. Такимобразом, должно быть
/>(3’’)
Условия (3’) и (3’’) являютсяначальными условиями.
Замечание. В частности, может быть /> или />. Если же /> и />, то струнабудет находится в покое, следовательно, />. 1.3 Метод разделенияпеременных.Уравнение свободных колебаний струны
Метод разделенияпеременных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методоврешения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведемдля задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искатьрешение уравнения
/>
удовлетворяющееоднородным граничным условиям
/> (9)
и начальным условиям
/>(10)
Уравнение (1) линейно и однородно,поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имеядостаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощисуммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основнуювспомогательную задачу: найти решение уравнения
/>
неравное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям
/>(11)
и представимое в видепроизведения
/> (12)
где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.
Подставляя предполагаемую формурешения (12) в уравнение (1), получим:
/>
или, после деления на XT,
/>(13)
Чтобы функция (12) быларешением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т.е. 0 ‹ х ‹ />,t › 0. Правая часть равенства (13)является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что праваяи левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняютпостоянное значение
/>(14)
где /> – постоянная, которуюдля удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагаяпри этом о ее знаке.
Из соотношения (14)получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)
/>(15)
/>(16)
Граничные условия (11) дают:
/>
Отсюда следует, чтофункция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:
X(0) = X(/>) = 0, (17)
Так как иначе мы имели бы
/>
в то время как задачасостоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительныхусловий нет.
Таким образом, в связи снахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче особственных значениях: найти те значения параметра />, при которых существуютнетривиальные решения задачи:
/>(18)
а также найти этирешения. Такие значенияпараметра /> называютсясобственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения –собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу частоназывают задачей Штурма – Лиувилля.
Рассмотримотдельно случаи, когда параметр /> отрицателен, равен нулю илиположителен.
1. При /> ‹ 0 задача неимеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеетвид
/>
Граничные условия дают:
Х (0) = С1 + С2 = 0;
/>/>
т. е.
/>
Но в рассматриваемомслучае /> –действительно и положительно, так что />. Поэтому
С1 =0, С2 = 0
и, следовательно,
Х (х)/>0.
2. При /> = 0 также несуществует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения(15) имеет вид
Х (х) = С1х + С2.
Граничные условия дают:
/>
т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и,следовательно,
Х (х)/>0.
3. При /> › 0 общеерешение уравнения может быть записано в виде
/>
Граничные условия дают:
/>
Если Х(х) не равнотождественно нулю, то D2/>0, поэтому
/>(19)
Или
/>
где n- любое целое число. Следовательно,нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях
/>
Этимсобственным значениям соответствуют собственные функции
/>
где Dn – произвольная постоянная.
Итак, только призначениях />,равных
/> (20)
существуютнетривиальные решения задачи (11)
/> (21)
определяемые с точностьюдо произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим жезначениям />n соответствуют решения уравнения (9)
/> (22)
где An и Bn – произвольные постоянные.
Возвращаяськ задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции
/> (23)
являются частнымирешениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) ипредставимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависиттолько от х, другая – от t. Этирешения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачитолько для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).
Обратимсяк решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности иоднородности уравнения (1) сумма частных решений
/> (24)
также удовлетворяет этомууравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)
/>(25)
Из теории рядов Фурьеизвестно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемаяфункция f(x), заданная в промежутке />, разлагается в ряд Фурье
/> (26)
где
/> (27)
Если функции j(x) и y(x)удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то
/>(28)
/>(29)
Сравнение этих рядов сформулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить
/> (30)
чем полностьюопределяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.
Итак, мы доказали, чторяд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если ондопускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), котораяявляется решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям(9) и (10).
Замечание. Решая рассмотренную задачу дляволнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляетрешение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. Приэтом функция /> должна быть дваждыдифференцируемой, а /> - один раз дифференцируемой.
1.4 Решениеуравнений
1. Найти решениеуравнения:
/>, если />, />.
Решение:
Так как />, а />, то
/>,
где />. Таким образом, />, или />.
2. Найти формуструны, определяемой уравнением /> в момент />, если
3. />, />.
Решение:
Имеем
/>,
т.е.
/>, или />.
Если />, то />, т.е. струна параллельна оси абсцисс.
4. Струна,закрепленная на концах /> и />, имеет в начальный момент форму параболы />.
/>
5. Определитьсмещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.
Решение:
Здесь />, />. Находим коэффициенты ряда, определяющего решениеуравнения колебания струны:
/>; />.
Для нахождения коэффициента /> дважды интегрируем по частям:
/>, />, />, />;
/>,
т.е.
/>
/>, />, />, />;
/> =
/>.
Подставляя выражения для /> и /> получим:
/>.
Если />, то />, а если />, то />; поэтому окончательно имеем
/>
Пусть начальныеотклонения струны, закрепленной в точках /> и />, равны нулю, а начальная скорость выражается формулой
/>
Определить форму струныдля любого момента времени t.
Решение:
Здесь />, а /> в интервале />, /> и /> вне этого интервала.
Следовательно, />;
/>
/>
Отсюда
/>
Или
/>
/>
/>Глава 2. Уравнения параболическоготипа
/>
2.1 Уравнение распространения тепла встержне
Рассмотрим однородный стержень длины />. Будемпредполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всехточках поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процессраспространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конецстержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = />.
/>
Рис. 2.1.
Пусть u (x, t) – температура всечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, чтоскорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего черезсечение с абсциссой х за единицу времени, определяется формулой
/>(1)
где S – площадь сечениярассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня,заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1 = />х). Количество тепла,прошедшего через сечение с абсциссой х1 за время />t, будет равно
/> (2)
то же самое с абсциссой х2:
/> (3)
Приток />Q1 — />Q2 в элемент стержня за время />t будетравняться:
/> (4)
Этот приток тепла за время />t затратился наповышение температуры элемента стержня на величину />u:
/>
Или
/> (5)
где с – теплоемкость веществастержня, /> –плотность вещества стержня (/>/>xS – масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (4) и (5)одного и того же количества тепла />, получим:
(6) />
Это и есть уравнение распространениятепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.
Чтобы решение уравнения (6) быловполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям,соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решенияуравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют такназываемой первой краевой задаче для />, следующие:
u (x, 0) = φ(x), (7)
u (0, t) = ψ1(t), (8)
u (/>, t) =ψ2(t). (9)
Физическое условие (7) (начальноеусловие) соответствует тому, что при /> в разных сечениях стержня заданатемпература, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия)соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = /> поддерживаетсятемпература, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.
Доказывается, что уравнение (6) имеетединственное решение в области />, удовлетворяющее условиям (7) –(9).
2.2 Решениезадач
1. Задача:
Решитьуравнение
/>.
Решение.Составим и решим систему уравнений характеристик
/>
Уравнение/> даётпервый интеграл />. Преобразуем три дроби />, используяправило работы с равными дробями:
/>.
Отсюдаполучим второй первый интеграл
/>.
Возьмёмследующее уравнение />, подставим /> и /> в это уравнение,получим
/>.
Решимполученное линейное уравнение:
/>.
Получимтретий первый интеграл
/>.
2. Задача
Найти общеерешение уравнения
/>.
Решение:Составим и решим систему уравнений характеристик
/>
Первыйинтеграл равен />. Функция /> вида />, где /> - произвольная дифференцируемаяфункция, является общим решением уравнения.
3. Задача
Решитьуравнение
/>.
Решение.Составим систему уравнений характеристик
/>.
Перваяпара дробей даёт первый интеграл
/>
Подставим/> вовторую пару дробей, получим
/>.
Интегрируяпоследнее уравнение, получим второй первый интеграл
/>.
Общеерешение имеет вид
/>.
4. Задача
Решениезадачу Коши
/>.
Решение.Найдем два первых интеграла. Составим систему
/> гиперболический колебаниедифференциальный теплопроводность интеграл
Отсюдаполучим первый интеграл />.
Решаяуравнение /> приусловии, что />, получим второй первый интеграл
/>
Подставим/> в двапервых интеграла:
/>
Исключая/> из этойпары равенств, получим связь между первыми интегралами />. Подставляя вместо /> и /> первые интегралы,получим решение задачи Коши: />
5. Задача
Решитьзадачу Коши />, />.
Решение.Найдем первые интегралы системы уравнений характеристики />; они равны
/>, />.
Найдём,используя начальные данные, связь между первыми интегралами:
/>
/> />.
Подставимпервые интегралы /> и />, получим решение:
/>.
6. Решить уравнение /> для следующего начального распределения температуры стержня:
/>.
Решение: Стерженьявляется бесконечным, поэтому решение запишется в виде интеграла Пуассона:
/>
Так как /> в интервале /> равна постоянной температуре />, а вне интервала температура равна нулю, то решениепримет вид
/>
Полученный результатможно преобразовать к интегралу вероятностей:
/>.
Действительно полагая />, />, получим
/>
/>
Таким образом, решениевыразится формулой
/>
Графиком функции /> является кривая:
/>
Найтирешение уравнения />, удовлетворяющее начальному условию /> и краевому условию />.
Решение: Здесь мы имеемдифференциальное уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня.Решение, удовлетворяющее указанным условиям, имеет вид
/>
Или
/>
Полагая />, />, преобразуем первый интеграл, пользуясь интеграломвероятностей, т.е.
/>
Полагая />, />, получим
/>
Таким образом, решениепринимает вид
/>
Заключение
В курсовой работе приведены некоторыепримеры применения дифференциальных уравнений для моделирования таких реальныхпроцессов, как колебания струны, распространение тепла в стержне.
Работа начинается с рассмотренияпростейших задач, приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболическоготипа (колебания струны, электрические колебания в проводах). Затемрассматривается один из методов решения уравнений данного типа. Во второй главерассматриваются дифференциальные уравнения параболического типа(распространение тепловых волн) и одно из приложений к данной сфере –температурные волны.
Вследствие большого объема теории поприменению дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов вданной курсовой работе не мог быть рассмотрен весь материал.
В заключение хотелось быотметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих задачматематики, физики и техники, так как часто не всегда удается установитьфункциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, нозато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказатьпротекание определенного процесса при определенных условиях.
/>Литература
1. Н. С. Пискунов «Дифференциальноеи интегральное исчисления», М., «Наука», 1972, том. 2.
2. И. М. Уваренков,М. З. Маллер «Курс математического анализа», М., «Просвещение»,1976.
3. А. Н. Тихонов, А.А. Самарский «Уравнения математической физики», М., «Наука»,1972.
4. Владимиров В. С. «Уравненияматематической физики», М., «Наука», 1988.